Единственность предела сходящейся последовательности

Теорема (единственность предела)

Если последовательность $\{ x^{(n)} \}$ имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Предположим противное. Пусть $\{ x^{(n)} \}$ сходится к точкам $a$ и $b$, то есть $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = b$. Тогда, по определению предела сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$ и $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, b) = 0$. В силу неравенства треугольника, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполнено неравенство $$0 \le \rho(a, b) \le \rho(a, x^{(n)}) + \rho(b, x^{(n)}).$$ Так как числовые последовательности $\rho(a, x^{(n)})$ и $\rho(b, x^{(n)})$ бесконечно малые, то $\rho(a, b) = 0$. Тогда, по аксиоме тождества в метрическом пространстве, $a = b$. Это доказывает единственность предела последовательности.

Источники

  • Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

N-мерное пространство и операции в нем

Метрическое пространство

Будем множество X  называть метрическим пространством, если каждой паре элементов x  и y  этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число  p(x,y) , называемое расстоянием между элементами x  и y , такое, что для любых элементов x , y z  множества X выполнены следующие условия:

  1. p(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y;
  2. p(x,y) = p(y,x);
  3. p(x,y) \leq p(x,z)+ p(z,y), z \in \mathbb{R}, z = ( z_1, z_2,..., z_n); (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками (векторами), функцию  p(x,y) , определенную на множестве пар точек метрического пространства X ,  p — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики. Например, определяя расстояние между вещественными числами  \alpha   и  \beta при помощи формулы p(\alpha , \beta)= \left | \beta - \alpha \right |   , получаем метрическое пространство, которое обозначается через R . Рассмотрим множество пар вещественных чисел x=(x_{1}+x_{2}) . Если x=(x_{1}+x_{2}) , а y=(y_{1}+y_{2}) , то полагая p(x,y)= \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2} , получаем метрическое пространство, которое обозначается через R^{2} .  

Метрическое пространство R_{n}

Точками пространства R_{n}  являются упорядоченные совокупности из n вещественных чисел x=(x_{1},..,x_{n}) , y=(y_{1},..,y_{n}) , z=(z_{1},..,z_{n}) . Расстояние между точками x и y определяется формулой  p(x,y) = \sqrt{(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2)} . Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника (доказано в разделе «неравенство Коши-Буняковского»). Так же, n-мерные (евклидовы) пространства являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

Литература:

Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство, связывающее норму и скалярное произведение векторов векторного пространства. Эквивалентно неравенству треугольника для нормы в пространстве со скалярным произведением:  (\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i})^2 \leq \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 \sum_{i=1}^{n}b_{i}^2. Справедливое для любых вещественных чисел  a_{1} , b_{1} ... a_{n} , b_{n}

Доказательство:

Рассмотрим квадратный трехчлен: p(\xi)=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+ \xi b_{i})^2 =A + 2B\xi +C\xi^{2} , где  A=\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 ,   B=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} ,   C=\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 . Так как квадратный трехчлен  P(\xi) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно,   B^2-AC\leq 0 . Подставляя в неравенство значения коэффициентов  A ,  B и  C , получаем неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство «неравенства треугольника» :

Докажем неравенство Минковского \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2}.

Используя неравенство Коши, получаем:  \sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^2 = \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2 \leq  \sum_{i=1}^{n}a_{i}^2 +2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}}+\sum_{i=1}^{n}b_{i}^2=  (\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}})^2

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, получаем неравенство Минковского. Полагая в неравенстве Минковского  a_{i}=x_{i}-z_{i} , b_{i}= z_{i}-y_{i} , получаем неравенство  \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-z_{i})^2} +\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(z_{i}-y_{i})^2} т. е. неравенство треугольника для расстояния p(x,y) .

Литература:

Примеры открытых множеств

new

Точки (x, y) удовлетворяющие x^2 + y^2 = r^2 окрашены синим. Точки (x, y) удовлетворяющие x^2 + y^2 < r^2 окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар B(x_0,r) является открытым множеством.
Пусть x \in B(x_0,r). Докажем, что найдется окрестность x, которая целиком содержится в B(x_0,r). Предположим, что \rho = r - \left|x - x_0 \right|. Тогда \rho > 0, так как \left|x - x_0 \right| < r. Покажем, что B(x,\rho) \subset B(x_0,r). Пусть y \in B(x,\rho). Тогда \left|y - x \right| < \rho. Оценим расстояние между y и x_0. По неравенству треугольника имеем

\left| y - x_0 \right| \leq \left| y - x \right| + \left| x - x_0 \right| < \rho + \left| x - x_0 \right| = r,

что и требовалось доказать.

В частности, при n = 1 открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов a,b \in \mathbb{R}^n, таких, что a^i < b^i (i = 1...,n)открытым интервалом называется множество всех точек x, координаты которых удовлетворяют условиям a^i < x^i < b^i (i = 1,...,n). Такой интервал обозначается через (a^1,b^1;...;a^n,b^n).В частности, в \mathbb{R}^2 открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в \mathbb{R}^3 – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в \mathbb{R}^n является открытым множеством.

Пусть J – открытый интервал и пусть x \in J, т. е. a^i < x^i < b^i (i = 1,...,n). Обозначим через \delta^i = min(x^i - a^i,b^i - x^i) (i = 1,...,n) и  \delta = min(\delta^1,...,\delta^n). Покажем, что B(x,\delta) содержится в J. Действительно, если y \in B(x,\delta), то |y-x| < \delta. Отсюда следует, что |x^i -y^i| < \delta для всех i = 1,...,n. Пользуясь определением числа \delta, легко показать, что a^i < y^i < bi для всех i = 1,...,n, так что y \in J.

Литература: