М1473. О записи степеней двойки

Задача из журнала «Квант» (1995, выпуск №4)

Пусть c_{n} — первая цифра числа 2^{n} (в десятичной записи).

  1. Сколько единиц среди первых 1000 членов этой последовательности?
  2. Докажите, что в последовательности
    $$ c_{1}=2, \quad c_{2}=4, \quad c_{3}=8, \quad c_{4}=1, \quad c_{5}=3, \quad… $$

    встретится ровно 57 различных «слов» c_{k}c_{k+1}...c_{k+12} длины 13.

Решение

  1. Отметим на «логарифмической шкале» y=\log_{10}{x} числа x=2^{n} (каждая следующая отметка получается из предыдущей сдвигом на расстояние   \log_{10}{2}). Число x начинается с 1, если   10^{k} \le x < 2 \cdot 10^{k+1}   для некоторого k; соответствующие интервалы на рисунке 1 выделены красным (поскольку длина интервала как раз равна   \log_{10}{2}, на каждый из них попадает ровно одна отметка). Поскольку

    $$ \log_{10}{2} = 0.30103…, \quad 10^{301} \le 2^{1000} < 10^{302}, $$

    так что   2^{n}(n=0,1,2,...,1000)   ровно 301 раз перейдет через степень 10 и поэтому (не считая 2^{0}=1) 301-ый её член начинается с 1.

  2. line

  3. Чтобы более детально разобраться в закономерностях последовательности c_{n}, свернем логарифмическую шкалу y=\log{10}{x} в «логарифмический круг» z=y-\left[ y \right]: каждый отрезок от 10^k до 10^{k+1} даёт новый оборот круга, а точки 0=\log_{10}{1}, \quad \log_{10}{2}, \quad \log_{10}{3}, \quad ..., \quad \log_{10}{9} — границы интервалов, в которых расположены значения z, соответствующие различным первым значащим цифрам числа x от 1 до 9 (см. рисунок 2).

    log_circle

    Прежде чем решать задачу (2), объясним идею рассуждения на более простом примере: выясним, сколько разных пар \left( c_{k}, c_{k+1} \right) цифр встречается в нашей последовательности. Читать далее «М1473. О записи степеней двойки»

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл Значение
\int dx x+C
\int a^xdx \frac{a^x}{\ln{a}}+C
\int e^xdx e^x+C
\int x^adx \frac{x^{a+1}}{a+1}+C
\int \frac{dx}{x} \ln|{x}|+C
\int \frac{dx}{2\sqrt{x}} \sqrt{x}+C
\int \cos xdx  \sin x+C
\int \sin xdx  -\cos x+C
\int  \mathop{\rm sh} dx  \mathop{\rm ch} x+C
 \int\mathop{\rm ch} xdx \mathop{\rm sh} x+C
\int \frac{dx}{\sin^2x}  \mathop{\rm tg} x + C
\int \frac{dx}{\mathop{\rm ch}^2x}  \mathop{\rm th} x+ C
\int \frac{dx}{\cos^2x}  \mathop{\rm -ctg}x +C
\int \frac{dx}{a^2+x^2} \frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C
\int \frac{dx}{\mathop{\rm sh}^2x} \mathop{\rm -cth}+C
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}} \ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} \arcsin \frac{x}{a}+C=-\arccos\frac{x}{a}+C
\int \frac{dx}{a^2-x^2} \frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C
\int \frac{dx}{x^2-a^2} \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C

Решите примеры:

  1. \int (2x-3)dx
    Ответ показать
  2. \int \cos^2xdx 
    Ответ показать
  3. \int (2x-3)^2dx
    Ответ показать

Литература

  1. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
  2. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.


Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных