Обратная функция

Определение

Пусть функция $y=f(x)$ с областью определения $ D(f)$ и множеством значений $R(f)$. Обратная к $f$ — функция $f^{-1}$ определяется как функция с областью определения $D(f^{-1})=R(f)$  и множеством значений $R(f^{-1})=D(f)$ , такая что $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $f(x)=y$. Таким образом,  $f^{-1}$ возвращает $y$ обратно в $x$.

График

Переход от функции $y=f(x)$, $x\in X$, к обратной функции $x=f^{-1}(y)$, $y\in Y$ (если она существует), сводится к изменению ролей множеств $X$ и $Y$. Следовательно, графики функций $y=f(x)$ и $x=f^{-1}(y)$ на плоскости $XOY$ совпадают. Но обычно и для обратной функции аргумент обозначают через $x$, т.е. записывают ее в виде $y=f^{-1}(x)$. График функции $y=f^{-1}(x)$ получается из графика функции $y=f(x)$ с помощью преобразования плоскости $XOY$, переводящей каждую точку $(x,y)$ в точку $(y,x)$, то есть симметрией относительно прямой $y=x$.

Graphic

Спойлер

  1. Найти функцию, обратную функции $y=3x+5$.
    Решение:
    Функция $y=3x+5$ определена и возрастает на всей числовой оси. Следовательно, обратная функция существует и возрастает. Разрешая уравнение относительно $x$ получим $x=\frac{y-5}{3}$.
  2. Показать, что функция $y=\frac{k}{x}$, на множестве $X = \{x \mid x > 0\}$, где $(k\neq 0)$ обратна сама себе.
    Решение:
    Функция $y=\frac{k}{x}$ определена и строго монотонна $x > 0$ . Следовательно, обратная функция существует. Область значений функции — в зависимости от $k$: если $k > 0$, то $y >0$; если $k < 0$, то $y <0$. Разрешая уравнение относительно $x$, получим $x = \frac{k}{y}$. Итак $f^{-1}(y)=\frac{k}{y}$, $f^{-1}(x) = \frac{k}{x} = f(x)$.

[свернуть]

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Тест по теме «Обратная функция»

Символ Ландау

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое ([latex]O[/latex] и [latex]o[/latex]).

Определение:

Пусть $latex f(x)$ и $latex g(x)$ — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки $latex x_0$, причем в этой окрестности $latex g$ не обращается в ноль. Говорят, что:

  • $latex f$ является «О» большим от $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{O(g)}$, если существует такая константа $latex C>0$, что для всех $latex x$ из некоторой окрестности точки $latex x_0$ имеет место неравенство $latex |f(x)| \leq C |g(x)|$;
  • $latex f$ является «о» маленьким от $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$, если для любого $latex \varepsilon >0$ найдется такая проколотая окрестность $latex U’_{x_0}$ точки $latex x_0$, что для всех $latex x \in U’_{x_0}$ имеет место неравенство $latex |f(x)|<\varepsilon|g(x)|$.

Иначе говоря, в первом случае отношение $latex |f|/|g|$ в окрестности точки $latex x_0$ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при $latex x\to x_0$, то есть функция $latex f$ является бесконечно малой в сравнении с $latex g$.

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x=0;$
$latex \sin^2 x=\underset{x\to x_0}{O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0;$
$latex -x^3={O(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{-x^3}{x}=\lim\limits_{x\to 0}-x^2; $ а функция $latex -x^2$ ограничена сверху в окрестности точки 0.
$latex \sin^2 x={O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin^2 x}{x}=\lim\limits_{x\to x_0}\sin x;$ а функция $latex \sin x$ всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций $latex f=f(x),\:g=g(x)$ и $latex x \epsilon \mathbb{R}$ справедливы равенства:

  1. $latex o(f)+o(f)=o(f);$
  2. $latex o(f)$ тем более есть $latex O(f);$
  3. $latex o(f)+O(f)=O(f);$
  4. $latex O(f)+O(f)=O(f);$
  5. $latex \frac{o(f(x))}{g(x)}=o(\frac{f(x)}{g(x)})$ и $latex \frac{O(f(x))}{g(x)}=O(\frac{f(x)}{g(x)}),$ если $latex g\neq 0;$ 
  6. $latex o(o(f))=o(f);$
  7. $latex o(Cf)=o(f);$
  8. $latex C\cdot o(f)=o(f);$
  9. $latex o(f+o(f))=o(f);$
  10. $latex o(f)\pm o(f)=o(f);$
  11. $latex o(f^n)\cdot o(f^m)=o(f^{n+m}), n,m\epsilon\mathbb{N};$
  12. $latex (o(f))^n=o(f^n), n \epsilon\mathbb{N}$ .

Примеры:

$latex \underset {x\to 0}{o(x^2)+o(x^2)}=\underset{x\to 0}{o(x^2)}$
$latex \underset {x\to 0}{o(2x^5)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}$
$latex \underset {x\to 0}{o(x^2)\cdot o(x^3)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}$.

Символ Ландау

Тест по теме «Символ Ландау»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «О большое и о малое»
  3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки $latex x_0$ определены функции $latex f,g$ и $latex \alpha$, такие, что имеют место соотношения $latex f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$, то функцию $latex f$ называют бесконечно малой функцией в сравнении с $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}; f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))}$ .

Замечание:

Если $latex \forall x \epsilon U_{\delta}(x_0): g(x)\neq 0$, то $latex \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x}=\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ .

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to \infty}{o(x^4)}$, т.к. $latex \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^4}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0$

$latex \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0: \sin x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$
$latex \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\arctan x}{x}=0: \arctan x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$.

Определение:

  • В случае, когда в записи $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$   $latex g$ — бесконечно малая функция, говорят, что $latex f$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex g$, $latex g$ — бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем $latex f$.
  • В случае, когда в записи $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$, $latex f$ и $latex g$ — бесконечно малые функции при $latex x\to x_0$, говорят, что $latex f$ и $latex g$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
  • В случае, когда в записи $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g^m(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$  $latex g$ — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция $latex f$ имеет $latex m$-й порядок малости относительно функции $latex g$.

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0}x=0$. $latex x^2$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex x^3\sin\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{o(x)};$ т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0$ (т.к. $latex sin \frac{1}{x}$ — ограниченная функция). $latex x^3 sin\frac{1}{x}$ — функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex \tan^2 x=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan^2 x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\tan x=0$. $latex \tan^2 x$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$. Функции $latex \tan x$ и $latex x$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
$latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^6 x}{x^6}=1$. $latex \tan^6 x$ имеет 6-й порядок малости относительно $latex x$.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература: