Метка: определённый интеграл

Свойство 1 (интеграл от положительной функции)

 Если $latex f(x) \in R[a,b]$ и $latex f(x)\geqslant 0\;\forall\;x\in[a,b]\;(a<b)$, то и
$latex \int\limits_{a}^{b} f(x)dx \geqslant 0$.

Пример

Не вычисляя интеграла, определить его знак $latex \int\limits_{1}^{2}(x^{2}+3)dx$.

Литература

• Лысенко З.М.. Конспект лекций по математическому анализу
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.:Наука, 1982, стр.333
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.:Наука, 1969, стр.110-113

Смотрите так же

• Определенный интеграл
• Свойства определенного интеграла связанные с неравенствами

Свойство  1

Если $latex f,g\in \mathbb{R}[a;b] $, то $latex \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}$  $latex \varphi (x)=\alpha f+\beta g\in \mathbb{R}[a;b] $$latex \int\limits_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int\limits_{a}^{b}f(x)dx+\beta \int\limits_{a}^{b}g(x)dx $.

Доказательство:

Пусть $latex \delta _{T}(\xi ,f),\delta _{T}(\xi ,g),\delta _{T}(\xi ,\varphi ) $  — интегральные суммы для соответствующих функций, тогда: $latex \delta _{T}(\xi ,\varphi )=\alpha \delta _{T}(\xi ,f)+\beta \delta _{T}(\xi ,g) $. Если $latex \lambda (T)\rightarrow 0 $, то $latex \alpha \delta _{T}(\xi ,t)\rightarrow \alpha \int\limits_{a}^{b}f(x)dx, $ $latex \beta \delta _{T}(\xi ,g)\rightarrow \beta \int\limits_{a}^{b}g(x)dx $.

Свойство 2

Если $latex f,g\in \mathbb{R}[a;b] $, то $latex fg\in \mathbb{R}[a;b] $

Доказательство:

Воспользуемся критерием интегрируемости:

1) $latex fg $ — ограничены, так как  $latex f $ — ограничена по условию,  $latex g $ — ограничена по условию. $latex \left | f(x) \right |\leq C_{1}, \left | g(x) \right |\leq C_{2}, \left | fg(x) \right |=\left | f(x) \right |*\left | g(x) \right |\leq C_{1}*C_{2} $

2) В терминах колебаний:

$latex fg=\varphi; x^{1},x^{n}\in \Delta _{i}[x_{i-1};x_{i}]; $

$latex \varphi(x^{n})-\varphi(x^{1})=f(x^{n})g(x^{n})-f(x^{1})g(x^{1})= $

$latex f(x^{2})g(x^{2})-f(x^{1})f(x^{n})+f(x^{1})g(x^{n})-f(x^{1})g(x^{1})\leq $

$latex g(x^{n})(f(x^{n})-f(x^{1}))+f(x^{1})(g(x^{n})-g(x^{1}))\leq $

$latex C((f(x^{n})-f(x^{1}))+(g(x^{n})-g(x^{1})); $

$latex \omega _{i}(f)=M_{i}-m_{i}=\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup\left(f(x^{1})-f(x^{n})\right)\leq $

$latex C(\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup(f(x^{1})-f(x^{n}))+\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup(g(x^{1})-g(x^{n})))= $

$latex C(\omega_{i}(f)+\omega_{i}(g)) $ $latex \Rightarrow $ $latex \varphi(x^{n})-\varphi(x^{1})\leq $

$latex C(\omega_{i}(f)+\omega_{i}(g)) $ $latex \Rightarrow $ $latex \omega_{i}(\varphi )= $ $latex \sup(\varphi(x^{2}) $ $latex -\varphi(x^{1})) $

Свойство  3

Если $latex f\left(x \right)\in \mathbb{R}[a;b] $, тогда  $latex \left| f\left(x \right)\right|\in \mathbb{R}[a;b] $  и

$latex \left| \int\limits_{a}^{b}{}f\left(x \right)dx\right|\leq \int\limits_{a}^{b}{}\left|f\left(x \right) \right|dx$

Доказательство:

$latex f=\begin{cases}-1, & \text{ } x\in\mathbb{R}/\mathbb{Q} \\ 1, & \text{ } x\in \mathbb{Q} \end{cases}$

По свойству модуля:

$latex \forall x^{1}, x^{2}\in B_{i}=[x_{i-1};x_{i}]=\left | \left | f(x^{2}) \right |\left | f(x^{1}) \right | \right |\leq \left | f(x^{2})-f(x^{1}) \right |\Rightarrow $

$latex \left | \left | f(x^{2}) \right |-\left | g(x^{1}) \right | \right |\leq \omega_{i}(\left | f\right |)\leq\omega (f); i=\overline{1,n}\Rightarrow $

$latex 0\leq\sum\limits_{i=1}^{n}{}\omega_{i}(\left | f\right |)\Delta x_{i}\leq\sum\limits_{i=1}^{n}\omega_{i}(f)\Delta x_{i} $.

Список литературы:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 2), 5-е издание, 1964 г., глава 9, §2, стр. 109

Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Начало теста

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

• Конец теста

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Если $latex f(x) $ интегрируема на $latex [a,b] $, то она обязательно …

   • непрерывна на этом отрезке
   • ограничена на этом отрезке
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Функция называется интегрируемой на отрезке если…?

   • Существует конечный предел интегральных сумм этой функции
   • Она имеет производную
   • Она непрерывна
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Основная формула интегрального исчисления :

   • $$ \int\limits_{a}^{b}{}f(x)dx=F(a)-F(b) $$
   • $$ f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}x^{k}+o(x^n) $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Разместить в порядке возрастания:

   • $$ 7,2 $$
   • $$ \int\limits_{0}^{1}(6(x^{2}+x)+1)dx $$
   • $$ \int\limits_{4}^{9}\frac{5dx}{\sqrt x} $$
   • $$ \int\limits_{1}^{e}\frac{15(x+\frac{1}{\textrm{ctg}^{2}x}+\frac{\cos 2x+1}{2}-1)dx}{x^{2}} $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Поставьте в соответствие:

   Элементы сортировки

   • $$ (\ln|\textrm{tg}\frac{x}{2}|)\mid_{1}^{2} $$
   • $$ (\frac{a^{x}}{\ln a})\mid_{1}^{2} $$
   • $$ (\ln|\textrm{tg}(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{2})|)\mid_{1}^{2} $$
   • $$ (\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|)\mid_{1}^{2} $$
   • $$ (\ln|x+\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}|)\mid_{1}^{2} $$

   • $$ \int\limits_{1}^{2}{}\frac{dx}{\sin x} $$

   • $$ \int\limits_{1}^{2}{} a^{x}dx $$

   • $$ \int\limits_{1}^{2}{} \frac{dx}{\cos x} $$

   • $$ \int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{x^{2}-a^{2}} $$

   • $$ \int\limits_{1}^{2}{} \frac{dx}{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}} $$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Пусть функции $latex f(x)$ и $latex g(x)$ удовлетворяют следующим условиям:

1. $latex f,g \in R[a,b]$
2. $latex \exists\;m,M:\;m\leqslant f(x)\leqslant M\forall\;x\in [a,b]$
3. $latex g(x)$ не меняет знак на $latex [a,b]$

Тогда

$latex \exists\;\mu\in[m,M]:\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\mu\int_{a}^{b}g(x)dx$.

Следствие

Если $latex f(x)$ непрерывна на $latex [a,b]$, $latex g \in R[a,b]$ и не меняет знак на $latex [a,b]$, то $latex \exists\;c\in [a,b]:\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx$. В частности, если $latex g(x)=1$, то

$latex \exists\;c\in[a,b]:\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$.

Примеры

1)Найти среднее значение функции $latex y=2x+3$, заданной на отрезке $latex [2,5]$, а также значение аргумента, в котором оно достигается.

2)Доказать неравенство: $latex \frac{1}{10\sqrt{2}}\leqslant\int_{0}^{1}\frac{x^{9}dx}{\sqrt{1+x}}\leqslant\frac{1}{10}$

Литература

• З.М. Лысенко. Конспект лекций по математическому анализу, 1 семестр.: О. 2012
• Б.П. Демидович и др. Задачи и упражнения по математическому анализу. Издание девятое. Стр. 196-198: М. Наука. — 1977, 528 стр.
• В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 336-341: М. Наука. — 1982, 616 стр.
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. Издание седьмое. Стр. 113-115: М. Наука. — 1969, 800 стр.

Смотрите так же на википедии

• Определенный интеграл
• Первая теорема о среднем
• Вторая теорема о среднем

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест на тему интегральная теорема о среднем

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Вычислить среднее значение функции $latex y=\frac{36}{\pi}\cdot \frac{1}{x^{2}-4x+8}$ на отрезке $latex [2,4]$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Вычислить среднее значение функции $latex y=cos^{2}x$ на отрезке $latex [0,\pi]$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Установить соответствие между функцией и ее средним значением на заданном промежутке.

   Элементы сортировки

   • 4
   • 1
   • $\frac{1}{2}$

   • $y=3x^{2},\;x\in[0,2]$

   • $y=2^{-x}ln2,\;x\in[-1,0]$

   • $y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}},\;x\in[0,4]$

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Пусть для функций $latex f$ и $latex g$ выполняются условия теоремы о среднем. Тогда:

   • $f$ - интегрируема на отрезке $[a,b]$
   • $g$ - интегрируема на отрезке $[a,b]$
   • $f$ - не ограничена на отрезке $[a,b]$
   • $f(x)=g(x)\;\forall\;x\in[a,b]$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   В качестве частного случая теоремы о среднем рассматривают случай $latex g(x)=$

   • (1)
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Выберете более полный набор условий необходимых для выполнения теоремы о среднем:

   • f - дифференцируема на (a,b) f и g - дифференцируемы на (a,b)

   Правильно
   

   Неправильно
   

Свойства определенного интеграла, связанные с неравенствами включают в себя следующие 4 свойства:

1. Свойство 1 (интеграл от положительной функции)

2. Свойство 2 (свойство монотонности интеграла)

3. Свойства 3 и 4 (оценка модуля интеграла)

Также после ознакомления со всеми свойствами вы можете пройти тест на знание вышеупомянутых свойств.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему свойства определенного интеграла связанные с неравенствами

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Вычислить $latex sgn\left(\int\limits_{1}^{2}e^{x^{2}}dx\right)$

   • -1
   • 0
   • 1
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Верно ли равенство $\int\limits_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx=-\frac{1}{2}$?

   • Верно
   • Неверно
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Расположить в порядке возрастания следующие интегралы:

   • $\int\limits_{0}^{1}3^{-x}dx$
   • $\int\limits_{0}^{1}e^{x}dx$
   • $\int\limits_{0}^{1}(x+1)dx$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Вычислить $latex sgn\left (\int\limits_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi}\sin{x}dx\right)$

   • -1
   • 0
   • 1
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Какие из перечисленных интегралов положительны:

   • $\int\limits_{-1}^{1}(1-x^{2})dx$
   • $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\cos^{2}x}\;dx$
   • $\int\limits_{1}^{3}\log_{\frac{1}{3}}xdx$
   • $\int\limits_{1}^{3}(1-x^{2})dx$
   • $\int\limits_{-2}^{0}\frac{xdx}{4x^{2}+5}$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература

• Лысенко З.М.. Конспект лекций по математическому анализу
• Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.:Наука, 1977, стр.196-198
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.:Наука, 1982, стр.333-336
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.:Наука, 1969, стр.110-115

Смотрите так же на википедии

• Определенный интеграл