Достаточные условия экстремума

Экстремумы функций одной переменной

Определение:

Функция f:\mathbb{E} \subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, имеет во внутренней точке x_{0}:

  • Локальный минимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\ge f(x_{ 0 })
  • Строгий локальный минимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) > f(x_{ 0 })
  • Локальный максимум если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x)\le f(x_{ 0 })
  • Строгий локальный максимум, если \exists U(x_{0}):\forall x\in \dot {U}(x_{0}) f(x) < f(x_{ 0 })

Поиск локальных и абсолютных экстремумов — важная практическая задача, породившая широкий спектр методов оптимизации. Изучение свойств и условий существования локального экстремума функций в одномерном случае создает прочный фундамент, упрощающий изучение аналогичного материала в анализе функций многих переменных.


Достаточные условия экстремума в терминах первой производной

Читать далее «Достаточные условия экстремума»

Теорема о вычислении площади поверхности вращения, следствия

Если на сегменте [a,b] функции f(x) имеет непрерывную производную f^{'}(x), то поверхность M, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, квадрируема и её площадь P может быть вычислена по формулеP=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx
grafik1
Доказательство. Длина l_{i} звена A_{i-1}A_{i} ломанной A_{0}A_{1}...A_{n} равна \sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}. По формуле Лагранжа имеем y_{i}-y_{i-1}=f(x_{i})-f(x_{i-1})=f^{'}(\xi)(x_{i}-x_{i-1}) . Полагая x_{i}-x_{i-1}=\Delta_{x_{i}} . Поэтому, согласно формуле,
P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\sqrt{1+f^{'2}}\Delta_{x_{i}}+\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{'2}}\Delta_{x_{i}}+\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{'2}}\Delta_{x_{i}}, Обозначим эту формулу (**). Первая сумма в правой части представляет собой интегральную сумму функции 2\pi{f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx}, которая в силу условий утверждения интегрируема и имеет предел P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx. Докажем, что выражение в правой части (**) имеет предел, равный нулю. В самом деле, пусть \varepsilon>0. Так как функция f(x) равномерно непрерывны на сегменте [a,b] , то по данному\varepsilon>0 можно указать такое \delta>0, что при \Delta<\delta(\Delta=\max\Delta_{x_{i}}) выполняются неравенства |y_{i-1}-f(\xi_{i})|<\varepsilon и |y_{i}-f(\xi_{i})|<\varepsilon. Если T — максимальное значение функции \sqrt{1+f^{'2}(x)} на сегменте [a,b], то получаем
|\sum\limits_{i=1}^{n}((y_{i-1}-f(\xi_{i}))+(y_{i}-f(\xi_{i})))\sqrt{{1+f^{'2}(\xi_{i})}}\Delta_{x_{i}}|<2T\varepsilon\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta_{x_{i}}=2T(b-a)\varepsilon. В силу произвольности \varepsilon >0 предел указанного выражения равен нулю. Итак, мы доказали существование предела P площадей P(x_{i}) и установили, что этот предел может быть вычислен по формуле P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx.
Замечание 1.Квадрируемость поверхности вращения можно доказать при более слабых условиях. Достаточно потребовать, чтобы функция f^{'}(x) была определена и интегрируема на сегменте [a,b]. Из этого предположения вытекает интегрируемость функции f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}. Дальнейшее рассуждение ничем не отличается от рассуждений, проведенных при доказательстве утверждений этого пункта.
Замечание 2. Если поверхность M получается посредством вращения вокруг оси Ox кривой L, определяемой параметрическими уравнениями
x=\phi(t), y=\psi(x), \alpha\leq t\leq \beta, то осуществляя замену переменных под знаком определенного интеграла в формуле
P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx, получим следующее выражение для площади P этой поверхности P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)}dt.
Пример 1.Найдем площадь P поверхности эллипсоида вращения. Пусть эллипс \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 вращается вокруг оси Ox. Рассмотрим сначала случай a>b(вращение вокруг большой оси эллипса). Так как в этом случае f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}, то полагая e=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}, найдем P=2\pi\int\limits_{-a}^{a}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx=2\pi\frac{b}{a}\int\limits_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-e^{2}x^{2}}dx=2\pi b(b+\frac{a}{e}\arcsin e). Если a<b, то полагая e=\sqrt{\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}} и проводя соответствующие вычисления, получим P=2\pi b(b+\frac{a^{2}}{2b}\ln\frac{1+e}{1-e}).
Пример 2. Найдем площадь P поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox циклоиды, определяемой параметрическими уравнениями x=a(t- \sin t), y=a(1-\cos t), 0\leq t\leq 2\pi. По формуле P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)}dt. Имеем P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)}dt=2\sqrt{2}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}dt=\frac{64}{3}\pi a^{2}.
Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 379-380.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.
  • Вычислении площади поверхности вращения

    Вычислении площади поверхности вращения

    Таблица лучших: Вычислении площади поверхности вращения

    максимум из 18 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Определение площади поверхности вращения

    Рассмотрим поверхность M, образованную вращением вокруг оси Ox, заданной на сегменте [a,b] функции y=f(x). Определим понятие квадрируемости поверхности вращения M. Пусть T — разбиение сегмента [a,b] точками a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b , и пусть A_{0},…,A_{n} — соответствующие точки функции y=f(x). Построим ломанную A_{0}A_{1}...A_{n}. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность  M(A_{i}), составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим через  P(x_{i}) площадь поверхности  M(A_{i}). Если  y_{i} — ординаты f(x) в точках  x_{i}, а  l_{i} — длина звена  A_{i-1}A_{i} ломанной A_{0}A_{1}...A_{n}, то
     P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{y_{i-1}+y_{i}}{2}l_{i}=\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}+y_{i})l_{i}
    Сформулируем следующее определения.

  • Число P называется пределом площадей P(x_{i}), если \forall \epsilon>0 \exists \triangle>0 , что \forall разбиения T сегмента [a,b] , максимальная длина D частичных сегментов которого меньше \triangle выполняется неравенство |P(x_{i})-P|<\epsilon.
  • Поверхность вращения M называется квадрируемой, если \exists предел P площадей P(x_{i}) . При этом число P называется площадью поверхности M.
  • Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 378-379.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.
  • Площадь поверхности вращения

    Поверхность вращения

    Таблица лучших: Площадь поверхности вращения

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    M1237. Точка внутри треугольника

    Условие

    1

    Пусть точка O внутри, треугольника ABC= такова, что \overrightarrow{OK} +\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{ON}= \overrightarrow{0}  М,N — основания перпендикуляров, опущенных из  О на стороны  AB, BC, CA треугольника. Докажите неравенство \frac{OK+OM+ON}{AB+BC+CA}\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}

    1

    Решение

    В силу условия на точку О отрезки ОК, ОМ, ON можно параллельно передвинуть так, чтобы составился треугольник. После поворота на 90° стороны этого треугольника станут параллельны сторонам треугольника ABC, следовательно, эти треугольники подобны. Коэффициент подобия обозначим через kk=\frac{OK}{AB} = \frac{OM}{BC} = \frac{ON}{CA}. Тогда левая часть доказываемого неравенства равна fe. С другой стороны, представляя площадь S треугольника ABC как сумму площадей треугольников AOB, BOC и COA, получим: 2S=a*OK+b*OM+c*ON = k(a^2+b^2+c^2) ,где a,b,c— длины сторон. Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства:

    s\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}

    Приведем одно из доказательств этого довольно известного неравенства, использующее формулу Герона и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел (буквой p, как обычно, обозначен полупериметр):

    S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\leq \sqrt{p((p-a+p-b+p-c)/3)^3}=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}\leq (a^2+b^2+c^2)/4\sqrt{3}

    Последнее неравенство следует из соотношений:

    4p^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca и  2xy\leq x^2+y^2 .

    Отметим, что точка О в этой задаче определена однозначно. Она называется точкой Лемуана треугольника ABC и является точкой пересечения его симедиан, т. е. прямых, симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис.

     

    Повторный предел

    Повторные предельные значения. Для функции  u=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}) нескольких переменных можно определить понятие предельного значения по одной из переменных  x=x_{k}   при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предельного значения. Уясним это понятие на примере функции  u=f(x,y) двух переменных x и у. Пусть функция   u=f(x,y) задана в некоторой прямоугольной окрестности   \left | x-x_{0} \right |<d_{1}  ,   \left | y-y_{0} \right | <d_{2}  точки  M_{0}(x_{0},y_{0}) , за исключением, быть может, самой точки  M_{0}  . Пусть для каждого фиксированного y, удовлетворяющего условию  0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2} существует предельное значение функции  u=f(x,y) одной переменной x в точке  x=x_{0}

    \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y)=\varphi (y)  

    и пусть, кроме того, существует предельное значение b функции   \varphi (y) в точке  y=y_{0} :

    \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}\varphi(y) =b

    В этом случае говорят, что существует повторное предельное значение b для функции   u=f(x,y) в точке   M_{0} , которое обозначается следующим образом:

     \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y) =b

    Теорема:

    Пусть функция  u=f(x,y) определена в некоторой прямоугольной окрестности   \left | x-x_{0} \right |<d_{1}  ,   \left | y-y_{0} \right | <d_{2}  точки  M_{0}(x_{0},y_{0}) и имеет в этой точке предельное значение b. Пусть, кроме того, для любого фиксированного x,  0<\left | x-x_{0} \right | <d_{1}, существует предельное значение  \psi =\lim\limits_{y\rightarrow y_{0}}f(x,y) и для любого фиксированного y,  0<\left | y-y_{0} \right | <d_{2}, существует предельное значение  \phi (y)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} . Тогда повторные предельные значения  \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} и  \lim\limits_{y\rightarrow y_{0}} \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}} f(x,y) существуют и равны b.

     

    Пример решения:

    Вычислить повторный предел функций f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}

    Литература: