Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid \(\ \)A^{t}=A \}. Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем \mathbb R?

Решение показать

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid \(\ \) \deg f\left(x\right)=n\}. Проверить, является ли данное множество над полем \mathbb R абстрактным линейным пространством?

Решение показать

Задача №3

Условие задачи

Дано множество T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid \(\ \) \deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge \(\ \) a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}, где a_{i} — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем \mathbb R абстрактным линейным пространством?

Решение показать

Литература:

  1. Лекции Г.С. Белозерова
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
  3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Абстрактные линейные пространства

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть X\neq \varnothing, \mathbb Pполе. \left(X,\mathbb P \right) называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На X задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой \left(X,+ \right)абелева группа.
  2. Задано отображение: \bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X такое, что:
    • 1 \cdot x=\(\ \)x, \forall x\in X,
    • \alpha \left(\beta x \right)=\(\ \)\left(\alpha\beta \right)x,\(\ \) \forall x\in X,\(\ \) \forall \alpha, \beta \in \mathbb P.
    • \alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=\(\ \)\alpha x_{1} + \alpha x_{2}, \(\ \)\forall \alpha \in \mathbb P,\(\ \) \forall x_{1}, x_{2} \in X,
    • \left(\alpha + \beta \right)x=\(\ \)\alpha x + \beta x,\(\ \) \mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P, \(\ \)\mathcal{8} x \in X.

Элементы поля \mathbb P называются скалярными, а множество X называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. \alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P
    Доказательство показать
  2. 0 \cdot x=0, \forall x \in X
    Доказательство показать
  3. \left(-\alpha \right)x=\(\ \)-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X
    Доказательство показать
  4. \left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X
    Доказательство показать
  5. \left(\alpha - \beta \right)x=\(\ \)\alpha x - \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X
    Доказательство показать
  6. \alpha \left(x - y \right)=\(\ \)\alpha x - \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P
    Доказательство показать
  7. \alpha x=\(\ \)0 \Leftrightarrow \alpha =\(\ \)0 \vee x=\(\ \)0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X
    Доказательство показать
  8. \alpha x=\(\ \)\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=\(\ \)y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X
    Доказательство показать
  9. \alpha x=\(\ \)\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =\(\ \) \beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X
    Доказательство показать

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, V_{1}, V_{2}, V_{3}
  2. \left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)
  3. \left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right]
  4. \left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}
  5. \left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R
  6. \left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Лемма Гейне-Бореля

Лемма (Гейне – Бореля). Произвольный сегмент в \mathbb{R}^n является компактным множеством .

Доказательство. Обозначим через I = [a^1,b^1;...;a^n,b^n] – сегмент в \mathbb{R}^n. Докажем от противного. Пусть данный сегмент не является компактным. Тогда найдется такое открытое покрытие \Omega сегмента I, что никакое конечное подсемейство множеств из \Omega не покрывает I. Все стороны [a^i,b^i] сегмента I разделим пополам. Таким образом данный сегмент можно разбить на 2^n сегментов. По крайней мере один из них не покрывается конечным подсемейством множеств из \Omega. В противном случае, исходный сегмент I также мог бы быть покрытым конечным набором множеств из \Omega, что приводит к противоречию. Обозначим через I_1 тот из подсегментов I, который не может быть покрыт конечным набором множеств из \Omega. Каждую из сторон сегмента I_1 опять разделим пополам и среди полученных 2^n сегментов, на которые окажется разбитым I_1, возьмем тот, который не покрывается конечным подсемейством множеств из \Omega. Обозначим его через I_2 и так далее. Продолжая подобные действия, получим последовательность вложенных сегментов I \supset I_1 \supset I_2 \supset ... \supset I_{\nu} \supset ..., таких, что любой из сегментов I_{\nu} не может быть покрыт каким-либо конечным подсемейством множеств из \Omega. Заметим также, что diam \> I_{\nu} = \frac{diam \> I}{2^{\nu}} \mapsto 0 (\nu \mapsto \infty). Применив к полученной последовательности I_{\nu} лемму о вложенных сегментах, найдем точку x_0 \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...). Поскольку x_0 \in I, а I покрыт семейством \Omega открытых множеств, то найдется такое открытое множество F \in \Omega, что x_0 \in F. Поскольку множество F открытое и точка x_0 \in F, то эта точка внутренняя в F. Это означает, что найдется такая окрестность B(x_0,\delta) точки x_0, которая целиком содержится во множестве F. Но поскольку диаметры сегментов I_{\nu} стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty, то, начиная с какого-то номера \nu_0, они будут меньшими, чем \delta, то есть. diam \> I_{\nu} < \delta (\nu \geq \nu_0). Учитывая, что x_0 \in I_{\nu}, получаем, что I_{\nu} \subset B(x_0,\delta), а значит, I_{\nu} \subset F. Итак, мы получили, что при \nu \geq \nu_0 сегмент I_{\nu} содержится во множестве F. Но это противоречит выбору сегментов I_{\nu}, поскольку они были выбраны так, что никакое конечное подсемейство множеств из \Omega не покрывает I_{\nu}. Полученное противоречие завершает доказательство. \square

Литература:

Компактные множества

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Пусть множество E \subset \mathbb{R}^n. Семейство открытых множеств \left\{G_{\alpha}\right\} называется открытым покрытием множества E, если каждая точка x \in E принадлежит хотя бы одному из множеств G_{\alpha}, т. е. если E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}.

Определение. Множество E \subset \mathbb{R}^n называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество E. Это подсемейство называется конечным подпокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть E \subset \mathbb{R}^n. Диаметром множества E называется число diam \> E = sup_{x,y \in E} \left | x - y \right |, т. е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из E. Например, если E = \left [a^1,b^1;...;a^n,b^n \right ]n-мерный сегмент, то, очевидно, diam \> E = |b-a|, где a = (a^1,...,a^n), b = (b^1,...,b^n).

Лемма (о вложенных сегментах). Пусть  \left\{I_{\nu}\right\} – последовательность вложенных сегментов из  \mathbb{R}^n , т. е. I_1 \supset I_2 \supset...\supset I_{\nu} \supset..., диаметры которых стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty. Тогда существует, и притом единственная, точка x_0, принадлежащая всем этим сегментам.
Доказательство. Пусть I_{\nu} = \left [a^1_{\nu},b^1_{\nu};...;a^n{\nu},b^n_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...). При каждом фиксированном i = 1,...,n последовательность одномерных отрезков  \left [a^i_{\nu},b^i_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...) состоит из вложенных друг в друга отрезков, т. е. [a^i_1,b^i_1] \subset [a^i_2,b^i_2] \subset ... \subset [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] \subset ..., и длины этих отрезков стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty. По лемме Кантора, для зафиксированного i найдется число x^i_0, такое, что x^i_0 \in [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] (\nu = 1,2,...), т. е. a^i_{\nu} \leq x^i_0 \leq b^i_{\nu} (\nu = 1,2,...). Но тогда точка x_0 = (x^1_0,...,x^n_0), очевидно, принадлежит всем I_{\nu}. Двух различных точек, принадлежащих всем I_{\nu} одновременно, быть не может. Действительно, если {x}',{x}'' \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...), то |{x}'-{x}''| \leq diam \> I_{\nu}. По условию правая часть стремится к нулю при \nu \mapsto \infty, так что {x}'={x}''.

Литература:

Компактные множества

Тест по теме «Компактные множества»

Таблица лучших: Компактные множества

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Примеры замкнутых множеств

  1. \varnothing замкнуто (и, в то же время, открыто).
  2. Отрезок \left [a,b \right ] \subset \mathbb{R} на вещественной прямой замкнут в стандартной топологии, поскольку его дополнение открыто.
  3. Множество \mathbb{Q} \bigcap \left [0,1 \right ] будет замкнутым в пространстве рациональных чисел \mathbb{Q}, но не будет замкнутым в пространстве вещественных чисел \mathbb{R}.
  4. Произвольный замкнутый шар B(x_0,r) = \left\{x : |x - x_0| \leq r \right\} будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что какую бы мы ни взяли точку x, не принадлежащую B(x_0,r), она не будет являться предельной для этого шара, то есть. найдется такая окрестность B(x,\rho), в которой нет ни одной точки данного шара (Достаточно взять \rho \leq |x-x_0|-r).
  5. Произвольный сегмент I \equiv \left [a_1,b_1;...;a_n,b_n \right ] будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что окрестность произвольной точки x, не принадлежащей I, не будет содержать точек из I. Действительно, так как x \notin I, то найдется такое j, что x_j \notin \left [a_j,b_j \right ]. Пусть, к примеру, x_j < a_j. Легко видеть, что шар B(x,\rho), где 0 < \rho \leq a_j - x_j, не имеет общих точек с I. Следовательно, I – замкнутое множество.
  6. Рассмотрим множество E \equiv \left\{(x,y) : y = sin \frac{1}{x}, x \neq 0\right\}. Отрезок  \left [-1,1 \right ] оси ординат целиком состоит из предельных точек множества E, но ни одна из точек этого отрезка не принадлежит E. Поэтому множество E не является замкнутым.

Литература: