Метка: интеграл

Метод подстановки

Во многих случаях свести нахождение интеграла к табличному виду позволяет метод подстановки, который так же называют метод замены переменных. Основную идею метода составляет следующая теорема.

Теорема:

Пусть функция [latex]x = \varphi (t)[/latex] непрерывно дифференцируема на промежутке [latex]T[/latex], а на промежутку [latex]X[/latex] такой, что [latex]\forall t \in T[/latex], [latex]x = \varphi (t) \in X[/latex] определена непрерывная функция [latex]f(x).[/latex] Тогда,

$latex \int {f(x)dx}=$ $latex \int {f(\varphi (t))\varphi ‘} (t)dt$

Практическая польза формулы замены переменной состоит в том, что когда вы затрудняетесь взять интеграл, вы делаете замену [latex]u=g(x)[/latex], т.е. обозначаете некоторое выражение [latex]g(x)[/latex], входящее в подынтегральнyю функцию, новой буквой [latex]u[/latex], и затем преобразуете интеграл под формулу замены. Хотя формула справедлива для любой замены (удовлетворяющей условия теоремы), задача состоит в подборе такой, которая приводит к табличному интегралу (или нескольким табличным интегралам). Такую замену будем называть хорошей. Вообще говоря, подбор хорошей замены не всегда очевиден. Если одна замена не сработала, не отчаивайтесь, а пробуйте другую.

Пример 1:

$latex \int {\rm ctg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}dx =$ $latex \left|\begin{array}{l}t = \sin x;\\dt = \cos xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex \ln \left| {\sin x} \right| + C.$ 

Пример 2:

$latex \int {\rm tg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}dx =$ $latex \left| \begin{array}{l}t = \cos x;\\dt = — \sin xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex — \ln \left| {\cos x} \right| + C.$ 

Литература

Определение интеграла с переменным верхним пределом

Пусть функция $latex f $ интегрируема на отрезке $latex [a,b]. $ Обозначим

$latex F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt $   $latex (x \in [a,b]).$

Площадь под графиком f(t) равна значению F(x)
Заштрихованная область под графиком функции $latex f(t) $ это значение нашей функции $latex F(x) $. Легко заметить, если $latex x $ будет стремиться к $latex b $ или $latex a $ то заштрихованная площадь увеличивается или уменьшается соответственно, следовательно и значение функции $latex F(x) $ также будет изменяться.

По свойству аддитивности интегрируемых функций, $latex f $ интегрируема на $latex [a,x] $ для любого $latex x \in [a,b]. $
Поэтому функция $latex F $ определена на $latex [a,b]. $ Заметим, что $latex F(a)=0. $ Функцию $latex F $ называют интегралом с переменным верхним пределом.

Нас в дальнейшем будут интересовать две характеристики этой функции, а именно непрерывность и дифференцируемость

Понятие интеграла с переменным верхним пределом нам будет необходимо при выведении основной формулы дифферендицального исчисления.

Литература :

Определение интеграла с переменным верхним пределом

Этот тест проверит ваши знания по теме «Определение интеграла с переменным верхним пределом»


Таблица лучших: Определение интеграла с переменным верхним пределом

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

 

Теорема. Пусть $latex f $ интегрируема на $latex [a,b] $. Тогда функция $latex F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt, x \in [a,b] $ непрерывна на $latex [a,b] $.

Доказательство.

Спойлер

Пусть $latex x_{0}, x_{0} + \Delta x \in [a,b]$. Тогда

$latex F(x_{0}+ \Delta x) — F(x_{0}) = \int_{a}^{x_{0}+\Delta x} f(t)dt — \int_{a}^{x_{0}} f(t)dt = \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} f(t)dt $

Функция $latex f $ ограничена на $latex [a,b] $ (поскольку она интегрируема), так что при некотором $latex M : $

$latex |f(t)| \leq M \forall t \in [a,b] $.

Следовательно

$latex |F(x_{0}+ \Delta x) — F(x_{0})| = | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} f(t)dt | \leq | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} |f(t)|dt | \leq M | \int_{x_{0}}^{x_{0}+ \Delta x} dt | = $

$latex = M |\Delta x| \rightarrow 0 $ при $latex \Delta x \rightarrow 0 $,

Откуда следует непрерывность функции $latex F $  $latex \blacksquare $

[свернуть]

 

Литература :

Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

Этот тест проверит ваши знания касательно непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.

Таблица лучших: Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Интегрирование функций вида $latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2$

Интегралы типа $latex \int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}}),$
где a, b, c, d — действительные числа, $latex r_{k}\in \mathbb{Q}(k=\overline{1,n})$, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки

$latex \frac {ax+b}{cx+d}=t^{p},$

где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел $latex r_{1},r_{2},…r_{n}.$
Действительно, из подстановки $latex \frac{ax+b}{cx+d}=t^{p}$ следует, что $latex x=\frac{b-dt^{p}}{ct^{p}-a}$ и $latex dx=-\frac {dpt^{p-1}(ct^{p}-a)-(b-dt^{p})cpt^{p-1}}{(ct^{p}-a)^{2}}dt$, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби $latex \frac{ax+b}{cx+d}$ выражается через рациональную функцию от t.

Примеры

1)Найти $latex I=\int\frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}}dx$. Сделав подстановку

$latex t=\sqrt{x+1};dx=2tdt$

будем иметь

$latex I=2\int\frac{t+2}{t^{3}-1}dt=\int(\frac{2}{t-1}-\frac{2t+2}{t^{2}+t+1})dt=2\int\frac{dt}{t-1}-\int\frac{2t+1}{t^{2}+t+1}dt-\int\frac{dt}{(t+1\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}=$
$latex =ln\frac{(t-1)^{2}}{t^{2}+t+1}-\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C.$

2) Найти интеграл $latex I=\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}-\sqrt{x+2}}.$ Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $latex \frac{2}{3}$ и $latex \frac{1}{2}$ есть 6. Сделав замену

$latex t=\sqrt[6]{x+2};dx=6t^{5}dt$

будем иметь

$latex I=\int\frac{6t^{5}dt}{t^{4}-t^{3}}=6\int\frac{t^{2}dt}{t-1}=6\int\frac{(t^{2}-1)+1}{t-1}dt=6\int(t+1+\frac{1}{t-1})dt=3t^{2}+6t+$
$latex +6ln\left|t-1\right|+C=3\sqrt[3]{x+2}+6\sqrt[6]{x+2}+6ln\left|\sqrt[6]{x+2}-1\right|+C.$

Литература

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
  • www.znannya.org_Интегрирование иррациональных функций
  • Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, часть 1(3), О.:2009, стр.60

    • Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

    Свойство  1

    Если $latex f,g\in \mathbb{R}[a;b] $, то $latex \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}$  $latex \varphi (x)=\alpha f+\beta g\in \mathbb{R}[a;b] $$latex \int\limits_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int\limits_{a}^{b}f(x)dx+\beta \int\limits_{a}^{b}g(x)dx $.

    Доказательство:

    Пусть $latex \delta _{T}(\xi ,f),\delta _{T}(\xi ,g),\delta _{T}(\xi ,\varphi ) $  — интегральные суммы для соответствующих функций, тогда: $latex \delta _{T}(\xi ,\varphi )=\alpha \delta _{T}(\xi ,f)+\beta \delta _{T}(\xi ,g) $. Если $latex \lambda (T)\rightarrow 0 $, то $latex \alpha \delta _{T}(\xi ,t)\rightarrow \alpha \int\limits_{a}^{b}f(x)dx, $ $latex \beta \delta _{T}(\xi ,g)\rightarrow \beta \int\limits_{a}^{b}g(x)dx $.

    Свойство 2

    Если $latex f,g\in \mathbb{R}[a;b] $, то $latex fg\in \mathbb{R}[a;b] $

    Доказательство:

    Воспользуемся критерием интегрируемости:

    1) $latex fg $ — ограничены, так как  $latex f $ — ограничена по условию,  $latex g $ — ограничена по условию. $latex \left | f(x) \right |\leq C_{1}, \left | g(x) \right |\leq C_{2}, \left | fg(x) \right |=\left | f(x) \right |*\left | g(x) \right |\leq C_{1}*C_{2} $

    2) В терминах колебаний:

    $latex fg=\varphi; x^{1},x^{n}\in \Delta _{i}[x_{i-1};x_{i}]; $

    $latex \varphi(x^{n})-\varphi(x^{1})=f(x^{n})g(x^{n})-f(x^{1})g(x^{1})= $

    $latex f(x^{2})g(x^{2})-f(x^{1})f(x^{n})+f(x^{1})g(x^{n})-f(x^{1})g(x^{1})\leq $

    $latex g(x^{n})(f(x^{n})-f(x^{1}))+f(x^{1})(g(x^{n})-g(x^{1}))\leq $

    $latex C((f(x^{n})-f(x^{1}))+(g(x^{n})-g(x^{1})); $

    $latex \omega _{i}(f)=M_{i}-m_{i}=\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup\left(f(x^{1})-f(x^{n})\right)\leq $

    $latex C(\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup(f(x^{1})-f(x^{n}))+\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup(g(x^{1})-g(x^{n})))= $

    $latex C(\omega_{i}(f)+\omega_{i}(g)) $ $latex \Rightarrow $ $latex \varphi(x^{n})-\varphi(x^{1})\leq $

    $latex C(\omega_{i}(f)+\omega_{i}(g)) $ $latex \Rightarrow $ $latex \omega_{i}(\varphi )= $ $latex \sup(\varphi(x^{2}) $ $latex -\varphi(x^{1})) $

    Свойство  3

    Если $latex f\left(x \right)\in \mathbb{R}[a;b] $, тогда  $latex \left| f\left(x \right)\right|\in \mathbb{R}[a;b] $  и

    $latex \left| \int\limits_{a}^{b}{}f\left(x \right)dx\right|\leq \int\limits_{a}^{b}{}\left|f\left(x \right) \right|dx$

    Доказательство:

    $latex f=\begin{cases}-1, & \text{ } x\in\mathbb{R}/\mathbb{Q} \\ 1, & \text{ } x\in \mathbb{Q} \end{cases}$

    По свойству модуля:

    $latex \forall x^{1}, x^{2}\in B_{i}=[x_{i-1};x_{i}]=\left | \left | f(x^{2}) \right |\left | f(x^{1}) \right | \right |\leq \left | f(x^{2})-f(x^{1}) \right |\Rightarrow $

    $latex \left | \left | f(x^{2}) \right |-\left | g(x^{1}) \right | \right |\leq \omega_{i}(\left | f\right |)\leq\omega (f); i=\overline{1,n}\Rightarrow $

    $latex 0\leq\sum\limits_{i=1}^{n}{}\omega_{i}(\left | f\right |)\Delta x_{i}\leq\sum\limits_{i=1}^{n}\omega_{i}(f)\Delta x_{i} $.

    Список литературы:

     

    Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

    Начало теста

    Таблица лучших: Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

    максимум из 5 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных