Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства

Пусть заданы два некоторых множества $X \subset R$ и $Y \subset R$, где $Y$ — множество параметров, а $X$ представляет из себя некоторый отрезок $[a, b]$ — множество переменных. Тогда определим множество
$$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} x\in X \\ y\in Y \end{matrix} } \right\} (K\subset { R }^{ 2 }).$$

На заданном множестве $K$ зададим некоторую функцию $f(x,y)$ и предположим, что, для каждого фиксированного $y \in Y$, она интегрируема по Риману на промежутке $[a,b]$ (в данной работе мы рассматриваем только собственные интегралы). Тогда заданную функцию
$$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$$
назовем интегралом, зависящим от параметра $y$.

Так как нами введена новая функция, логично рассмотреть некоторые ее свойства.

Свойство непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема (о непрерывной зависимости интеграла от параметра). Пусть на некотором множестве определена функция $f(x,y)$ и собственный интеграл, зависящий от параметра
$$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$$
и $f$ непрерывна в прямоугольнике
$$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\le x\le b \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$$
Тогда функция $J(y)$ непрерывна на отрезке $[c, d]$.

Доказательство показать

Как важное практическое применение данной теоремы, например, можем определить возможность переходить к пределу под знаком интеграла, при выполнении других необходимых для этого условий, а именно:
$$\lim _{ y\rightarrow { y }_{ 0 } }{ \intop _{ a }^{ b }{ f(x,y)dx=\intop _{ a }^{ b }{ \lim _{ y\rightarrow { y }_{ 0 } } f(x,y)dx=\intop _{ a }^{ b }{ f(x,{ y }_{ 0 })dx\quad \forall } { y }_{ 0 }\in [c,d] } } }.$$

Свойство дифференцируемости собственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема (о дифференцируемости интеграла от параметра). Пусть функция $f(x,y)$ вместе со своей частной производной $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывна в прямоугольнике
$$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\le x\le b \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$$
Тогда собственный интеграл, зависящий от параметра
$$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$$
является непрерывно дифференцируемой функцией на отрезке $[c,d],$ причем справедливо следующее равенство:
$${ J }^{ \prime } \left( y \right) =\frac { d }{ dy } \intop_{ a }^{ b }{ f\left( x,y \right) dx } =\intop_{ a }^{ b }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right) dx } ,\quad \forall y\in \left[ c,d \right].$$

Заметим, что указанное выше равенство называется правилом Лейбница: «Производная интеграла, зависящего от параметра, равна интегралу от производной подынтегральной функции по заданному параметру».

Доказательство показать

Обобщив указанную ранее теорему, можем получить формулу Лейбница для случая, когда пределы интегрирования являются некоторыми функциями, зависящими от параметра $y$.

Формула Лейбница дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы интегрирования которого зависят от переменной дифференцирования

Пусть пределы интегрирования собственного интеграла зависящего от параметра $y$ – некоторые непрерывно дифференцируемые на отрезке $[c, d]$ функции, зависящие от данного параметра: $a(y),b(y)$. Тогда пусть задана функция $f(x,y)$ вместе со своей частной производной $\frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)$ непрерывны в области
$$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\left( y \right) \le x\le b\left( y \right) \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$$
Тогда
$$J(y)= \intop_{a(y)}^{b(y)} f(x,y)dx$$
дифференцируема на $[c,d]$, причем
$${ J }^{ \prime }\left( y \right) =\intop _{ a\left( y \right) }^{ b\left( y \right) }{ \frac { \partial }{ \partial y } f\left( x,y \right)dx -f\left( a\left( y \right) ,y \right) \cdot { a }^{ \prime }\left( y \right) +f\left( b\left( y \right) ,y \right) \cdot { b }^{ \prime }\left( y \right) }.$$

Доказательство показать

Свойство интегрируемости собственного интеграла, зависящего от параметра

Теорема (о интегрируемости интеграла от параметра). Пусть задана $f(x,y)$ непрерывная на некотором прямоугольнике
$$K=\left\{ { (x,y) }|{ \begin{matrix} a\le x\le b \\ c\le y\le d \end{matrix} } \right\}.$$
Тогда функция (собственный интеграл, зависящий от параметра)
$$J(y)= \intop_{a}^{b} f(x,y)dx$$
интегрируема на отрезке $[c, d]$, причем
$$\intop _{ c }^{ d }{ { J }\left( y \right) dy } =\intop _{ c }^{ d }{ \left( \intop _{ a }^{ b }{ f\left( x,y \right) dx } \right) dy } =\intop _{ a }^{ b }{ \left( \intop _{ c }^{ d }{ f\left( x,y \right) dy } \right) dx }.$$

Доказательство показать

Данное свойство дает нам возможность интегрировать исходную функцию $J(y)$ по параметру $y$ под знаком интеграла.

Примеры и практическая значимость

Следует заметить, что введенный нами математический объект имеет достаточно интересное применение не только в плане непосредственного вычисления. Например, собственные интегралы, зависящие от параметра $x$, такого вида
$${ J }_{ n }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ 0 }^{ \pi }{ \cos { \left( x\cdot \sin { \varphi } -n\cdot \varphi \right) } d\varphi } ,$$ $${ J }_{ n }\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\pi } \intop _{ -\pi }^{ \pi }{ { e }^{ i\left( n\cdot \varphi -x\cdot \sin { \varphi } \right) }d\varphi } ,$$
где $n$ – некоторое целое число, являются интегральным представлением функций Бесселя первого рода. Интегральный подход использовал сам Бессель для изучения некоторых интересных свойств этих функций.

Такие функции имеют разнообразное применение не только в математических дисциплинах. Например, они применяются в решении задач о статических потенциалах, распространении волн, формы колебания тонкой круглой мембраны, обработке сигналов и т.д.


Bessel functions

Графическое представление функций Бесселя первого рода $0$, $1$ и $2$ порядков

Для более глубокого понимания темы, к рассмотрению предлагается практическое задание.

Пример показать

Примечание

*На данном этапе существуют разногласия по поводу применения формулы конечных приращений Лагранжа для доказательства данной теоремы, основанные на том, что вообще говоря $\theta_{x}$ представляет из себя некоторую функцию зависящую от переменной $x$, что вызывает вопрос не нарушает ли она непрерывность, а следовательно, и интегрируемость подынтегрального выражения. Несмотря на это в большинстве рассмотренных источников указано именно такое доказательство, аргументированное тем, что $\theta_{x} \in (0, 1)$ не меняет условия принадлежности рассматриваемой точки исходному отрезку. Если же читатель не согласен с таким применением теоремы Лагранжа о среднем значении, то доказать свойство дифференцируемости собственного интеграла, зависящего от параметра, можно аналогично доказательству свойства непрерывности, которое было приведено ранее.

Тест: собственные интегралы, зависящие от параметра

Для закрепления материала темы, рекомендуется пройти следующий тест.


Таблица лучших: Тест: собственные интегралы, зависящие от параметра

максимум из 19 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Равномерная сходимость и интегрирование

Пусть f_{n} — последовательность интегрируемых на отрезке \left[a;b\right] функций, поточечно сходящаяся к функции f. Поставим вопрос об интегрируемости на отрезке \left[a;b\right] предельной функции f и справедливости равенства
$$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Следующие примеры показывают, что в общем случае и интегрируемости нет, и равенство не выполняется.

Пример 1

Пусть \left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } — последовательность всех рациональных точек из отрезка \left[0;1\right]. Выразим:
$$f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}1,&x\in \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \},\\ 0,& x\in \left[0;1\right]\setminus \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \}\end{matrix}\right.$$
Тогда каждая функция f_{n} интегрируема на отрезке \left[0;1\right], потому что она имеет лишь конечное число точек разрыва \left \{ r_{1},\cdots r_{n}\right \}. С другой стороны, видно, что $$\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=D(x)$$ где D — функция Дирихле. Но как известно, функция Дирихле не интегрируема на отрезке \left[0;1\right].
Вывод: мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к неинтегрируемой функции.

Замечание (для рядов)

... показать

Пример 2

Положим f_{n}(0)=f_{n}(\frac{1}{n})=f_{n}(1)=0, f_{n}(\frac{1}{2n})=n, а на отрезках \left[0;\frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n};\frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n};1\right] функция f_{n} — линейна. Мы видим, что \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0,\; \forall x\in \left[0;1\right], так что предельная функция f(x)\equiv 0\; (x\in \left[0;1\right]) интегрируема и \int_{0}^{1}f(x)dx=0. С другой стороны, очевидно, что \int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\frac{1}{2}, поэтому предельный переход под знаком интеграла недопустим.
Вывод: даже если предельная функция интегрируема, то предел интегралов не обязан равняться интегралу от предельной функции.

Замечание (для рядов)

... показать

Вывод (для рядов)

Воспользовавшись этими примерами мы показали, что нельзя почленно интегрировать сходящийся ряд, т.е. равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
не верно. Потому что сумма поточечно сходящегося ряда из интегрируемых функций может оказаться неинтегрируемой функцией, а если даже сумма ряда будет функцией интегрируемой, то нужное равенство все равно нельзя гарантировать.

Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)

Пусть последовательность  \left \{ f_{n}(x) \right \} из непрерывных на отрезке \left[a;b\right ] функций, равномерно сходится к f(x) на этом отрезке. Тогда существует $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$

Доказательство

... показать

Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)

Пусть \left \{ u_{n} \right \} — последовательность непрерывных на отрезке \left[a;b\right] функций такова, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда справедливо равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$

Доказательство

... показать
Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Теорема

Пусть \left\{f_{n}\right\} — последовательность интегрируемых на отрезке \left[a;b\right] функций, равномерно сходящаяся на этом отрезке к функции f. Тогда предельная функция f интегрируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$

Доказательство

... показать

Тесты

равномерная сходимость и интегрирование

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и интегрирование»