Примеры замкнутых множеств

  1. \varnothing замкнуто (и, в то же время, открыто).
  2. Отрезок \left [a,b \right ] \subset \mathbb{R} на вещественной прямой замкнут в стандартной топологии, поскольку его дополнение открыто.
  3. Множество \mathbb{Q} \bigcap \left [0,1 \right ] будет замкнутым в пространстве рациональных чисел \mathbb{Q}, но не будет замкнутым в пространстве вещественных чисел \mathbb{R}.
  4. Произвольный замкнутый шар B(x_0,r) = \left\{x : |x - x_0| \leq r \right\} будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что какую бы мы ни взяли точку x, не принадлежащую B(x_0,r), она не будет являться предельной для этого шара, то есть. найдется такая окрестность B(x,\rho), в которой нет ни одной точки данного шара (Достаточно взять \rho \leq |x-x_0|-r).
  5. Произвольный сегмент I \equiv \left [a_1,b_1;...;a_n,b_n \right ] будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что окрестность произвольной точки x, не принадлежащей I, не будет содержать точек из I. Действительно, так как x \notin I, то найдется такое j, что x_j \notin \left [a_j,b_j \right ]. Пусть, к примеру, x_j < a_j. Легко видеть, что шар B(x,\rho), где 0 < \rho \leq a_j - x_j, не имеет общих точек с I. Следовательно, I – замкнутое множество.
  6. Рассмотрим множество E \equiv \left\{(x,y) : y = sin \frac{1}{x}, x \neq 0\right\}. Отрезок  \left [-1,1 \right ] оси ординат целиком состоит из предельных точек множества E, но ни одна из точек этого отрезка не принадлежит E. Поэтому множество E не является замкнутым.

Литература:

Свойства замкнутых множеств

Теорема. Пусть (X,\tau) — произвольное топологическое пространство. Тогда  система всех его замкнутых множеств имеет такие свойства:

  1. Множества X и \varnothing будут замкнутыми;
  2. Произвольная система замкнутых множеств в пересечении дает замкнутое множество;
  3. Произвольная конечная система замкнутых множеств в объединении дает замкнутое множество;

Доказательство

  1. Обозначим через (X,\tau) произвольное топологическое пространство. В таком случае, X и \varnothing являются замкнутыми множествами (в то же время и открытыми по 3-ей аксиоме топологического пространства), так как X\setminus\varnothing=X — открытое множество и X\setminus X=\varnothing — также открытое множество.
  2. Обозначим через \left\{ F_{\alpha} \right\} систему замкнутых множеств. Следовательно, с учетом того факта, что замкнутое множество есть дополнение открытого, получаем \bigcap_{\alpha} F_{\alpha} = \bigcap_{\alpha}(X \setminus G_{\alpha}) = X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}, так как. объединение открытых множеств есть множество открытое, а его дополнение — замкнуто, то множество X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha} замкнуто.
  3. Аналогично попробуем найти объединение конечной системы замкнутых множеств: \bigcup_{n=1}^{k} F_{n} = \bigcup_{n=1}^{k}(X \setminus G_{n}) = X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n} , так как пересечение конечного числа открытых множеств G_k будет открытым множество, то X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n} замкнуто.

Вышеперечисленные свойства систем замкнутых множеств, однозначно их характеризуют, поэтому не исключается подход, при котором эти свойства принимаются за систему аксиом, определяющих топологическое пространства. Следовательно, имеет место следующая
Теорема. Если X — произвольное множество и \lambda семейство его подмножеств, обладающее следующими свойствами:

  1.  X, \varnothing \in \lambda
  2. Пересечение множеств любой подсистемы в \lambda принадлежит \lambda
  3. Объединение множеств любой конечной подсистемы в \lambda принадлежит \lambda

Предположим, что \upsilon — семейство дополнений всех различных множеств из \lambda. В таком случае \upsilon будет топологией на X, а \lambda — системой замкнутых множеств топологического пространства (X,\upsilon).

Литература:

Свойства замкнутых множеств

Тест по теме «Свойства замкнутых множеств»

Таблица лучших: Свойства замкнутых множеств

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
/a. Тогда 

Двойственность открытых и замкнутых множеств

Пусть множество E \subset \mathbb{R}^n. Тогда множество всех точек x \in \mathbb{R}^n, не принадлежащих множеству E, называется дополнением множества E и обозначается cE или E^c.

Теорема. Для того чтобы множество E \subset \mathbb{R}^n было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение G \equiv cF было открытым. Доказательство.
Необходимость. Пусть E замкнуто и x – произвольная точка из G. Докажем, что она будет внутренней в G. Поскольку x \notin E, то она не будет предельной точкой для E и найдется такая ее окрестность U_x, которая не содержит ни одной точки из E. Следовательно, эта окрестность полностью содержится в G, так что x – внутренняя точка множества G.
Достаточность. Предположим теперь, что G – открыто. Докажем тогда, что E замкнуто. Для этого достаточно показать, что любая точка x, которая не принадлежит E, не будет предельной для E. Если x \notin E, то x \in G, а так как G открыто, следовательно найдется окрестность U_x \subset G. Она не будет содержать точек из E, так что x не является предельной для E, ч. т. д.

Отношение двойственности. Пусть  \left\{ E_{\alpha} \right\} – произвольное семейство множеств. Тогда дополнение к объединению множеств E_{\alpha} равно пересечению дополнений множеств E_{\alpha}, а дополнение к пересечению равно объединению дополнений, т. е. c(\bigcup E_{\alpha}) = \bigcap(cE_{\alpha}), c(\bigcap E_{\alpha}) = \bigcup(cE_{\alpha}).

Литература:

Замкнутые множества

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Назовем точку x_0 предельной точкой множества E, если в произвольной окрестности точки x_0 существует хотя бы одна точка из E, отличная от x_0.
Предложение. Если x_0предельная точка множества E, то в произвольной ее окрестности содержится бесконечное множество точек из E. Доказательство. Обозначим через U произвольную окрестность x_0. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества E, отличных от x_0. Тогда среди них найдется точка x_1, ближайшая к x_0. Но тогда в шаре радиуса \left| x_1-x_0 \right| > 0 с центром в x_0 нет ни одной точки из E, отличной от x_0, а это невозможно, поскольку x_0 – предельная точка множества E.

Пример. Пусть B_0 = \left \{ x : \left | x \right | < 1 \right \} – единичный шар. Очевидно, что любая точка этого шара является для него предельной. Если же x_1 находится на сфере, т. е. \left| x_1 \right| = 1, то она не принадлежит шару, но является предельной для шара. Действительно, пусть B(x_1,\rho) — произвольная окрестность точки x_1. Тогда все точки вида y = tx_1 (1-\rho < t < 1) принадлежат B_0 и содержатся в B(x_1,\rho). Следовательно, x_1 является предельной для шара B_0 по определению.

Рассмотрим теперь точку x_2, такую, что \left| x_2 \right| > 1. Докажем, что она не будет предельной для B_0. Действительно, предположим, что \rho = \left| x_2 \right| -1 > 0. Тогда в B(x_2,\rho) нет ни одной точки из B_0. Это легко можно показать, используя неравенство треугольника. Поэтому точка x_2 не является предельной для множества B_0.

Таким образом, можно видеть, что предельные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем.

Определение.Множество E называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.

Условимся считать пустое множество \varnothing замкнутым. Пространство \mathbb{R}^n, очевидно, является замкнутым по определению.

Литература:

Замкнутые множества

Тест по теме «Замкнутые множества»

Таблица лучших: Замкнутые множества

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных