Можно ли покрыть всю плоскость квадратами с длинами сторон $1, 2, 4, 8, 16, …$ (без наложения), используя каждый квадрат не более а) десяти раз; б) одного раза?
Доказательство
Можно. Пример покрытия (где квадрат со стороной $1$ используется $4$ раза, а остальные — по $3$ раза) приведен на рисунке $1$. Рис. 1
Нельзя. Предположим, что существует покрытие, в котором все квадраты различны. Поскольку сумма всех чисел не превосходящих $2^{n-1}$, меньше $2^n$ $(1+2+2^2+ … +2^{n-1} = 2^n-1)$, то к каждой стороне любого из квадратов нашего покрытия должна примыкать сторона большего квадрата. Отсюда следует, что каждая вершина квадрата должна лежать на стороне большего квадрата (если вершина $B$ квадрата $ABCD$ лежит на стороне большего квадрата, примыкающего к стороне $AB$ (рис. $2$), то вершина $C$ будет лежать на стороне большего квадрата, примыкающего к $BC$, и т.д.).
Рис. 2
Рассмотрим теперь наименьший из всех квадратов покрытия. Четыре квадрата будут примыкать к нему так, как показано на рисунке $3$.
Рис. 3
Рассмотрим больший из этих квадратов — пусть он примыкает к стороне $AB$ наименьшего (на рисунке — это черный квадрат). Тогда вершина $A$ этого квадрата не лежит на стороне большего, чем он, квадрата. Получили противоречие.
Пусть $a$, $m_1$, $m_2$ $-$ натуральные числа, причем $a$ взаимно просто как с $m_1$, так и с $m_2$. Обозначим через $r_n$ остаток от деления целой части числа $\frac{a^n}{m_1}$ на $m_2$ $(n = 0, 1, 2, \ldots)$.
Докажите, что последовательность $\{r_n\}$ является периодической.
Доказательство
Так как НОД$(a$, $m_1)$ $=$ НОД$(a$, $m_2) = 1$, то НОД$(a$, $m_1m_2) = 1$. Пусть $n_0 -$ какое-нибудь натуральное число, для которого $a^{n_0}$ при делении на $m_1m_2$ дает в остатке $1$. (Если НОД$(a$, $m_1m_2) = 1$, то такое число обязательно существует. Можно, например, положить $n_0 = \varphi(m_1m_2)$, где $ \varphi(m) — $ функция Эйлера $-$ см. статью В.Сендерова и А.Спивака «Малая теорема Ферма» в «Кванте» №1 за 2000 год.)
Тогда $a^{n_0} = Qm_1m_2 + 1$ для некоторого целого числа $Q$. Теперь при любом $n \geqslant n_0$ имеем $$\left[\frac{a^n}{m_1}\right] = \left[\frac{a^{n_0}a^{n-n_0}}{m_1}\right] = \left[\frac{(Qm_1m_2 + 1)a^{n-n_0}}{m_1}\right] =$$ $$= \left[a^{n-n_0}Qm_2 + \frac{a^{n-n_0}}{m_1}\right] = a^{n-n_0}Qm_2 + \left[\frac{a^{n-n_0}}{m_1}\right]$$ ($\left[x\right]$ обозначает целую часть числа $x$).
Таким образом, остатки чисел $\left[\frac{a^n}{m_1}\right]$ и $\left[\frac{a^{n-n_0}}{m_1}\right]$ при делении на $m_2$ совпадают, т.е. $r_n = r_{n-n_0}$. Значит, последовательность $\{r_n\}$ имеет период длины $n_0$ (доказано также и то, что этот период начинается с самого начала последовательности).
Возникает вопрос о длине наименьшего периода последовательности $\{r_n\}$. Верно ли, что если в качестве $n_0$ взять наименьшее натуральное число такое, что $a^{n_0}$ при делении на $m_1m_2$ дает в остатке $1$, то $n_0$ и будет длиной наименьшего периода? Как показывает пример $a = 3$, $m_1 = 13$, $m_2 = 2$ (здесь $n_0 = 3$, а последовательность $\{r_n\}$ сплошь состоит из нулей), ответ на этот вопрос в общем случае отрицателен. Однако если дополнительно предположить, например, что $m_2 \geqslant m_1$, то ответ будет утвердительным (читателю предлагается доказать это в качестве упражнения).
Час назад каждый брат в семье был в ссоре с одинаковым количеством сестер, а каждая сестра – с различным количеством братьев. Сейчас некоторые из них помирились, и каждая сестра в ссоре с одинаковым количеством братьев, а каждый брат – с различным количеством сестер. Сколько сестер и братьев в этой беспокойной семье?
Решение
Обозначим через $n$ количество братьев, через $m$ – количество сестер; пусть до примирения каждый брат был в ссоре с $k$ сестрами. Из условия задачи следует, что $n \leqslant 2$, $m \leqslant 3$ . Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений.
$\textbf{1°}. m \leqslant n$.
Пронумеруем сестер по возрастанию количества ссор с братьями. Пусть первая сестра час назад была в ссоре с $a_1$ братьями, вторая – с $a_2$ братьями, $\ldots$, $m$-я – с $a_m$ братьями, причем\begin{equation}\label{m1719_first} a_1\lt a_2\lt\ldots \lt a_m \leqslant n.\end{equation}Поскольку после примирения каждая сестра оставалась в ссоре с одинаковым количеством братьев, то
\begin{equation}\label{m1719_second}1\leqslant a_1.\end{equation}Из $(1)$ и $(2)$ следует утверждение $1°$.
$\textbf{2°}. k \lt m$.
Поскольку $a_i \lt n$ для всех $i \lt m$, то $$nk=\sum\limits_{i=1}^ma_i \lt nm,$$ откуда следует утверждение $2°$.
$\textbf{3°}. k \geqslant n − 1$.
Пронумеруем братьев по возрастанию количества ссор после примирения. Пусть первый брат после примирения остался в ссоре с $b_1$ сестрами, второй брат – с $b_2$ сестрами, $\ldots$, $n$-й брат – с $b_n$ сестрами, причем $$ 0\leqslant b_1 \lt b_2 \lt b_3 \lt \ldots \lt b_n \leqslant k.$$ Сначала получим оценку для суммы $\sum\limits_{i=1}^nb_i$ сверху, для чего выпишем цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}b_n \leqslant k,\\b_{n-1}\leqslant k-1,\\ \ldots \\b_1\leqslant k-(n-1);\end{cases}\end{equation*}$$отсюда $$\begin{equation}\label{m1719_third}\sum\limits_{i=1}^nb_i\leqslant kn-\frac {n(n-1)}{2}.\end{equation}$$Аналогично получим оценку для суммы $\sum\limits_{i=1}^nb_i$ снизу, для чего выпишем цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}0 \leqslant b_1,\\1\leqslant b_2,\\ \ldots \\n-1\leqslant b_n;\end{cases}\end{equation*}$$отсюда $$\begin{equation}\label{m1719_forth}\frac{(n-1)n}{2}\leqslant \sum\limits_{i=1}^nb_i.\end{equation}$$Объединяя неравенства $(3)$ и $(4)$, получаем$$\frac{(n-1)n}{2}\leqslant kn-\frac{n(n-1)}{2},$$откуда получаем утверждение $3°$. Результаты $1°$, $2°$, $3°$ запишем в виде цепочки$$n\geqslant m\gt k \geqslant n-1,$$откуда следует $n =m$, $k = n -1$. Для дальнейшего решения нам понадобятся следующие утверждения.
$\textbf{4°}. k \geqslant\dfrac{n+1}{2}$.
Просуммировав цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}a_m\leqslant n,\\a_m-1\leqslant n-1,\\ \ldots \\a_1\leqslant n-(m-1),\end{cases}\end{equation*}$$находим$$nk =\sum\limits_{i=1}^ma_i\leqslant nm-\frac{m(m-1)}{2}.$$С учетом того, что $n =m$, отсюда и получаем утверждение $4°$.
$\textbf{5°}. k \geqslant\dfrac{n+1}{2}$.
Просуммировав цепочку неравенств $$\begin{equation*}\begin{cases}1\leqslant a_1,\\2\leqslant a_2,\\ \ldots \\m\leqslant a_m,\end{cases}\end{equation*}$$находим$$\frac{m(m+1)}{2}\leqslant\sum\limits_{i=1}^ma_i =nk.$$ С учетом того, что $n =m$, отсюда получаем утверждение $5°$.
Итак, $k = n -1 = \dfrac{n+1}{2}$, откуда $n =3$, $m =3$, $k =2$.
Ситуация до примирения и после примирения показана
на рисунках $1$ и $2$ соответственно (дугами обозначены ссоры).
Итак, в беспокойной семейке $3$ сестры и $3$ брата. Решение единственное.
Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенный из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.
Решение
Прежде всего заметим, что если $ABCD$ — вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями (рис. 1), то подобные треугольники $AKB$ и $CKD$ ($K$ — точка пересечения диагоналей) расположены таким образом, что продолжение высоты, опущенной на гипотенузу одного из них, является медианой другого. (Этот факт, немедленно вытекающий из равенства отмеченных на рисунке 1 углов, по существу уже использовался в решении задач M546 и M592 — см. «Квант», 1980, № 1, 8.)
Рисунок 1
Далее: середины $L$, $P$, $M$, $Q$ сторон четырехугольника $ABCD$, являясь вершинами прямоугольника (рис. 2), лежат на одной окружности. Покажем, что центр $O$ этой окружности делит пополам отрезок $OK$ ($O$ — центр окружности, в которую вписан наш четырехугольник).
Рисунок 2
Для этого достаточно, например, показать, что четырехугольник $LKMO$ — параллелограмм. Поскольку $LK$ — медиана треугольника $AKB$, ее продолжение является высотой треугольника $CKD$, то есть $LK \perp DC$. Но и $OM \perp DC$ (диаметр, проходящий через середину хорды), поэтому отрезки $LK$ и $OM$ параллельны. Аналогично доказывается параллельность отрезков $LO$ и $KM$.
Теперь для окончания решения задачи нам достаточно установить, например, что $|O_1M| = |O_1H|$, где $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на сторону $CD$. Но это следует из того, что $O_1$ — середина гипотенузы $LM$ прямоугольного треугольника $LMH$ (рис. 3).
Рисунок 3
Итак, все восемь точек, упомянутых в условиях задачи, лежат на одной окружности. Интересно, что радиус этой «окружности восьми точек» целиком определяется радиусом $R$ данной окружности и величиной $|OK| = a$. В самом деле, искомый радиус равен половине длины $|LM|$, а $$|LM|^2 = |LP|^2 + |PM|^2 = $$ $$= \frac{1}{4}\left(|AC|^2 + |BD|^2\right) =$$ $$= \frac{1}{4}\left(|AK| + |KC|\right)^2 + \left(|BK| + |KD|)^2\right) =$$ $$= \frac{1}{4}\left(|AB|^2 + |CD|^2 + 2\left(|AK| \cdot |KC| + |BK| \cdot |KD|\right)\right) =$$ $$= \frac{1}{4}\left(|AB|^2 + |CD|^2 + 4\left(R^2 — a^2\right)\right) =$$ $$= \frac{1}{4}\left(4R^2 + 4\left(R^2 — a^2\right)\right) = 2R^2 — a^2.$$
(В этой вкладке мы вначале воспользовались тем, что произведение длин отрезков хорд, пересекающихся в одной и той же точке, постоянно: $$|AK| \cdot |KC| = |BK| \cdot |KD| = (R — a)(R + a)$$ (рис. 4), Рисунок 4
а затем, сообразив, что $$90^{\circ} = \widehat{BCA} + \widehat{DBC} = \frac{\overset{\smile}{AB} + \overset{\smile}{CD}}{2}$$ и дополнив $\overset{\smile}{CD}$ до полуокружности дугой конгруэнтной $\overset{\smile}{AB}$ получили равенство $$|AB|^2 + |CD|^2 = (2R)^2 = 4R^2$$ см. рисунок 5)
Рисунок 5
Наметим другое решение. Сделаем гомотетию наших восьми точек с центром в точке $K$ и коэффициентом $2$. Тогда утверждение задачи М648 превращается в такую теорему:
Пусть два взаимно перпендикулярных луча с накалом в точке $K$ внутри данной окружности, вращаясь вокруг $K$, пересекают окружность в переменных точках $P$ и $Q$. Тогда четвертая вершина $T$ прямоугольника $PKQT$ (точка симметричная точке $K$ относительно середины $|PQ|$), а также точка $S$, симметричная точке $K$ относительно прямой $PQ$, двигаются по окружности концентричной с данной (рис. 6).
Второй факт (про $S$) следует из первого, так как $S$ симметрична точке $T$ относительно серединного перпендикуляра к $|PQ|$, а первый (про $T$) установлен в решении задачи М539 («Квант», 1979, № 11)
Рисунок 6
Эта «теорема о восьми точках» допускает следующее стереометрическое обобщение:
Если три взаимно перпендикулярных луча с началом в фиксированной точке $K$ внутри данной сферы, вращаясь вокруг $K$, пересекают сферу в переменных точках $A$, $B$ и $C$, то точка пересечения медиан треугольника $ABC$ и основание перпендикуляра, опущенного из $K$ на плоскость $ABC$, двигаются по сфере, центр которой находится в точке $O_1$ отрезка $OK$ ($O$ — центр данной сферы) такой, что $|O_1K| = \frac{1}{3}|OK|,$ а радиус равен $\frac{1}{3}\sqrt{3R^2 — 2a^2}$, где $a = |OK|,$ $R$ — радиус данной сферы.
Доказать это можно, например, следующим образом.
Пусть $D$ — вершина параллелепипеда, определенного отрезками $KA$, $KB$ и $KC$, диагонально противоположная к $K$. Все точки $D$ лежат на сфере с центром в той же точке $O$, что у исходной сферы, и радиусом $\sqrt{3R^2 — 2a^2}$ (см. решение задачи М639 — «Квант», 1969, № 11). При гомотетии с центром $K$ и коэффициентом $\frac{1}{3}$ точка $D$ будет все время переходить в точку пересечения медиан треугольника $ABC$ (докажите!), а точка $O$ перейдет в точку $O_1$. Таким образом, точка пересечения медиан треугольника $ABC$ все время лежит на указанной сфере.
Осталось показать, что проекция точки $K$ на плоскость треугольника $ABC$ также все время лежит на этой сфере. Поскольку отрезки $KA$, $KB$ и $KC$ взаимно перпендикулярны, проекция точки $K$ совпадет с точкой $H$ пересечения высот треугольника $ABC$. Утверждение будет доказано, если мы, например, получим равенство $|O_1H| = |O_1M|$, где $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Для этого заметим, что центр сферы $O$ проектируется в центр $Q$ описанной вокруг треугольника $ABC$ окружности, и воспользуемся таким известным фактом: точки $Q$, $M$ и $H$ лежат на одной прямой (прямой Эйлера), точка $M$ — между точками $Q$ и $H$, причем $2|QM| = |MH|$. (Если этот факт вам неизвестен, докажите его.) Остальное легко следует из рисунка 7: поскольку $|O_1K| = \frac{1}{3}|OK|$, а $|QM| = \frac{1}{3}|QH|$, точка $O_1$ проектируется в середину отрезка $MH$, то есть $O_1$ равноудалена от $M$ и $H$.
В баллоне содержится очищенный газ, но неизвестно какой. Что бы поднять температуру этого газа на один градус при постоянном давлении требуется $958,4$ дж, а при постоянном объёме — $704,6$ дж. Что это за газ?
Решение
При нагревании газа при постоянном объёме затрачиваемая энергия идёт только на изменение внутренней энергии газа, а при нагревании при постоянном давлении — ещё и на совершение работы. Запишем закон сохранения энергии для обоих случаев:$$\begin{equation} mc_v\Delta t = \Delta W.\label{eq:ref1}\end{equation}$$
$$\begin{equation} mc_p\Delta t = \Delta W+A.\label{eq:ref2}\end{equation}$$
Здесь $c_p$ — теплоёмкость газа при постоянном давлении (т.е. количество тепла, которое необходимо для нагревания $1$ кг газа при постоянном давлении), $c_v$ — теплоёмкость газа при постоянном объёме, $\Delta t$ -изменение температуры, $\Delta W$ — изменение внутренней энергии газа, $m$ — масса газа, $A = p\Delta V$ — совершённая при расширении газа работа ($\Delta V$ — изменение объёма, $p$ — давление).
Так как при повышении температуры газа на одинаковое число градусов изменение его внутренней энергии одинаково как при нагревании при постоянном объёме, так и при нагревании при постоянном давлении, то можно записать: $c_pm\Delta t = c_vm\Delta t+p\Delta V$. С помощью уравнение газового состояния (уравнения Клапейрона — Менделеева) совершённую работу можно выразить через молекулярную массу газа $\mu$ и газовую постоянную $R$: $p\Delta V = \frac{m}{\mu}R\Delta t$. Подставляя это соотношение в уравнение $\eqref{eq:ref1}$, получим: $c_p = c_v+\frac{R}{\mu}$, откуда:
$$\mu = \frac{R}{c_p-c_v} \approx 32,7$$ кг/кмоль.
Неизвестный газ — кислород с очень не большой примесью более тяжёлого газа.
