Интегрирование дифференциального бинома

Дифференциальным биномом называют выражение вида

 x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx,

где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида  R (x,\sqrt[r]{x}) dx , где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой  t=\sqrt[r]{x} .
2.Второму случаю соответствует целое число  \frac{m+1}{n} . Сделаем подстановку
 z = x^{n} и положим для краткости  \frac{m+1}{n}-1=q , получим

 \int x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx=\frac{1}{n}\int (a+bz)^{p} z^{q}dz

Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида  R (z,\sqrt[s]{a+bz}) , где s — знаменатель рационального числа p.
Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

 t=\sqrt[s]{a+bz}=\sqrt[s]{a+bx^{n}}.

3. Третьему случаю соответствует целому число  (\frac{m+1}{n}+p) . Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида  R (z,\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}) , так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

 t=\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}=\sqrt[s]{\frac{a}{x^{n}}+b}.

В середине 19-го века П.Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).

Примеры

1)Вычислить интеграл  I=\int \frac{ \sqrt{x}dx}{ (1+\sqrt[3]{x})^{2}} = \int x^{\frac {1} {2}} (1+x^{\frac{1}{3}})^{-2} . Здесь  m=\frac{1}{2}, n=\frac{1}{3}, p=-2 .  Так как p — целое, значит используем подстановку из первого случая

 x=t^{6}, dx=6t^{5}dt, \sqrt {x} = t^{3}, \sqrt [3] {x} = t^{2}

подставим:

 I = 6 \int\frac{t^{8}}{ (t^{2} + 1)^{2} }dt = 6 \int (t^{4} - 2t^{2} + 3 - \frac{4} {t^{2}+1} + \frac{1} { (t^{2} + 1)^{2} }) dt = \frac {6}{5}x^{\frac{5}{6}} - 4x^{\frac {1}{2}} + 18x^{\frac {1}{6}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}}} { (1 + x^{\frac{1}{3}})} - 21arctg (x^{\frac{1}{6}}) + C

2) Вычислить интеграл  I = \int \frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}} dx. Здесь  m = 1, n = \frac{2}{3}, p = -\frac{1}{2}. Так как \frac{m+1}{n} = 3 — целое (второй случай).

t^{2} = 1 +x^{\frac{2}{8}}, x = (t^{2} - 1)^{\frac{8}{2}},  dx = 3t (t^{2}-1)^{\frac{1}{2}} dt

подставим:

 I = 3\int (t^{2}-1)^{2} dt = \frac{3}{5}t^{6} - 2t^{3} + 3t + C,

t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}

3) Вычислить интеграл  I=\int x^{5} (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}} dx . Графиком подынтегральной функции будет:
curs
В данном случае  m=5,n=2,p=-\frac{1}{2} , так что  \frac{m+1}{n}=3 (второй случай). Сделав подстановку

 t=\sqrt{1-x^{2}}, x=\sqrt{1-t^{2}}, dx=-\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{2}}},

будем иметь

 -\int (1-t^{2})^{2} dt=-\int dt+2\int t^{2}dt-\int t^{4}dt=-t+\frac{2}{3}t^{3}-\frac{t^{5}}{5}+C=-\sqrt{1-x^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{ (1-x^{2})^{3}} -\frac{\sqrt{ (1-x^{2})^{5} }}{5}+C.

 

4) Вычислить интеграл  I=\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a+bx^{2}}}=\int x^{-2} (a+bx^{2})^{-\frac{1}{2}} dx . Здесь  m=-2,n=2,p=-\frac{1}{2} , так что  \frac{m+1}{n}+p=-1 (третий случай) Сделав подстановку

 t=\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}, x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{t^{2}-b}}, dx=-\frac{\sqrt{a}tdt}{\sqrt{ (t^{2}-b)^{3} }},

будем иметь

 I=\int - (\frac{dt}{a}) = -\frac{t}{a}+C=-\frac{\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}}{a}+C.

Литература

  • В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, М.:Наука, 1982. стр. 227, 228.

Интегрирование дифференциального бинома

Интегрирование дифферециального бинома

Таблица лучших: Интегрирование дифференциального бинома

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование рациональных функций

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

$\large   \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

где S — «целая часть» (многочлен).

$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

$$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$$

Если $\normalsize m<n$, то:

$$ \small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$$ $$+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$$ $$+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$$

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

$$ \frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r  \epsilon   \mathbb{N}    и    \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k  \epsilon  \mathbb{N}$$

$$r=1:    \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$$

$$r\neq1:   \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$$

Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$, $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

$\large k>1:$  $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

Пример 1

Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

Решение

... показать

Пример 2

Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

Решение

... показать

Литература:

  • Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
  • Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

    Интегрирование рациональных функций

    Интегрирование рациональных функций

    Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

    максимум из 6 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

Различные типы пределов: односторонние конечные пределы

Определения

Односторонний предел по Коши

Число A^{'} называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{'}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),

если

\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{'}|<\varepsilon

Аналогично, число A^{''} называют правосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{''}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),

если

\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{''}|<\varepsilon

Односторонний предел по Гейне

Число A^{'} называют левосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{'}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),

если

\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}<a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A^{'}[/latex]</p> <p>Аналогично, число [latex]A^{''} называют правосторонним пределом функции f(x) в точке a:

A^{''}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),

если

\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A^{''}

Пределы слева и справа называют односторонними пределами.
Соответственно, функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке a, если

\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\;(\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a)).

Теорема

Функция f(x) имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке a.

Доказательство показать

Пример

Дана функция f(x)=\rm sgn(x):\: \left\{\begin{matrix}1, x>0;\\ 0, x=0;\\ -1, x<0.\end{matrix}\right.
signx
Выяснить существует ли предел в точке 0.

Решение показать

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
  2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Тест


Таблица лучших: Односторонние конечные пределы

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных