Построение поля комплексных чисел

Краткая историческая справка показать

Определение комплексного числа показать
Расширение числовых множества Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение x^2+1=0 не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

  1. \mathbb{C} — поле;
  2. \mathbb{R} \subset \mathbb{C} ;
  3. x^2+1=0 — разрешимо в \mathbb{C} (1);
  4. \mathbb{C} минимально по включениям.
(\mathbb{C},+,\cdot) - поле показать

\mathbb{R} \subset \mathbb{C} показать

x^2+1=0 - разрешимо в \mathbb{C} показать

Минимальность показать

Список источников:

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.

Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Сопряженность

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Теоретическая справка показать

Сложение

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 + z_2 получается простым приведением подобных:
z_1 + z_2= z_1 + z_2= a_1+b_1i+a_2+b_2i= (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

пример показать

Вычитание

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 - z_2 получается аналогично со сложением:
a_1+b_1i - (a_2+b_2i)= (a_1-a_2)+(b_1-b_2)i

пример показать

Умножение

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 \times z_2= (a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i).
Что делать на этом шаге? Все довольно просто, как Вы наверно и подумали, надо всего лишь раскрыть скобки и привести подобные:
(a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i

пример показать

Определение комплексно сопряженного числа

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
z_1 называют комплексно сопряженным к z_2, если a_1 = a_2 и b_1 = -b_2, т.е. z_1=a_1+b_1i и z_2=a_1-b_1i.
И при перемножении z_1 \times z_2= {a_1}^2-{b_1}^2
Это потребуется для нашего следующего действия.

Деление

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= \frac{z_1}{z_2}= \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}
На этом шаге обычно все и остановилось бы, но мы сможем еще упростить выражение благодаря знанию комплексно сопряженных чисел. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю, получим:
\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}= \frac{(a_1a_2+b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}

пример показать

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Теоретическая справка показать

Умножение

Произведением двух комплексных чисел z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1) и z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2) будет комплексное число вида z=z_1z_2=r_1r_2(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)

пример показать

Деление

Частным двух комплексных чисел z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1) и z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2) будет комплексное число вида z=z_1z_2=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)

Возведение в степень

\forall z \in C z^n= {r(\cos\phi+i\sin\phi)}^n= r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))

пример показать

Извлечение корня

\forall z \in C \sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}= \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n}), k=\overline{0,n-1}

пример показать

Тест поможет Вам проверить, как Вы усвоили материал

Литература

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968,cтр 115-123
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, стр 194-210

Алгебраическая форма комплексного числа


 

Определение

Комплексное число $z$, записанное в виде $z=a+ib$,
называется алгебраической формой комплексного числа, где

$a$ и $b$ — вещественные числа,
$i$ — мнимая единица ($i^{2}=-1$) ,
$a=\mathrm{Re}\ z$ — вещественная часть $z$,
$b=\mathrm{Im}\ z$ — мнимая часть $z$.

Действия над комплексными числами:

Пусть даны два числа:
z_{1}=a+ib,
z_{2}=c+id

  • Cравнение:
    $z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow (\mathrm{Re}\ z_{1}=\mathrm{Re}\ z_{2})\wedge( \mathrm{Im}\ z_{1}=\mathrm{Im}\ z_{2})$,
    т.е. $(a=c)\wedge(b=d)$
  • Сложение:
    $z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)$
  • Вычитание:
    $z_{1}-z_{2}=(a-c)+i(b-d)$
  • Умножение:
    $z_{1} \cdot z_{2}=ac+bci+adi+bdi^{2}$
    $=(ac-bd)+(ad+bc)i$
  • Деление:
    $ \large\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$
    $ \large =\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$

Примеры действий над комплексными числами:

  • Найти сумму двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
    $z_{1}=5+6i$, $\, z_{2}=8-4i$:

    $z_{3}=z_{1}+z_{2}$ $=(5+8)+(6-4)i$
    $z_{3}=13+2i$

  • Найти произведение двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$, где
    $z_{1}=4+3i$, $\, z_{2}=7+2i$:

    $z_{3}=z_{1} \cdot z_{2}$ $=(4 \cdot 7-3 \cdot 2)+(4 \cdot 2+3 \cdot 7)i$
    $z_{3}=22+29i \\ $

  • Упростить выражение $ \large\frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i} \\$:
    $ \large \frac{(1+i)(3+i)(5-i)}{3-i}=\frac{(3+i+3i+i^{2})(5-i)}{3-i}= \\$
    $ \large = \frac{15+20i+5i^{2}-3i-3i^{2}-i^{3}}{3-i}=\\ $
    т.к. $\, \large i^{2}=-1 \Rightarrow i^{3}=i^{2} \cdot i=-i \\$
    $ \large = \frac{7+23i}{3-i}= \frac{21-23}{3+1}+\frac{69+7}{3+1}i =\\$
    $ = -\frac{1}{2}+19i $
  • $\quad$

  • Найти решения уравнения $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i$:
    $\quad$
    $(3+2i)x+(-2+4i)y=-8+16i \Rightarrow $
    $3x+2xi-2y+4yi=-8+16i\Rightarrow$
    $(3x-2y)+(2x+4y)i=-8+16i\Rightarrow$

    Приравняем вещественную и мнимую часть в левой и правой частях уравнения и составим систему уравнений:

    $ \begin{cases}3x-2y=-8\\ 2x+4y=16\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 3(8-2y)-2y=-8\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 24-8y=-8\end{cases} \Rightarrow $
    $ \begin{cases}x=8-2y\\ 8y=32\end{cases} \Rightarrow $ $ \begin{cases}x=2\\ y= 3\end{cases} $

    Ответ: $ \ x=0$; $\, y=4$

Литература:

  1. Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
  2. А.Г. Курош, Курс высшей алгебры (девятое издание, Москва, 1968), стр. 114-116

 

Алгебраическая форма комплексного числа

Тест на знание темы: «Алгебраическая форма комплексного числа»


Таблица лучших: Алгебраическая форма комплексного числа

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Смешанные задачи на комплексные числа

Для того чтобы приступить к работе над этим пунктом, необходимо иметь понимание о том, что написано в 3 предыдущих пунктах этой темы, а так-же соответствующий теоретический материал.

Здесь представлены некоторые примеры задач в которых нужно преобразовать комплексное число из одной формы в другую для их решения.

Пример 1
Представим число $z=\sqrt{3}+i$ в геометрической и тригонометрической форме.

Вспомним если $a+ib$ и $r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ два представления одного и того-же комплексного числа, то $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos{\alpha}=\frac{a}{r}$ и $\sin{\alpha}=\frac{b}{r}$.

Получаем $r=\sqrt{3+1}=2$ и $\alpha = \frac{\pi}{6}$, то-есть $z_1=2(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$ — тригонометрическая форма комплексного числа.

Зная, что в представлении $z=a+ib$, $Re(z)=a$, $Im(z)=b$, получаем что в комплексной плоскости точка представляющая комплексное число имеет координаты $(a,b)$.

Получаем $Z_2(\sqrt{3},1)$ — геометрическая форма комплексного числа.

Пример 2
Найдем г.м.т. точек $z$, если $z=4(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ и $0\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$.

Имеем $|z|=r=4$, $a=4\cos{\alpha}=Re(z)$, $b=4\sin{\alpha}=Im(z)$, отсюда и из условия получаем $0\leq a \leq 4$, $0\leq b \leq 4, a^2+b^2=16$. Получаем четверть круга радиуса $4$, расположенная в первой четверти декартовых координат. Так-же решение очевидно, если использовать полярную систему координат.

imgc2

Пример 3
Найдем комплексное число $z=\frac{(1-i\sqrt{3})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{(1-i)(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}$.

Для на чала преобразуем комплексные числа $z_1=1-i\sqrt{3},z_2=1-i$ в тригонометрическую форму. Получим $z_1=2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})$ и $x_2=\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$.

Подставив найденное в исходное выражение, получим что оно состоит только из комплексных чисел в тригонометрической форме. Решим полученное.
$$\frac{2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}=$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\cos{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}+i\sin{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}}{\cos{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}+i\sin{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}}=$$
$$=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot(\cos {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )}+i\sin {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )})=z$$

В этой задаче удобно привести комплексное число к тригонометрической форме, так как операции с ними выполняются проще.

Литература

Смешанные задачи на комплексные числа.

Тест на тему «Смешанные задачи на комплексные числа».


Таблица лучших: Смешанные задачи на комплексные числа.

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Любое комплексное число  z=(a,b) можно изобразить как точку на комплексной плоскости с координатами a и b, где ось абсцисс называется вещественной, а ось ординат — мнимой.
Точка на плоскости

Определение 1:

Модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей. z=a+ib, |z|=\sqrt{a^2+b^2}= \sqrt{(Re\;z)^{2}+(Im\;z)^{2}},
|z|\ge 0,\; |z|= 0 \Leftrightarrow z=0.

Определение 2:

Величина угла, который образует вектор изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа (\arg z), z\ne 0.
Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки — отрицательный, по — положительный.
Углы, отличающиеся на 2\pi k,k \in Z, соответствуют одному и тому же числу и записываются как:
\mathrm{Arg}\;z= \arg z +2\pi k,k \in Z , 0\le \arg z < 2\pi.

Определение 3:

У комплексного числа существует тригонометрическая форма записи z=r(\cos \varphi + i\sin\varphi),  r=|z|.

Примеры:

Найти геометрическое место точек (ГМТ):
  1. |z|\le 1
  2. ex1

  3. |z+1|>1

|z+1|=|x+iy+1|= |(x+1)+iy|= \sqrt{(x+1)^{2}+y{2}}= \sqrt{(x+1)^{2}+(y+0)^{2}}>1
ex2

Формула Муавра:

z^n= r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)).

Лемма 1:

Для любых двух комлексных чисел z_1,z_2\;\in C справедливо неравенство \left||z_1|-|z_2|\right|\le |z_1\pm z_2| \le |z_1|+|z_2|

Доказательство:

Пусть z_1\ne 0, z_2\ne 0,z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1), z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).
|z_1+z_2|= |r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)+r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)|= |(r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)|= \sqrt{r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)^{2}+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)^{2}}= \sqrt{r_{1}^{2}(\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1)+r_2^{2}(\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2)+2r_{1}r_{2}(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2)}=(*)
\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1 = 1
cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2 = 1
(*)=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}\le  \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2}= \sqrt{(r_1+r_2)^2}= r_1+r_2=|z_1|+|z_2|.

Литература:

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Тест на тему «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»: