Теорема
Рассмотрим ряд в котором все члены ряда неотрицательны, т.е. ([latex]\forall n \in N \rightarrow a_{n}\geq 0[/latex]). Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченна сверху.
Доказательство
Так как [latex]a_{n}\geq 0[/latex], то [latex]S_{n}=S_{n-1}+a_{n}\geq S_{n-1}[/latex]. Из этого следует что последовательность частичных сумм монотонно возрастает. Если ряд сходится это означает что сходится последовательность его частичных сумм. По теореме об ограниченности сходящейся последовательности сходимость последовательности частичных сумм эквивалентна ограниченности этой последовательности.
Пример
Рассмотрим ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }},$$ где [latex]\alpha>0[/latex]. При [latex]\alpha=1[/latex] получаем гармонический ряд, а он как известно расходится.
При [latex]0<\alpha<1[/latex] имеем:$$S_{n}(\alpha)=1+ \frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}\geq n \cdot \frac{1}{n^{\alpha}}=n^{1-\alpha}\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}\infty $$ Из этого следует, что [latex]S_{n}(\alpha)\rightarrow +\infty [/latex], а из этого следует расходимость ряда.
Теперь рассмотрим случай [latex]\alpha>1[/latex]. Выберем такое натуральное [latex]m[/latex], что [latex]n<2^{m}[/latex]. Тогда имеем:$$S_{n}(\alpha)\leq S_{2^{m}-1}(\alpha)=1+\left ( \frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}} \right )+\left ( \frac{1}{4^{\alpha}}+\frac{1}{5^{\alpha}}+\frac{1}{6^{\alpha}}+\frac{1}{7^{\alpha}} \right )+$$$$+\cdots +\left ( \frac{1}{(2^{m-1})^{\alpha}}+\frac{1}{(2^{m-1}+1)^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{(2^{m}-1)^{\alpha}} \right )\leq $$$$\leq 1+2^{1-\alpha}+(2^{2})^{1-\alpha}+\cdots +(2^{m-1})^{1-\alpha}=$$$$=1+2^{1-\alpha}+(2^{1-\alpha})^{2}+\cdots +(2^{1-\alpha})^{m-1}=\frac{1-(2^{1-\alpha})^{m}}{1-2^{1-\alpha}}$$ Отсюда следует, что при [latex]\alpha>1[/latex] имеем [latex]S_{n}(\alpha)\leq \frac{1}{1-2^{1-\alpha}}[/latex], т.е. последовательность частичных сумм ограниченна сверху, и по теореме о сходимости рядов с неотрицательными членами ряд сходится при [latex]\alpha>1[/latex].
При [latex]0<\alpha<1[/latex] имеем:$$S_{n}(\alpha)=1+ \frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha}}\geq n \cdot \frac{1}{n^{\alpha}}=n^{1-\alpha}\underset{n\rightarrow \infty }{\rightarrow}\infty $$ Из этого следует, что [latex]S_{n}(\alpha)\rightarrow +\infty [/latex], а из этого следует расходимость ряда.
Теперь рассмотрим случай [latex]\alpha>1[/latex]. Выберем такое натуральное [latex]m[/latex], что [latex]n<2^{m}[/latex]. Тогда имеем:$$S_{n}(\alpha)\leq S_{2^{m}-1}(\alpha)=1+\left ( \frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}} \right )+\left ( \frac{1}{4^{\alpha}}+\frac{1}{5^{\alpha}}+\frac{1}{6^{\alpha}}+\frac{1}{7^{\alpha}} \right )+$$$$+\cdots +\left ( \frac{1}{(2^{m-1})^{\alpha}}+\frac{1}{(2^{m-1}+1)^{\alpha}}+\cdots +\frac{1}{(2^{m}-1)^{\alpha}} \right )\leq $$$$\leq 1+2^{1-\alpha}+(2^{2})^{1-\alpha}+\cdots +(2^{m-1})^{1-\alpha}=$$$$=1+2^{1-\alpha}+(2^{1-\alpha})^{2}+\cdots +(2^{1-\alpha})^{m-1}=\frac{1-(2^{1-\alpha})^{m}}{1-2^{1-\alpha}}$$ Отсюда следует, что при [latex]\alpha>1[/latex] имеем [latex]S_{n}(\alpha)\leq \frac{1}{1-2^{1-\alpha}}[/latex], т.е. последовательность частичных сумм ограниченна сверху, и по теореме о сходимости рядов с неотрицательными членами ряд сходится при [latex]\alpha>1[/latex].
Список Литературы
- Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебн. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.388)
- Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления том 2. (стр.262-264)
- Л.Д. Кудрявцев Курс математического анализа том 2. (стр.13-15)
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.2. — Одесса: Астропринт, 2009 (стр.6-8)
- Лысенко З.М. Конспект по математическому анализу
Тест на проверку знаний по данной теме.
Таблица лучших: Критерий сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
