Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки $latex x_0$ определены функции $latex f,g$ и $latex \alpha$, такие, что имеют место соотношения $latex f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$, то функцию $latex f$ называют бесконечно малой функцией в сравнении с $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}; f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))}$ .

Замечание:

Если $latex \forall x \epsilon U_{\delta}(x_0): g(x)\neq 0$, то $latex \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x}=\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ .

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to \infty}{o(x^4)}$, т.к. $latex \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^4}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0$

$latex \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0: \sin x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$
$latex \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\arctan x}{x}=0: \arctan x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$.

Определение:

• В случае, когда в записи $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$   $latex g$ — бесконечно малая функция, говорят, что $latex f$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex g$, $latex g$ — бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем $latex f$.

• В случае, когда в записи $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$, $latex f$ и $latex g$ — бесконечно малые функции при $latex x\to x_0$, говорят, что $latex f$ и $latex g$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
• В случае, когда в записи $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g^m(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$  $latex g$ — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция $latex f$ имеет $latex m$-й порядок малости относительно функции $latex g$.

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0}x=0$. $latex x^2$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex x^3\sin\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{o(x)};$ т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0$ (т.к. $latex sin \frac{1}{x}$ — ограниченная функция). $latex x^3 sin\frac{1}{x}$ — функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex \tan^2 x=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan^2 x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\tan x=0$. $latex \tan^2 x$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$. Функции $latex \tan x$ и $latex x$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
$latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^6 x}{x^6}=1$. $latex \tan^6 x$ имеет 6-й порядок малости относительно $latex x$.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие из этих функций являются бесконечно малыми в сравнении с $latex g(x)=x$ при $latex x\to +0$?

   • $$ \frac{1}{x}$$
   • $$ \sin x$$
   • $$ \ln x$$
   • $$ \ln (1+x)$$
   • $$ x^2$$
   • $$ \tan^2 x$$
   • $$0$$
   Правильно
   

   Все правильно.

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Функция $latex \tan^4 x\cdot\sin^5 x\cdot\ln^2(1+x)$ является бесконечно малой функцией при $latex x\to 0$ какого порядка малости относительно $latex x$?

   • 1
   • 2
   • 4
   • 5
   • 11
   • Все вышеперечисленные
   Правильно
   

   Верно, $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^4 x\cdot\sin^5\cdot\ln^2(1+x)}{x^{11}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^{11}}{x^{11}}=1$.

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   $latex f$ и $latex g$ — бесконечно малые функции при $latex x\to x_0$.
   Равносильны ли следующие два утверждения?

   • $latex f$ является бесконечно малой функцией 1-го порядка малости относительно $latex g$ при $latex x \to x_0$;
   • $latex f$ и $latex g$ являются бесконечно малыми функциями одинакового порядка малости при $latex x \to x_0$.

   • Да.
   • Нет.
   Правильно
   

   Верно.

   Неправильно
   

   Неправильно, оба этих утверждения можно записать в виде $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{g^1(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Даны бесконечно малые функции $latex f,g$ при $latex x\to x_0$.
   Имеет ли смысл следующее утверждение?

   $latex f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))}, g(x)=\underset{x\to x_0}{o(f(x))}$

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Правильно, по определению выходит, что $latex f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ и $latex g(x)=f(x)\beta(x), \lim\limits_{x\to x_0}\beta(x)=0$ => $latex f(x)=f(x)\alpha(x)\beta(x) => 1=\alpha(x)\beta(x)$, но при $latex x\to x_0\: \alpha(x)=0,\beta(x)=0 => 1=0\cdot 0, x\to x_0 =>$ противоречие.

   Неправильно
   

   Неверно, по определению выходит, что $latex f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ и $latex g(x)=f(x)\beta(x), \lim\limits_{x\to x_0}\beta(x)=0$ => $latex f(x)=f(x)\alpha(x)\beta(x) => 1=\alpha(x)\beta(x)$, но при $latex x\to x_0\: \alpha(x)=0,\beta(x)=0 => 1=0\cdot 0, x\to x_0 =>$ противоречие.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Расставьте следующие функции по УБЫВАНИЮ порядка малости относительно $latex x, x\to 0$.

   • $$tan^6 x\sqrt{\sin^5 x}$$
   • $$tan^6 x\sqrt{\sin\sqrt[5]{x}}$$
   • $$x\sqrt[3]{\sin^2 x\tan^4 x}$$
   • $$\ln^2(1+x)$$
   • $$\ln (1+x)^2$$
   • $$\sqrt{x}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература:

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962, глава 2, §3, с. 136-137

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

$\large   \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

где $latex S$ — «целая часть» (многочлен).

$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

$$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$$

Если $\normalsize m<n$, то:

$$ \small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$$ $$+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$$ $$+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$$

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

$$ \frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r  \epsilon   \mathbb{N}    и    \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k  \epsilon  \mathbb{N}$$

$$r=1:    \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$$

$$r\neq1:   \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$$

Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$, $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

$\large k>1:$  $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

Пример 1

Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

Решение

Пример 2

Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

Решение

Литература:

• Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
• Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

  Интегрирование рациональных функций

  Лимит времени: 0

  Навигация (только номера заданий)

  0 из 3 заданий окончено

  Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  Информация

  Интегрирование рациональных функций

  Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

  Тест загружается...

  Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

  Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  Результаты

  Правильных ответов: 0 из 3

  Ваше время:

  Время вышло

  Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

  Средний результат
  Ваш результат

  Рубрики

  1. Математический анализ 0%

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

  Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  Загрузка

  Имя: E-Mail:

  Капча:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

  1. Задание 1 из 3

     1.

     Количество баллов: 2

     Последовательность шагов при интегрировании рациональных функций

     • Преобразование неправильной рациональной дроби в правильную и выделение целой части.
     • Разложение знаменателя на простейшие дроби.
     • Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
     • Интегрирование простейших рациональных дробей.
     Правильно
     

     Неправильно
     
  2. Задание 2 из 3

     2.

     Количество баллов: 2

     Укажите алгоритм, который позволяет разложить рациональную дробь на сумму простейших ?
     Правильно
     

     Неправильно
     
  3. Задание 3 из 3

     3.

     Количество баллов: 2

     Выбрать равенства, соответствующие интегралам

     Элементы сортировки

     • $ \ln\left | x-a \right |$
     • $ \frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}$
     • $ \frac{1}{2}\ln(t^{2}+m^{2})$
     • $ \frac{1}{2(1-k)(t^{2}+m^{2})^{k-1}}$
     • $ \frac{1}{a}\arctan\frac{t}{m}$

     • $ \int \frac{A}{x-a}dx$

     • $ \int \frac{A}{(x-a)^{k}}dx$

     • $ \int \frac{tdt}{t^{2}+m^{2}}$

     • $ \int\frac{tdt}{(t^{2}+m^{2})^{k}}$

     • $ \int\frac{dt}{t^{2}+m^{2}}$

     Правильно
     

     Неправильно
     

  Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

Определения

Односторонний предел по Коши

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon[/latex]

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon[/latex]

Односторонний предел по Гейне

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   
   Функция \(f(x)\) называется непрерывной слева, если

   • \(\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\)
   • \(\exists \lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a)\)
   • \(\forall x\in (a-\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)\)
   • \(\forall x\in (a+\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   
   Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

   Элементы сортировки

   • \(\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}<a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A\)

   • Определение левостороннего предела по Коши

   • Определение левостороннего предела по Гейне

   • Определение правостороннего предела по Коши

   • Определение правостороннего предела по Гейне

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   
   Заполните пропуски.

   • Функция \(f(x)\) имеет предел в точке \(a\) тогда и только тогда, когда существуют (равные, одинаковые) между собой (односторонние) пределы в этой точке.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   
   Найти односторонние пределы функции \(f(x)=\frac{1}{x}\) при \(x\rightarrow 0\):

   • Правый предел = \(+\infty\)
   • Левый предел = \(-\infty\)
   • Правый предел = \(-\infty\)
   • Левый предел = \(+\infty\)
   Правильно
   

   Неправильно