Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Для равномерной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ необходимо и достаточно выполнение условия Коши. А именно: $\forall \varepsilon > 0 \, \exists \eta < b$ такое, что $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon.$$

Доказательство

Необходимость

Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ равномерно сходится по параметру $y$ $\epsilon$ $Y$. Из определения получаем, что $\forall\varepsilon > 0$ найдется такое $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ , что $\forall \eta^\prime$ $\epsilon$ $[b,\eta)$ и для всех $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство
$$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$$ При $\eta^\prime , \eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta,b)$, $y$ $\epsilon$ $Y$ получим такое неравенство $$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| = \left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx — \int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq $$ $$\leq \left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx\right| + \left|\int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,$$ а значит, что условие Коши выполнено.

Достаточность

Положим, что условие Коши выполняется. А это означает, что в силу критерия Коши несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится $\forall y$ $\epsilon$ $Y$. Докажем равномерную сходимость на $Y$. Рассмотрим неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon,$$ в котором устремим $\eta^{\prime\prime}$ к $b$, при этом $\eta^{\prime\prime} < b$. В результате для любого $\eta^{\prime} > \eta$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ получаем следующее: $$\left|\int\limits_{\eta^{\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq\varepsilon,$$ что и означает равномерную сходимость интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на $Y$. $\Box$

Пример

Проверить интеграл на равномерную сходимость.

$$\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-yx^{2}}dx$$

Решение показать

Список литературы

Тест

Практические задания из данного теста были позаимствованы из сборника задач и упражнений по математическому анализу Б.П. Демидовича.

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные

Теорема

Пусть функция $f(x,y)$ определена и непрерывна на полуоткрытом прямоугольнике $\{(x,y)\colon a \le x < b, \ — \infty < a < b \le +\infty, \  c \le y < d\}$.

    Если выполняются условия:

  • Несобственный интеграл $\int\limits_a^b |f(x,y)| dx$ сходится равномерно на любом отрезке $[\gamma,\delta] \subset (c,d)$
  • Несобственный интеграл $\int\limits_c^d |f(x,y)| dy$ сходится равномерно на любом отрезке $[\alpha, \beta] \subset (a,b)$,
  • Сходится один из повторных интегралов: $$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b |f(x,y)| dx, \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d |f(x,y)| dy,$$

то существуют оба повторных интеграла $\int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy$ $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ и $$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy.$$

Доказательство

Пусть $f(x,y) \ge 0$ и существует интеграл $\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy$. Возьмем произвольный отрезок $[\gamma,\delta] \subset (c,d)$. Тогда интеграл по отрезку $[\gamma,\delta]$ будет собственным. Согласно теореме о перестановки порядка интегрирования имеем:

$$\int\limits_\gamma^\delta dy\int\limits_a^b f(x,y)dx = \int\limits_a^b dx\int\limits_\gamma^\delta f(x,y)dy \le \int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy.$$

где последнее неравенство следует из существования интеграла $\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy$ и неотрицательности функции $f$.  Предел левой части равенства при $\delta \to d-0$ и $\gamma \to c+0$, равен интегралу $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$. Следовательно, получаем неравенство

$$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx \le \int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy.$$

Проведя аналогичное рассуждение для интеграла $\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx$ получим новое неравенство

$$\int\limits_a^b dx\int\limits_c^d f(x,y)dy \le \int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx.$$

Из этих двух неравенств следует равенство

$$\int\limits_c^d dy\int\limits_a^b f(x,y) dx = \int\limits_a^b dx \int\limits_c^d f(x,y) dy.$$

Пусть теперь функция $f(x,y)$ — произвольная. Тогда её можно представить в виде разности

$f=f^+ — f^-$, где $f^+ = \frac{|f|+f}{2}$, $f^- = \frac{|f|-f}{2}$, $f^+ \ge 0$, $f^- \ge 0$.

Используя следствие теоремы (критерий коши равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру) и признаки сравнения несобственных интегралов, заключаем, что условие теоремы выполнены для функций $f^+$ и $f^-$. Тогда, основываясь на приведенном доказательстве для неотрицательных функций, можно заключить, что повторные интегралы от функций $f^+$ и $f^-$ равны. Следовательно, повторные интегралы от функции $f=f^+ — f^-$ также равны.

Пример 1

Допустима ли перестановка порядка интегрирования для функции $f(x,y)= \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}$ в прямоугольнике [0, 1; 0, 1]?

Решение показать

Пример 2

Функция $f(x,y)=x^y$ определена и непрерывна в прямоугольнике $[0,1;a,b]$, где $0<a<b$. Вычислить интеграл $$\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dy.$$

Решение показать

Список использованной литературы

Тест

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.

Для закрепления усвоенного материала, рекомендуется пройти тест по пройденной теме

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.

Оглавление

  1. Несобственный интеграл, зависящий от параметра. Определение.
  2. Равномерная сходимость
  3. Примеры
  4. Список литературы
  5. Тесты

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$, являющийся функцией от $y$. Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$. Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.

Возьмем функцию $f(x,y)$. Интеграл вида $ \int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимся на множестве $Y$, при выполнении следующих условий:

  1. $- \infty < a < b   \leq + \infty $
  2. функция $f(x,y)$ определена на $[a, b)   \times Y$, где $Y$ является множеством параметров.
  3. $ \forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$.
  4. $ \forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится.

Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$, при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$, такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство  $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$$

Читать далее «Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.»