Преобразование Фурье (прямое и обратное)

1. Понятие преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье. Пусть $f(x)$ есть комплекснозначная функция действительного переменного. Тогда преобразование Фурье функции $f(x)$ ( оно обозначается через $F[f]$ или $\hat{f}$) определяется формулой
$$\hat{f}(y)=F[f]=v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx\,(1)$$
Обратное преобразование Фурье(обозначается через $F^{-1}[f]$ или $\tilde{f}$) определяется формулой
$$\tilde{f}(y)=F^{-1}[f]=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx\,(2)$$
Предполагается, что интегралы (1) и (2) существуют. Если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема, то несобственные интегралы $$\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx$$$$\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx$$ существуют и совпадают с соответствующими интегралами в смысле главного значения. Поэтому для абсолютно интегрируемых функций преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье определяется как следующие несобственные интегралы:
$$F[f]=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-iyx}dx$$
$$F^{-1}[f]=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx$$

2. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых на $\mathbb{R}$ функций.

Лемма 1. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции есть ограниченная и непрерывная на $\mathbb{R}$ функция.

Так как функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$, то
$$\left|\hat{f}(y)\right|=\left|\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{iyx}dx \right| \leq\intop_{-\infty}^{+\infty} \left| f(x)\right|dx= C_{0}$$ Cледовательно, $\hat{f}(y)$ есть ограниченная функция на $\mathbb{R}$. Для доказательства непрерывности функции $\hat{f}(y)$ запишем её в виде

$$\hat{f}(y)=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)\cos{(yx)}dx$$ $$-i\intop_{-\infty}^{+\infty}f(x)\sin{(yx)}dx=$$ $$a(y)-ib(y)$$

и заметим, что, в силу леммы, функции $a(y)$ и $b(y)$ непрерывны на $\mathbb{R}$.

Теорема 1. Если функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$ и имеет в каждой точке конечную производную $f'(x)$, то справедливы формулы обращения

$$F^{-1}\left[F\left[f\right]\right]=f,$$ $$F\left[F^{-1}\left[f\right]\right]=f \,(5)$$

Так как выполнены условия теоремы, то справедливо равенство

$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}dy \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(y(x-t))}dt=$$

$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}(a(y)cos{(yx)}+b(y)\sin{(yx)}dy$$

а следовательно, и равенства (4) и (5), которые, применяя обозначения (1) и (2), можно записать в виде (5).

Преобразование Фурье

Проверьте свои знания.

 

Литература

 

Представление функции интегралом Фурье

Интеграл Фурье как разложение в сумму гармоник

Интегральную формулу Фурье можно переписать следующим образом:
$$f\left(x\right)=\intop _{ 0 }^{ +\infty }{ \left[ a\left(\lambda \right)\cos { \lambda x } +b\left(\lambda \right)\sin { \lambda x } \right] d\lambda },\quad\left(\ast\right)$$ где
$$a\left(\lambda \right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$$ $$b\left(\lambda \right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$$
Равенство $\left( \ast \right)$ аналогично разложению функции в тригонометрический ряд Фурье, а выражения $a\left(\lambda \right), b\left(\lambda \right)$ аналогичны формулам для коэффициентов Фурье.

Замечание. Для удобства дальнейших вычислений формула $\left(\ast\right)$ может быть упрощена, а именно:

  • Если $f\left(x\right)$ — чётная функция, то $$a\left(\lambda \right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\cos { \lambda \xi } d\xi } ,$$ а $b\left(\lambda \right)$ принимает значение $0.$ Тогда формулу $\left(\ast\right)$ можно записать в виде $$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \cos { \lambda x } d\lambda } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\cos { \lambda \xi } d\xi }.$$ Это выражение называется косинус-формулой Фурье.
  • Для нечётной $f\left(x\right)$ получаем соответственно, что $a\left(\lambda\right)$ обращается в нуль, а $$b\left(\lambda\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi },$$ поэтому исходная формула приобретает вид $$f\left(x\right)=\frac { 2 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \sin { \lambda x } d\lambda } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(\xi\right)\sin { \lambda \xi } d\xi }.$$ Таким образом, мы получили синус-формулу Фурье.

Замечание. Интегральная формула Фурье имеет эквивалентную ей комплексную формулу интеграла Фурье $$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \int\limits _{ -\infty }^{ +\infty }{ d\lambda } \int _{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left( \xi \right) { e }^{ i\lambda \left( x-\xi \right) }d\xi } .$$

Пример

Представить следующую функцию интегралом Фурье: $$f\left(x\right)=\begin{cases} 1,\quad если \quad \left| x \right| < 1; \\ 0,\quad если \quad \left| x \right| > 1. \end{cases}$$

Решение показать

Литература

Тестирование. Представление функции интегралом Фурье

Тесты помогут понять насколько хорошо был усвоен материал.

Интегралы в смысле главного значения . Комплексная форма интеграла Фурье

Пусть функция $f(x): \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ абсолютно интегрируема на любом конечном отрезке $[a,b]$.
Если существует конечный предел
$$ \lim_{N \rightarrow \infty}\intop_{-N}^{N} f(x)\,dx,$$
то этот предел будем называть интегралом в смысле главного значения и обозначать через $$v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx.$$ Таким образом,
$$v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=\lim_{N \rightarrow \infty}\intop_{-N}^{N} f(x)\,dx.$$
Если $$\intop_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$$ сходящийся, то он существует и в смысле главного значения. Обратное утверждение неверно. Ясно, что для любой нечетной, абсолютно интегрируемой на любом конечном отрезке функции интеграл от этой функции в смысле главного значения равен нулю.
Пусть функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на отрезке$[a,\beta]$, содержащимся в отрезке $[a,b]$ и $c\overline{\in}[a,\beta]$, $c\in(a,b)$.
Тогда:
$$v.p.\intop_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{\epsilon \rightarrow +0} \left[ \intop_{a}^{c-\varepsilon}f(x)\,dx — \intop_{c+\varepsilon}^{b}f(x)\,dx \right]$$
Пусть для абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции $f(x)$ справедливо представление в виде интеграла Фурье, т.е. $\forall x \in \mathbb{R}$ справедливо
$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\,dy \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(y(x-t))}\,dt=$$

$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}a(y)\cos{(yx)}\,dy+\intop_{-\infty}^{+\infty}b(y)\sin{(yx)}\,dy,(1)$$ где
$$a(y)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(yt)}\,dt,$$ $$b(y)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{(yt)}\,dt.$$

Лемма 1. Если $f(x)$ — абсолютно итегрируемая на $\mathbb{R}$, то $a(y)$ и $b(y)$, непрерывны на $\mathbb{R}$.
Докажем непрерывность $a(y)$.
$$a(y)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(yt)} \,dt$$
Из этого следует, что
$$\left|\triangle a(y)\right|=$$ $$=\left| a(y+\triangle y)-a(y)\right|\leq$$ $$\leq\frac{1}{\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\left| f(t)\right|\left|\sin{(\frac{t\triangle y}{2})}\right|dt.(2)$$
Так как функция $f(t)$ абсолютно интегрируема, то интервал $(-\infty,+\infty)$ можно разбить на три таких интервала $(-\infty,-c)$,$(-c,c)$ и $(c,+\infty)$, что по бесконечным интервалам интегралы от функции
$\mid f(x) \mid$ меньше либо равны $\frac{\varepsilon}{3}$. Второй интеграл в формуле (2) меньше, чем
$$\frac{c}{2\pi}\mid \triangle y \mid \intop_{-c}^{c}\mid f(t) \mid\, dt,$$
и, следовательно $\exists\delta>0$что при $\mid \triangle y \mid < \delta$ второй интеграл в формуле(1) меньше $\frac{\varepsilon}{3}$. Из (*) следует, что при $\mid \triangle y \mid < \delta$
приращение $\mid \triangle a(y) \mid < \varepsilon$. Рассмотрим несобственный интеграл
$$K(y)=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin{(y(x-t))}\,dt=$$

$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)(\sin{(yx)} \cos {(yt)}-\cos{(yx)}\sin{(yt)})\,dt=$$ $$=2\pi(a(y)\sin{(yx)}-b(y)\cos{(yx)}).$$
В силу леммы 1 функция $K(y)$ непрерывна на $\mathbb{R}$. Так как функция $K(y)$ нечетна, то
$$\frac{1}{2\pi}v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty}K(y)\,dy=$$ $$=v.p.\intop_{-\infty}^{+\infty}\,dy\intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)sin\,y(x-t)\,dt=0.(3)$$
Теорема 1. Если для абсолютно интегрируемой на $\mathbb{R}$ функции $f(x)$ справедливо $$f(x)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\,dy \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos{(y(x-t))}\,dt=$$

$$=\intop_{-\infty}^{+\infty}a(y)\cos{(yx)}\,dy+\intop_{-\infty}^{+\infty}b(y)\sin{(yx)}\,dy$$
то справедливо, что $$f(x)=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\left( \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iyt}\,dt \right) e^{iyx}\,dy,(4)$$

$$f(x)=v.p.\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\left( \intop_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{iyt}\,dt \right) e^{-iyx}\,dy.(5)$$
(4) получается умножением равенства (3) на мнимую единицу, сложить его с равенством (4) и воспользоваться формулами Эйлера
$$\cos{(y(x-t))}+I\sin{(y(x-t))}=e^{iy(x-t)}=e^{iyx}e^{-iyt}$$
Аналогично получается (5). Интеграл, стоящий в праваой части равенства (4), называется интегралом Фурье $f(x)$ в комплексной форме.

Замечание показать

Примеры

Пример 1.Представить интегралом Фурье в комплексной форме функцию$$ f(x)=\begin{cases}0,x<0\\h, 0 \leq x \leq \tau \\ 0, x>\tau \end{cases}$$

Решение показать

Пример 2. Представить интегралом Фурье в комплексной форме функцию $$f(x)=\begin{cases}-e^{-2x},x \geq0,\\2e^{x},x<0 \end{cases}$$

Решение показать

Интегралы в смысле главного значения

Рекомендуется пройти


 

Литература

Определение интеграла Фурье

Для лучшего понимания материала, изложенного ниже, пожалуйста, ознакомьтесь с темой «Ряды Фурье».

Интегральная формула Фурье

Если интервал $\left[ -l,l \right],$ на котором функция $f\left(x\right)$ разлагается в тригонометрический ряд Фурье, неограниченно возрастает, т.е. $l\rightarrow +\infty,$ то ряд Фурье превращается в интеграл Фурье. При переходе к пределу происходит качественный скачок: функция, заданная на любом конечном интервале $\left[ -l,l \right],$ разлагается в ряд «гармонических колебаний», частоты которых образуют дискретную последовательность; функция $f\left(x\right),$ заданная на всей оси $x$ или на полуоси $x,$ разлагается в интеграл, который представляет собой сумму «гармонических колебаний», частоты которых непрерывно заполняют действительную полуось $0\le \lambda \le +\infty .$ Рассмотрим этот предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье.

Замечание. Напомним, что функция $f$ является кусочно-гладкой на отрезке $\left[ a,b \right],$ если:

  • $f$ непрерывна во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек ${ x }_{ 1 },\dots ,{ x }_{ n }\in \left(a,b\right).$
  • $\forall i=1,\dots ,n \quad \exists f\left({ x }_{ i }\pm 0\right),\quad f\left(a+0\right),\quad f\left(b-0\right).$
  • $f$ – дифференцируема во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек ${ x }_{ 1 },\dots ,{ x }_{ n }.$
  • $\exists f^{ \prime }\left({ x }_{ i }\pm 0\right).$Пусть $f\left(x\right)$ задана на всей оси $x$ и на каждом конечном отрезке $\left[ -l,l \right],$ является кусочно-гладкой. Тогда, в силу основной теоремы о сходимости тригонометрического ряда Фурье, при любом $l>0$ $$f(x)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \left( { a }_{ k }\cos { \frac { k\pi x }{ l } } +{ b }_{ k }\sin { \frac { k\pi x }{ l } } \right) } ,\quad \left( 1 \right) $$
    где $$\left(2\right)\quad \begin{cases} { a }_{ 0 }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right) } d\xi , \\ { a }_{ k }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi \xi }{ l } d\xi , } } \\ { b }_{ k }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\sin { \frac { k\pi \xi }{ l } d\xi . } } \end{cases}$$
    Равенство $\left(1\right)$ имеет место, если $x$ — внутренняя точка отрезка $\left[ -l,l \right],$ в которой $f\left(x\right)$ непрерывна; если же $x$ — внутренняя точка этого отрезка, в которой $f\left(x\right)$ разрывна, то в левой части равенства $\left(1\right)$ $f\left(x\right)$ нужно заменить через $\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 }.$
    Подставляя выражения $\left(2\right)$ в $\left(1\right),$ получим $$f\left(x\right)=\frac { 1 }{ 2l } \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)d\xi } +\frac { 1 }{ l } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi }{ l } } \left(\xi -x\right)d\xi } }.\quad \left(3\right) $$
    Если $f\left(x\right)$ ещё и абсолютно интегрируема на всей оси $x,$ т.е. $$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx } =Q<+\infty, \quad \left(4\right)$$
    то при переходе к пределу при $l\rightarrow +\infty$ первое слагаемое в правой части $\left(3\right)$ в силу условия $\left(4\right)$ стремится к нулю. Следовательно, $$f\left(x\right)=\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ l } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi }{ l } } \left(\xi -x\right)d\xi } . } } \quad \left(5\right)$$ Положим $\frac { k\pi }{ l } ={ \lambda }_{ k },$ $\frac { \pi }{ l } ={ \Delta \lambda }_{ k }.$ Тогда $\left(5\right)$ можно переписать в виде $$f\left( x \right) =\lim _{ \begin{matrix} l\rightarrow +\infty \\ \Delta { \lambda }_{ k }\rightarrow 0 \end{matrix} }{ \frac { 1 }{ \pi } } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \Delta { \lambda }_{ k } } \intop_{ -l }^{ l }{ f\left( \xi \right) \cos { { \lambda }_{ k } } \left( \xi -x \right) d\xi }.\quad \left( 6 \right) $$
    Будем рассуждать нестрого:

    1. при больших значениях $l$ интеграл $$\intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi }$$ можно заменить интегралом
      $$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi },$$
    2. $$\sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \Delta { \lambda }_{ k } } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi } $$ является интегральной суммой для интеграла $$\intop_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } ,$$ поэтому из $\left(6\right)$ получаем $$f\left(x\right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } , \quad \left(7\right)$$ где в левой части равенства $\left(7\right)$ вместо $f\left(x\right)$ нужно писать $\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 } ,$ если $x$ является точкой разрыва функции $f\left(x\right).$

    Равенство $\left(7\right)$ называется интегральной формулой Фурье, а интеграл, стоящий в её правой части, — интегралом Фурье либо двойным интегралом Фурье

    Обоснование интегральной формулы Фурье

    Равенство $\left(7\right)$ было получено с помощью формальных предельных переходов, которые не были обоснованы.
    Вместо того чтобы их обосновать, удобнее непосредственно доказывать справедливость равенства $\left(7\right).$

    Теорема

    Если функция $f\left(x\right),$ кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке оси $x,$ абсолютно интегрируема на всей оси $x,$ т.е. интеграл $\int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx } $ сходится, то $$\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ l }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } } =\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 }.$$

    Доказательство показать

    Замечание. Основная теорема об интеграле Фурье справедлива и при более слабых ограничениях, налагаемых на функцию $f\left(x\right).$ А именно, если абсолютно интегрируемая на всей оси $x$ функция $f\left(x\right)$

    • кусочно-непрерывна на каждом конечном отрезке оси $x$
    • отношение $\left| \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \right|$ ограничено при любом фиксированном $x$ для всех достаточно малых $\zeta,$ то основная теорема сохраняет силу.
    Доказательство показать

    Литература

    Тестирование. Интеграл Фурье

    После прочтения материала настоятельно рекомендую попробовать силы в несложных тестах для закрепления материала.
    Желаю успехов!