Теорема о непрерывности обратной функции

Теорема (о непрерывности обратной функции)

Если f\in C[a;b] и f строго возрастает на I = [a;b], то на E = [f(a),f(b)] определена функция x=g(y), которая будет обратной к f, непрерывной на [f(a), f(b)] и строго возрастающей на [a;b].

Если f\in C[a;b] и f строго убывает на [a;b], то на [f(b), f(a)] определена функция x=g(y), которая будет обратной к f, непрерывной на [f(b), f(a)] и строго убывающей на [a;b].

Доказательство:

Предположим, что функция f строго возрастает на отрезке I.
По следствию из 2-ой теоремы Коши о промежуточном значении непрерывных функций область значений E непрерывной функции f тоже есть отрезок.

В силу строгого возрастания функции f для каждого y\in E существует единственная точка x\in I такая, что f(x)=y.
Следовательно, для функции f существует обратная функция f^{-1}, определенная на отрезке E, имеющая множество значений I.

Покажем, что f^{-1} строго возрастает на E.

Пусть y_{1} и y_{2} — две произвольные точки из E такие, что y_{1}<y_{2}, и прообразами этих точек будут точки x_{1} и x_{2}. f^{-1}(y_{1})=x_{1} и f^{-1}(y_{2})=x_{2}.

Поскольку f — строго возрастающая функция, то неравенство y_{1}=f(x_{1})<f(x_{2})=y_{2} возможно тогда и только тогда, когда x_{1}<x_{2} или, что то же самое, когда f^{-1}(y_{1})<f^{-1}(y_{2}).

В силу произвольности y_{1} < y_{2} делаем вывод, что функция f^{-1} строго возрастает на множестве E.

Для случая, когда f строго убывает, теорема доказывается аналогично.

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Обратная функция

Определение

Пусть функция $y=f(x)$ с областью определения $ D(f)$ и множеством значений $R(f)$. Обратная к $f$ — функция $f^{-1}$ определяется как функция с областью определения $D(f^{-1})=R(f)$  и множеством значений $R(f^{-1})=D(f)$ , такая что $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $f(x)=y$. Таким образом,  $f^{-1}$ возвращает $y$ обратно в $x$.

График

Переход от функции $y=f(x)$, $x\in X$, к обратной функции $x=f^{-1}(y)$, $y\in Y$ (если она существует), сводится к изменению ролей множеств $X$ и $Y$. Следовательно, графики функций $y=f(x)$ и $x=f^{-1}(y)$ на плоскости $XOY$ совпадают. Но обычно и для обратной функции аргумент обозначают через $x$, т.е. записывают ее в виде $y=f^{-1}(x)$. График функции $y=f^{-1}(x)$ получается из графика функции $y=f(x)$ с помощью преобразования плоскости $XOY$, переводящей каждую точку $(x,y)$ в точку $(y,x)$, то есть симметрией относительно прямой $y=x$.

Graphic

Примеры показать

Источники

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (Тема «Свойства функций непрерывных на отрезке»).

Литература

Тест по теме «Обратная функция»