Частные производные высших порядков

Частные производные высших порядков определяются при помощи индукции. Если говорить неформально, то каждая частная производная порядка больше чем 1 определяется, как производная от производной предыдущего порядка.
 

Определение

Частная производная (по независимым переменным) от частной производной порядка $m-1$ называется частной производной порядка $m(m=1,2,…)$.
Частная производная, полученная  с помощью дифференцирования по разным переменным, называется смешанной частной производной.
Частные производные высших порядков сохраняют все те же свойства, что и обычные частные производные.

Пример

Пусть дана функция $f(x,y,z)$.
Частной производной первого порядка по $x$ будет $\frac { df }{ dx } $.
Частной производной второго порядка по $x$ будет $\frac { { d }^{ 2 }f }{ d{ x }^{ 2 } } $
Смешанной производной третьего порядка будет $\frac { { d }^{ 3 }f }{ d{ x }^{ 2 }dy }$

Геометрический смысл частной производной

показать

Использованная литература

Частные производные высших порядков

Тест на понимание темы «Частные производные высших порядков»

Таблица лучших: Частные производные высших порядков

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Знакоопределённые квадратичные формы

Определение

Квадратичная форма называется знакоопределённой, если она положительно определённая или отрицательно определённая.

Пусть x \in \mathbb{R}^{n}.

Квадратичная форма Q называется положительно определённой если для любого x\neq 0 справедливо неравенство Q\left(x \right)>0.

Аналогично, если для любого x\neq 0 имеем Q\left(x \right)<0, то такая квадратичная форма называется отрицательно определённой.

Примеры

Пример 1

Является ли квадратичная форма Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2} знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Пример 2

Является ли квадратичная форма Q\left(x_{1},x_{2},...,x_{n} \right)=x_{1}^{2}+...+x_{m }^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{n}^{2}, где \left(m<n\right), знакоопределённой? Если да, то какой именно?


Ответ: Пример 1 показать

Ответ: Пример 2 показать

Тест на знание знакоопределённой квадратичной формы

Тест на умение распознать вид квадратичной формы.

Определение квадратичной формы

Определение

Квадратичной формой Q\left(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \right) от n неизвестных x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при x_{i}^{2} через a_{ii}, а при произведении x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\left(i\neq j \right) — через a_{ij}+a_{ji}\left(a_{ij}=a_{ji} \right), квадратичную форму Q можно представить в виде

Q\left(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \right) = a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+...+a_{1n}x_{1}x_{n}+...+a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_{i}x_{j}}}

Симметричная матрица A= \left(a_{ij} \right) называется матрицей квадратичной формы Q.

Примеры

Пример 1

Написать матрицу квадратичной формы.
Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = 2x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}+8x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3}

Пример 2

Написать квадратичную форму по её матрице.
A=\begin{pmatrix}4 & 0& 2\\ 0& 7 & 1\\ 2&1 &-5 \end{pmatrix}


Ответ: Пример 1 показать

Ответ: Пример 2 показать

Тест на знание квадратичной формы

Тест на умение распознать квадратичную форму и составить для неё матрицу квадратичной формы, а также наоборот — написать квадратичную форму по её матрице.

Компактные множества

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Пусть множество E \subset \mathbb{R}^n. Семейство открытых множеств \left\{G_{\alpha}\right\} называется открытым покрытием множества E, если каждая точка x \in E принадлежит хотя бы одному из множеств G_{\alpha}, т. е. если E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}.

Определение. Множество E \subset \mathbb{R}^n называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество E. Это подсемейство называется конечным подпокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть E \subset \mathbb{R}^n. Диаметром множества E называется число diam \> E = sup_{x,y \in E} \left | x - y \right |, т. е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из E. Например, если E = \left [a^1,b^1;...;a^n,b^n \right ]n-мерный сегмент, то, очевидно, diam \> E = |b-a|, где a = (a^1,...,a^n), b = (b^1,...,b^n).

Лемма (о вложенных сегментах). Пусть  \left\{I_{\nu}\right\} – последовательность вложенных сегментов из  \mathbb{R}^n , т. е. I_1 \supset I_2 \supset...\supset I_{\nu} \supset..., диаметры которых стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty. Тогда существует, и притом единственная, точка x_0, принадлежащая всем этим сегментам.
Доказательство. Пусть I_{\nu} = \left [a^1_{\nu},b^1_{\nu};...;a^n{\nu},b^n_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...). При каждом фиксированном i = 1,...,n последовательность одномерных отрезков  \left [a^i_{\nu},b^i_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...) состоит из вложенных друг в друга отрезков, т. е. [a^i_1,b^i_1] \subset [a^i_2,b^i_2] \subset ... \subset [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] \subset ..., и длины этих отрезков стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty. По лемме Кантора, для зафиксированного i найдется число x^i_0, такое, что x^i_0 \in [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] (\nu = 1,2,...), т. е. a^i_{\nu} \leq x^i_0 \leq b^i_{\nu} (\nu = 1,2,...). Но тогда точка x_0 = (x^1_0,...,x^n_0), очевидно, принадлежит всем I_{\nu}. Двух различных точек, принадлежащих всем I_{\nu} одновременно, быть не может. Действительно, если {x}',{x}'' \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...), то |{x}'-{x}''| \leq diam \> I_{\nu}. По условию правая часть стремится к нулю при \nu \mapsto \infty, так что {x}'={x}''.

Литература:

Компактные множества

Тест по теме «Компактные множества»

Таблица лучших: Компактные множества

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Замкнутые множества

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Назовем точку x_0 предельной точкой множества E, если в произвольной окрестности точки x_0 существует хотя бы одна точка из E, отличная от x_0.
Предложение. Если x_0предельная точка множества E, то в произвольной ее окрестности содержится бесконечное множество точек из E. Доказательство. Обозначим через U произвольную окрестность x_0. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества E, отличных от x_0. Тогда среди них найдется точка x_1, ближайшая к x_0. Но тогда в шаре радиуса \left| x_1-x_0 \right| > 0 с центром в x_0 нет ни одной точки из E, отличной от x_0, а это невозможно, поскольку x_0 – предельная точка множества E.

Пример. Пусть B_0 = \left \{ x : \left | x \right | < 1 \right \} – единичный шар. Очевидно, что любая точка этого шара является для него предельной. Если же x_1 находится на сфере, т. е. \left| x_1 \right| = 1, то она не принадлежит шару, но является предельной для шара. Действительно, пусть B(x_1,\rho) — произвольная окрестность точки x_1. Тогда все точки вида y = tx_1 (1-\rho < t < 1) принадлежат B_0 и содержатся в B(x_1,\rho). Следовательно, x_1 является предельной для шара B_0 по определению.

Рассмотрим теперь точку x_2, такую, что \left| x_2 \right| > 1. Докажем, что она не будет предельной для B_0. Действительно, предположим, что \rho = \left| x_2 \right| -1 > 0. Тогда в B(x_2,\rho) нет ни одной точки из B_0. Это легко можно показать, используя неравенство треугольника. Поэтому точка x_2 не является предельной для множества B_0.

Таким образом, можно видеть, что предельные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем.

Определение.Множество E называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.

Условимся считать пустое множество \varnothing замкнутым. Пространство \mathbb{R}^n, очевидно, является замкнутым по определению.

Литература:

Замкнутые множества

Тест по теме «Замкнутые множества»

Таблица лучших: Замкнутые множества

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных