Метка: пространства

Примеры замкнутых множеств

  1. [latex]\varnothing[/latex] замкнуто (и, в то же время, открыто).
  2. Отрезок [latex]\left [a,b \right ] \subset \mathbb{R}[/latex] на вещественной прямой замкнут в стандартной топологии, поскольку его дополнение открыто.
  3. Множество [latex]\mathbb{Q} \bigcap \left [0,1 \right ][/latex] будет замкнутым в пространстве рациональных чисел [latex]\mathbb{Q}[/latex], но не будет замкнутым в пространстве вещественных чисел [latex]\mathbb{R}[/latex].
  4. Произвольный замкнутый шар [latex]B(x_0,r) = \left\{x : |x — x_0| \leq r \right\}[/latex] будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что какую бы мы ни взяли точку [latex]x[/latex], не принадлежащую [latex]B(x_0,r)[/latex], она не будет являться предельной для этого шара, то есть. найдется такая окрестность [latex]B(x,\rho)[/latex], в которой нет ни одной точки данного шара (Достаточно взять [latex]\rho \leq |x-x_0|-r[/latex]).
  5. Произвольный сегмент [latex]I \equiv \left [a_1,b_1;…;a_n,b_n \right ][/latex] будет замкнутым множеством. Для доказательства данного утверждения, достаточно показать, что окрестность произвольной точки [latex]x[/latex], не принадлежащей [latex]I[/latex], не будет содержать точек из [latex]I[/latex]. Действительно, так как [latex]x \notin I[/latex], то найдется такое [latex]j[/latex], что [latex]x_j \notin \left [a_j,b_j \right ][/latex]. Пусть, к примеру, [latex]x_j < a_j[/latex]. Легко видеть, что шар [latex]B(x,\rho)[/latex], где [latex]0 < \rho \leq a_j — x_j[/latex], не имеет общих точек с [latex]I[/latex]. Следовательно, [latex]I[/latex] – замкнутое множество.
  6. Рассмотрим множество [latex]E \equiv \left\{(x,y) : y = sin \frac{1}{x}, x \neq 0\right\}[/latex]. Отрезок [latex] \left [-1,1 \right ][/latex] оси ординат целиком состоит из предельных точек множества [latex]E[/latex], но ни одна из точек этого отрезка не принадлежит [latex]E[/latex]. Поэтому множество [latex]E[/latex] не является замкнутым.

Литература:

Свойства замкнутых множеств

Теорема. Пусть [latex](X,\tau)[/latex] — произвольное топологическое пространство. Тогда  система всех его замкнутых множеств имеет такие свойства:

  1. Множества [latex]X[/latex] и [latex]\varnothing[/latex] будут замкнутыми;
  2. Произвольная система замкнутых множеств в пересечении дает замкнутое множество;
  3. Произвольная конечная система замкнутых множеств в объединении дает замкнутое множество;

Доказательство

  1. Обозначим через [latex](X,\tau)[/latex] произвольное топологическое пространство. В таком случае, [latex]X[/latex] и [latex]\varnothing[/latex] являются замкнутыми множествами (в то же время и открытыми по 3-ей аксиоме топологического пространства), так как [latex]X\setminus\varnothing=X[/latex] — открытое множество и [latex]X\setminus X=\varnothing[/latex] — также открытое множество.
  2. Обозначим через [latex]\left\{ F_{\alpha} \right\}[/latex] систему замкнутых множеств. Следовательно, с учетом того факта, что замкнутое множество есть дополнение открытого, получаем [latex]\bigcap_{\alpha} F_{\alpha} = \bigcap_{\alpha}(X \setminus G_{\alpha}) = X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}[/latex], так как. объединение открытых множеств есть множество открытое, а его дополнение — замкнуто, то множество [latex]X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}[/latex] — замкнуто.
  3. Аналогично попробуем найти объединение конечной системы замкнутых множеств: [latex]\bigcup_{n=1}^{k} F_{n} = \bigcup_{n=1}^{k}(X \setminus G_{n}) = X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}[/latex] , так как пересечение конечного числа открытых множеств [latex]G_k[/latex] будет открытым множество, то [latex]X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}[/latex] — замкнуто.

Вышеперечисленные свойства систем замкнутых множеств, однозначно их характеризуют, поэтому не исключается подход, при котором эти свойства принимаются за систему аксиом, определяющих топологическое пространства. Следовательно, имеет место следующая
Теорема. Если [latex]X[/latex] — произвольное множество и [latex]\lambda[/latex] семейство его подмножеств, обладающее следующими свойствами:

  1. [latex] X, \varnothing \in \lambda [/latex]
  2. Пересечение множеств любой подсистемы в [latex]\lambda[/latex] принадлежит [latex]\lambda[/latex]
  3. Объединение множеств любой конечной подсистемы в [latex]\lambda[/latex] принадлежит [latex]\lambda[/latex]

Предположим, что [latex]\upsilon[/latex] — семейство дополнений всех различных множеств из [latex]\lambda[/latex]. В таком случае [latex]\upsilon[/latex] будет топологией на [latex]X[/latex], а [latex]\lambda[/latex] — системой замкнутых множеств топологического пространства [latex](X,\upsilon)[/latex].

Литература:

Свойства замкнутых множеств

Тест по теме «Свойства замкнутых множеств»

Таблица лучших: Свойства замкнутых множеств

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
/a. Тогда 

Двойственность открытых и замкнутых множеств

Пусть множество [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex]. Тогда множество всех точек [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], не принадлежащих множеству [latex]E[/latex], называется дополнением множества [latex]E[/latex] и обозначается [latex]cE[/latex] или [latex]E^c[/latex].

Теорема. Для того чтобы множество [latex]E \subset \mathbb{R}^n[/latex] было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение [latex]G \equiv cF[/latex] было открытым. Доказательство.
Необходимость. Пусть [latex]E[/latex] замкнуто и [latex]x[/latex] – произвольная точка из [latex]G[/latex]. Докажем, что она будет внутренней в [latex]G[/latex]. Поскольку [latex]x \notin E[/latex], то она не будет предельной точкой для [latex]E[/latex] и найдется такая ее окрестность [latex]U_x[/latex], которая не содержит ни одной точки из [latex]E[/latex]. Следовательно, эта окрестность полностью содержится в [latex]G[/latex], так что [latex]x[/latex] – внутренняя точка множества [latex]G[/latex].
Достаточность. Предположим теперь, что [latex]G[/latex] – открыто. Докажем тогда, что [latex]E[/latex] замкнуто. Для этого достаточно показать, что любая точка [latex]x[/latex], которая не принадлежит [latex]E[/latex], не будет предельной для [latex]E[/latex]. Если [latex]x \notin E[/latex], то [latex]x \in G[/latex], а так как [latex]G[/latex] открыто, следовательно найдется окрестность [latex]U_x \subset G[/latex]. Она не будет содержать точек из [latex]E[/latex], так что [latex]x[/latex] не является предельной для [latex]E[/latex], ч. т. д.

Отношение двойственности. Пусть [latex] \left\{ E_{\alpha} \right\} [/latex] – произвольное семейство множеств. Тогда дополнение к объединению множеств [latex]E_{\alpha}[/latex] равно пересечению дополнений множеств [latex]E_{\alpha}[/latex], а дополнение к пересечению равно объединению дополнений, т. е. [latex]c(\bigcup E_{\alpha}) = \bigcap(cE_{\alpha}), c(\bigcap E_{\alpha}) = \bigcup(cE_{\alpha})[/latex].

Литература:

Замкнутые множества

ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Назовем точку [latex]x_0[/latex] предельной точкой множества [latex]E[/latex], если в произвольной окрестности точки [latex]x_0[/latex] существует хотя бы одна точка из [latex]E[/latex], отличная от [latex]x_0[/latex].
Предложение. Если [latex]x_0[/latex] – предельная точка множества [latex]E[/latex], то в произвольной ее окрестности содержится бесконечное множество точек из [latex]E[/latex]. Доказательство. Обозначим через [latex]U[/latex] произвольную окрестность [latex]x_0[/latex]. Предположим, что в этой окрестности содержится лишь конечное число точек множества [latex]E[/latex], отличных от [latex]x_0[/latex]. Тогда среди них найдется точка [latex]x_1[/latex], ближайшая к [latex]x_0[/latex]. Но тогда в шаре радиуса [latex]\left| x_1-x_0 \right| > 0[/latex] с центром в [latex]x_0[/latex] нет ни одной точки из [latex]E[/latex], отличной от [latex]x_0[/latex], а это невозможно, поскольку [latex]x_0[/latex] – предельная точка множества [latex]E[/latex].

Пример. Пусть [latex]B_0 = \left \{ x : \left | x \right | < 1 \right \}[/latex] – единичный шар. Очевидно, что любая точка этого шара является для него предельной. Если же [latex]x_1[/latex] находится на сфере, т. е. [latex]\left| x_1 \right| = 1[/latex], то она не принадлежит шару, но является предельной для шара. Действительно, пусть [latex]B(x_1,\rho)[/latex] — произвольная окрестность точки [latex]x_1[/latex]. Тогда все точки вида [latex]y = tx_1 (1-\rho < t < 1)[/latex] принадлежат [latex]B_0[/latex] и содержатся в [latex]B(x_1,\rho)[/latex]. Следовательно, [latex]x_1[/latex] является предельной для шара [latex]B_0[/latex] по определению.

Рассмотрим теперь точку [latex]x_2[/latex], такую, что [latex]\left| x_2 \right| > 1[/latex]. Докажем, что она не будет предельной для [latex]B_0[/latex]. Действительно, предположим, что [latex]\rho = \left| x_2 \right| -1 > 0[/latex]. Тогда в [latex]B(x_2,\rho)[/latex] нет ни одной точки из [latex]B_0[/latex]. Это легко можно показать, используя неравенство треугольника. Поэтому точка [latex]x_2[/latex] не является предельной для множества [latex]B_0[/latex].

Таким образом, можно видеть, что предельные точки множества могут как содержаться, так и не содержаться в нем.

Определение.Множество [latex]E[/latex] называется замкнутым, если все его предельные точки содержатся в нем.

Условимся считать пустое множество [latex]\varnothing[/latex] замкнутым. Пространство [latex]\mathbb{R}^n[/latex], очевидно, является замкнутым по определению.

Литература:

Замкнутые множества

Тест по теме «Замкнутые множества»

Таблица лучших: Замкнутые множества

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Примеры открытых множеств

new

Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 = r^2[/latex] окрашены синим. Точки [latex](x, y)[/latex] удовлетворяющие [latex]x^2 + y^2 < r^2[/latex] окрашены красным. Красные точки образует открытое множество. Объединение красных и синих точек есть замкнутое множество.

Пример 1. Любой открытый шар [latex]B(x_0,r)[/latex] является открытым множеством.
Пусть [latex]x \in B(x_0,r)[/latex]. Докажем, что найдется окрестность [latex]x[/latex], которая целиком содержится в [latex]B(x_0,r)[/latex]. Предположим, что [latex]\rho = r — \left|x — x_0 \right|[/latex]. Тогда [latex]\rho > 0[/latex], так как [latex]\left|x — x_0 \right| < r[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\rho) \subset B(x_0,r)[/latex]. Пусть [latex]y \in B(x,\rho)[/latex]. Тогда [latex]\left|y — x \right| < \rho[/latex]. Оценим расстояние между [latex]y[/latex] и [latex]x_0[/latex]. По неравенству треугольника имеем

[latex]\left| y — x_0 \right| \leq \left| y — x \right| + \left| x — x_0 \right| < \rho + \left| x — x_0 \right| = r[/latex],

что и требовалось доказать.

В частности, при [latex]n = 1[/latex] открытые шары – это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.
Пример 2. Для двух векторов [latex]a,b \in \mathbb{R}^n[/latex], таких, что [latex]a^i < b^i (i = 1…,n)[/latex], открытым интервалом называется множество всех точек [latex]x[/latex], координаты которых удовлетворяют условиям [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Такой интервал обозначается через [latex](a^1,b^1;…;a^n,b^n)[/latex].В частности, в [latex]\mathbb{R}^2[/latex] открытые интервалы – это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в [latex]\mathbb{R}^3[/latex] – параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в [latex]\mathbb{R}^n[/latex] является открытым множеством.

Пусть [latex]J[/latex] – открытый интервал и пусть [latex]x \in J[/latex], т. е. [latex]a^i < x^i < b^i (i = 1,…,n)[/latex]. Обозначим через [latex]\delta^i = min(x^i — a^i,b^i — x^i) (i = 1,…,n)[/latex] и [latex] \delta = min(\delta^1,…,\delta^n)[/latex]. Покажем, что [latex]B(x,\delta)[/latex] содержится в [latex]J[/latex]. Действительно, если [latex]y \in B(x,\delta)[/latex], то [latex]|y-x| < \delta[/latex]. Отсюда следует, что [latex]|x^i -y^i| < \delta[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex]. Пользуясь определением числа [latex]\delta[/latex], легко показать, что [latex]a^i < y^i < bi[/latex] для всех [latex]i = 1,…,n[/latex], так что [latex]y \in J[/latex].

Литература: