Задача из журнала «Квант» (1994, №4)
Условие
Бесконечная последовательность чисел определяется условиями:
, причем
.
- Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, если
рационально.
- Сколько существует значений
, для которых эта последовательность — периодическая с периодом T ( для каждого T = 2, 3
)?
Решение
Положим ,
.
Пусть — рациональное число (несократимая дробь вида p/q, где
, m и r целые,
). Тогда
— тоже рациональное, причем его знаменатель не больше, чем у
(точнее, он тот же, если m=0, и вдвое меньше, если m>0), причем если
, то
. Точно так же, числа
будут рациональными, со знаменателем не больше, чем у
, и лежащими на отрезке
. Но таких чисел конечное число, и значит, среди них встретятся одинаковые:
при некоторых n и T, так что последовательность
, начиная с некоторого n, — периодическая.
Докажем обратное утверждение. Заметим, что функция y=f(x) на каждом из отрезков и
— линейная:
при
,
при
.
Точно так же, функции на каждом из отрезков
— линейная (причем
, где
,
— целые,
); графики функций
,
,
показаны на рисунке:
Поэтому если точка x порождает «периодическую траекторию»: при некотором
, то x — корень уравнения
, т.е. число рациональное. Остается еще заметить, что любое y,
, имеет
«прообразов» при отображении
, т.е. уравнение
имеет
решений, причем если y — рациональное, то и все эти решения рациональные. Поэтому если
для некоторого
(т.е. y порождает периодическую траекторию), то и y, и
— рациональны.
Тем самым, оба утверждения первого пункта доказаны. Что касается второго пункта, как он поставлен в условии задачи, — ответ на него очень прост: таких точек бесконечно много для каждого T. В самом деле, существует (для каждого T=2,3,) по крайней мере одна точка периода ровно T : это, в частности, «последняя» точка пересечения отрезка
,
, с графиком
:
. (Ясно, что при k<T все решения уравнения
меньше
.) Тогда, взяв в роли
, любой из
прообразов
при отображении
(лишь один из них входит в «периодическую траекторию» порождаемую
), мы получим последовательность, которая, начиная с некоторого места, — периодическая с периодом T.
Более интересный вопрос: сколько существует периодических траекторий каждого периода T ( или, что почти тоже самое, — точек x, для которых и при этом
при k<T )? Мы предлагаем читателям подумать над этим и постараемся вернуться к этой теме, получив ваши ответы.
Н.Васильев