Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

Будем рассматривать несобственный интеграл от неограниченной функции.

Теорема

Пусть f(x) определена на полуинтервале \left[ a ,b \right). Для сходимости несобственного интеграла \int _{a}^{b}{f(x)dx} необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: для всякого \varepsilon > 0 найдется такое \delta\in\left[ a ,b \right), что для любых { \xi  }_{ 1 },{ \xi  }_{ 2 }\in\left( \delta ,b \right) выполняется неравенство \left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon.

Доказательство

Обозначим функцию \Phi (\xi ) = \int _{a}^{\xi}{f(x)dx}. Тогда, сходимость интеграла \int _{a}^{b}{f(x)dx} означает существование конечного предела \underset {\xi \to b-0}{\lim}\int _{a}^{\xi}{f(x)dx} = \underset {\xi \to b-0}{\lim}\Phi(\xi), а этот предел существует, согласно критерию Коши, когда функция \Phi(\xi) удовлетворяет условию
$$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta \in \left[ a;b \right): \forall \xi_1, \xi_2 \in \left(\delta, b \right ) \Rightarrow \left|\Phi(\xi_2)-\Phi(\xi_1) \right| < \varepsilon .$$
И в силу свойств интеграла получаем $$\left| \Phi (\xi _{ 2 })-\Phi (\xi _{ 1 }) \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx- \overset { \xi_1 }{ \underset {a }{ \int} }f(x)dx \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset {\xi_1 }{ \int } } f(x)dx \right| < \varepsilon .$$
А это то, что нам и требовалось доказать.

Список Литературы

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Критерий Коши сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определение

Пусть функция f задана на полуинтервале [a,b), где $-\infty<a<b<+\infty$, и интегрируема по Риману на любом отрезке [a,\xi], где $a<\xi<b$. Тогда, если существует конечный предел \lim_{\xi \to b-0}\int_{a}^{\xi}{f(x)dx}, то несобственный интеграл $II$ рода \int_{a}^{b}{f(x)dx} называют сходящимся и полагают

$$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to b-0}\int\limits_{a}^{\xi}{f(x)dx}$$

В противном случае несобственный интеграл называют расходящимся.

Аналогично, если существует конечный \lim_{\xi \to a+0}\int_{\xi}^{b}{f(x)dx}, то несобственный интеграл $II$ рода \int_{a}^{b}{f(x)dx} называют сходящимся и полагают

$$\int\limits_a^b{f(x)dx}=\lim_{\xi \to a+0}\int\limits_{\xi}^{b}{f(x)dx}$$

В противном случае, если такого предела нет, расходящимся.

Замечание

Определение несобственного интеграла от непрерывных функций является содержательным лишь в случае, когда  f(x) неограниченна  в окрестности точек b,a. При этом, эти точки называются особыми.

Пример:

Курсовая
Рассмотрим функцию \frac{1}{\sqrt{1-x}}. Эта функция непрерывна на промежутке [0,1), но не ограничена на этом промежутке. При \forall\xi\in [0,1) функция \frac{1}{\sqrt{1-x}} интегрируема на отрезке [0,\xi], причем J(\xi)=\int_{0}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=\left(-2\sqrt{1-x})\right|^{\xi}_{0}=2(1-\sqrt{1-\xi}), откуда следует, что существует конечный \lim_{\xi \to 1-0}F(\xi)=2. В этом случае говорят, что несобственный интеграл от функции \frac{1}{\sqrt{1-x}} на промежутке [0,1) равен 2, т.е. \int_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt{1-x}}}=2. Число 2 можно интерпретировать как площадь заштрихованной фигуры на Рис.1.

Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

Этот тест покажет насколько хорошо вы усвоили данную тему.

Таблица лучших: Тест по теме: Несобственные интегралы от неограниченных функций

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных