Теорема 1. Если функция $latex f$ непрерывна на отрезке $latex [a,b]$ то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. По теореме Кантора функция $latex f$ равномерно непрерывна на $latex [a,b]$. Это означает, что для любого $latex \varepsilon > 0 $ найдется такое $latex \delta >0$,
что для любых точек $latex x’, x» \in [a,b]$, таких, что $latex \mid x’-x» \mid < \delta$, справедливо
неравенство $latex |f(x’)-f(x»)|< \varepsilon $. Отсюда следует, что для любого разбиения
$latex \Pi$, диаметр которого $latex d(\Pi ) <\delta$, справедливо неравенство
[latex]{\omega _i} = \mathop {\sup }\limits_{x’,x» \in \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]} \left| {f\left( {x’} \right) — f\left( {x»} \right)} \right| \leqslant \varepsilon [/latex], [latex]\left( {i = 0,1,…,n — 1} \right)[/latex].
Поэтому
[latex]\sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant \varepsilon \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {\Delta {x_i} = \varepsilon \left( {b — a} \right)} } [/latex],
если только $latex d(\Pi ) <\varepsilon$. Таким образом, выполнено условие критерия интегрируемости в терминах колебаний и тем самым теорема доказана. $latex \blacksquare$
Теорема 2. Если функция $latex f$ ограничена на отрезке $latex [a,b]$ и имеет на этом отрезке лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на $latex [a,b]$.
Доказательство. Пусть $latex a_1,…, a_k$ – точки разрыва. Зададим $latex \varepsilon >0$
и для каждой точки разрыва выберем некоторую ее окрестность длины,
меньшей чем $latex \varepsilon$. Эти окрестности можно выбрать так, чтобы они попарно не пересекались. Обозначим их $latex \Delta _1,…,\Delta _k$. Выбросив эти окрестности
из отрезка $latex [a,b]$, получим конечный набор отрезков $latex I_1,…,I_k$ (их количество не обязательно равно $latex k$). На каждом из этих отрезков функция
непрерывна и, в силу теоремы Кантора, равномерно непрерывна. Поэтому для каждого отрезка $latex I_j$ найдется $latex \delta_j>0$, такое, что для любой пары
точек $latex x’, x» \in I_j$ условие $latex |x’-x»|<\delta _j$ влечет выполнение неравенства
$latex \mid f\left(x’ \right)-f\left(x» \right)\mid < \varepsilon$. Положим $latex \delta =min(\delta _1,\delta _2, …, \delta _m, \varepsilon )$.
Пусть теперь $latex \Pi :a=x_0<x_1< … <x_n=b$ – произвольное разбиение отрезка $latex [a,b]$ с диаметром $latex d(\Pi ) <\delta $. Рассмотрим сумму
$latex \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} \omega _i\Delta x_i$.
Разобьем ее на две суммы. В первую отнесем слагаемые, отвечающие тем
отрезкам $latex [x_i,x_{i+1}]$, каждый из которых содержится в одном из отрезков
$latex I_j$. Для этих отрезков имеем $latex \omega _i\leq \varepsilon $, и поэтому для соответствующей суммы справедливо неравенство
[latex]\sum\nolimits_{}^/ {{\omega _i}\Delta {x_i}} < \varepsilon \sum\nolimits_{}^/ {\Delta {x_i}} \leqslant \varepsilon \left( {b — a} \right)[/latex].
Во вторую сумму попадают слагаемые, отвечающие тем отрезкам
$latex [x_i,x_{i+1}]$, каждый из которых имеет общие точки по крайней мере с одним
из интервалов $latex \Delta _j$ . Оценим сумму длин этих отрезков. Среди частичных отрезков, имеющих общие точки с $latex \Delta _j$, могут быть такие, которые целиком содержатся в $latex \Delta _j$ . Сумма их длин не превосходит длины интервала
$latex \Delta _j$ , которая, в свою очередь, не превосходит $latex \varepsilon$. Кроме того, могут быть
два отрезка, содержащие концы интервала $latex \Delta _j$, сумма их длин не превосходит $latex 2\delta \leq 2\varepsilon $. Таким образом, сумма длин всех отрезков, имеющих
общие точки с интервалами $latex \Delta _1…\Delta _k $, не превосходит $latex 3k\varepsilon$. Обозначим
через $latex \Omega $ колебание функции $latex f$ на отрезке $latex [a,b]$. Поскольку $latex f$ ограничена, то $latex \Omega <\propto $ и $latex \omega _i\leq \Omega (i=0,1,…,n-1)$. Поэтому для второй суммы
получаем следующую оценку:
[latex]\sum\nolimits_{}^{//} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant \Omega \sum\nolimits_{}^{//} {\Delta {x_i} \leqslant 3k\Omega \varepsilon } } [/latex].
Окончательно,
[latex] \sum\limits_{i = 0}^{n — 1} \omega _i\Delta x_i = [/latex] [latex] \sum\nolimits_{}^/ {\omega _i}\Delta x_i + \sum\nolimits_{}^{//} \omega _i\Delta {x_i} \leqslant [/latex] [latex] \varepsilon \left( {b — a + 3k\Omega } \right) [/latex].
Отсюда, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, вытекает справедливость теоремы. $latex \blacksquare$
Пример 1. Функция
[latex]f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \sin \frac{1}{x},\;0 < x \leqslant 1, \hfill \\ 0,\;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/latex]
ограничена и непрерывна всюду, за исключением одной точки. Следовательно, она интегрируема на отрезке $latex [0,1]$.
Пример 2. Рассмотрим
[latex]f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} sign\;(\sin \frac{1}{x}),\;0 < x \leqslant 1, \hfill \\ 0,\;x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/latex]
У этой функции множество точек разрыва счетно и она не является монотонной. Тем не менее она ограничена, и ее интегрируемость легко доказать, используя критерий Римана и теорему 2. Действительно, зададим
$latex \varepsilon >0$ и рассмотрим функцию на отрезке $latex [\varepsilon ,1]$ . На этом отрезке функция
ограничена и имеет конечное число точек разрыва. В силу теоремы 2, функция интегрируема на $latex [\varepsilon ,1]$, так что, по критерию Римана, найдется
такое $latex \delta >0$, что если только отрезок $latex [\varepsilon ,0]$ будет разбит на части, длины
которых меньше, чем $latex \delta $, то
[latex]\sum {{\omega _i}\Delta {x_i} < \varepsilon } [/latex].
Можем считать, что $latex \delta <\varepsilon $. Если теперь весь отрезок $latex [0,1]$ разбить на
части, длины которых меньше, чем $latex \delta$, то
$latex \sum\nolimits_{}^/ {{\omega _i}\Delta {x_i}}$, слагаемых, отвечающих тем отрезкам, которые содержатся целиком в $latex [\varepsilon ,1]$, меньше, чем $latex \varepsilon$.
Далее, сумма длин отрезков $latex \left[ {{x_i},{x_{i + 1}}} \right]$, имеющих общие точки с $latex [0,\varepsilon ]$, не
превосходит $latex \varepsilon + \delta \leqslant 2\varepsilon$. Учитывая, что колебание функции на каждом из
отрезков не превосходит 2, получим
[latex]\sum\nolimits_{}^{//} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant 2\sum\nolimits_{}^{//} {\Delta {x_i} \leqslant 4\varepsilon } } [/latex].
Окончательно,
[latex]\sum\limits_{i = 0}^{n — 1} {{\omega _i}\Delta {x_i} \leqslant 5\varepsilon } [/latex],
так что, в силу критерия Римана, функция интегрируема на $latex \left[ {0,1} \right]$.
Литература:
- В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу. Часть 1, Одесса, Астропринт, 2009 [стр. 186-189].
- Л. Д. Кудрявцев, Курс математического анализа, том первый (стр. 548-551).
