Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Для равномерной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ необходимо и достаточно выполнение условия Коши. А именно: $\forall \varepsilon > 0 \, \exists \eta < b$ такое, что $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon.$$

Доказательство

Необходимость

Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ равномерно сходится по параметру $y$ $\epsilon$ $Y$. Из определения получаем, что $\forall\varepsilon > 0$ найдется такое $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ , что $\forall \eta^\prime$ $\epsilon$ $[b,\eta)$ и для всех $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство
$$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$$ При $\eta^\prime , \eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta,b)$, $y$ $\epsilon$ $Y$ получим такое неравенство $$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| = \left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx — \int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq $$ $$\leq \left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx\right| + \left|\int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,$$ а значит, что условие Коши выполнено.

Достаточность

Положим, что условие Коши выполняется. А это означает, что в силу критерия Коши несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится $\forall y$ $\epsilon$ $Y$. Докажем равномерную сходимость на $Y$. Рассмотрим неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon,$$ в котором устремим $\eta^{\prime\prime}$ к $b$, при этом $\eta^{\prime\prime} < b$. В результате для любого $\eta^{\prime} > \eta$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ получаем следующее: $$\left|\int\limits_{\eta^{\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq\varepsilon,$$ что и означает равномерную сходимость интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на $Y$. $\Box$

Пример

Проверить интеграл на равномерную сходимость.

$$\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-yx^{2}}dx$$

Решение показать

Список литературы

Тест

Практические задания из данного теста были позаимствованы из сборника задач и упражнений по математическому анализу Б.П. Демидовича.

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.

Оглавление

  1. Несобственный интеграл, зависящий от параметра. Определение.
  2. Равномерная сходимость
  3. Примеры
  4. Список литературы
  5. Тесты

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$, являющийся функцией от $y$. Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$. Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.

Возьмем функцию $f(x,y)$. Интеграл вида $ \int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимся на множестве $Y$, при выполнении следующих условий:

  1. $- \infty < a < b   \leq + \infty $
  2. функция $f(x,y)$ определена на $[a, b)   \times Y$, где $Y$ является множеством параметров.
  3. $ \forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$.
  4. $ \forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится.

Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$, при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$, такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство  $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$$

Читать далее «Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.»

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть \left \{ f_{n} \right \} — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке \left[a;b\right] функций. Предположим, что в некоторой точке x\in \left[a;b\right] числовая последовательность \left \{ f_{n}(x_{0}) \right \} сходится, а функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right]. Тогда исходная последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right] к непрерывно дифференцируемой функции f, причем для любого x\in \left[a;b\right] справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x).

Доказательство

... показать

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций \left \{ u_{n} \right \}, такая, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится в некоторой точке x\in \left[a;b\right], а ряд из производных \sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда исходный ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство \left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )'=\sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right]).

Доказательство

... показать

Теорема

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность дифференцируемых функций \left \{ f_{n} \right \}, сходящаяся в некоторой точке x\in \left[a;b\right] и такова, что функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right] к некоторой функции f, причем эта функция f дифференцируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

... показать

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Равномерная сходимость и интегрирование

Пусть f_{n} — последовательность интегрируемых на отрезке \left[a;b\right] функций, поточечно сходящаяся к функции f. Поставим вопрос об интегрируемости на отрезке \left[a;b\right] предельной функции f и справедливости равенства
$$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Следующие примеры показывают, что в общем случае и интегрируемости нет, и равенство не выполняется.

Пример 1

Пусть \left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } — последовательность всех рациональных точек из отрезка \left[0;1\right]. Выразим:
$$f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}1,&x\in \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \},\\ 0,& x\in \left[0;1\right]\setminus \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \}\end{matrix}\right.$$
Тогда каждая функция f_{n} интегрируема на отрезке \left[0;1\right], потому что она имеет лишь конечное число точек разрыва \left \{ r_{1},\cdots r_{n}\right \}. С другой стороны, видно, что $$\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=D(x)$$ где D — функция Дирихле. Но как известно, функция Дирихле не интегрируема на отрезке \left[0;1\right].
Вывод: мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к неинтегрируемой функции.

Замечание (для рядов)

... показать

Пример 2

Положим f_{n}(0)=f_{n}(\frac{1}{n})=f_{n}(1)=0, f_{n}(\frac{1}{2n})=n, а на отрезках \left[0;\frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n};\frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n};1\right] функция f_{n} — линейна. Мы видим, что \lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0,\; \forall x\in \left[0;1\right], так что предельная функция f(x)\equiv 0\; (x\in \left[0;1\right]) интегрируема и \int_{0}^{1}f(x)dx=0. С другой стороны, очевидно, что \int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\frac{1}{2}, поэтому предельный переход под знаком интеграла недопустим.
Вывод: даже если предельная функция интегрируема, то предел интегралов не обязан равняться интегралу от предельной функции.

Замечание (для рядов)

... показать

Вывод (для рядов)

Воспользовавшись этими примерами мы показали, что нельзя почленно интегрировать сходящийся ряд, т.е. равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
не верно. Потому что сумма поточечно сходящегося ряда из интегрируемых функций может оказаться неинтегрируемой функцией, а если даже сумма ряда будет функцией интегрируемой, то нужное равенство все равно нельзя гарантировать.

Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)

Пусть последовательность  \left \{ f_{n}(x) \right \} из непрерывных на отрезке \left[a;b\right ] функций, равномерно сходится к f(x) на этом отрезке. Тогда существует $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$

Доказательство

... показать

Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)

Пусть \left \{ u_{n} \right \} — последовательность непрерывных на отрезке \left[a;b\right] функций такова, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда справедливо равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$

Доказательство

... показать
Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Теорема

Пусть \left\{f_{n}\right\} — последовательность интегрируемых на отрезке \left[a;b\right] функций, равномерно сходящаяся на этом отрезке к функции f. Тогда предельная функция f интегрируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$

Доказательство

... показать

Тесты

равномерная сходимость и интегрирование

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и интегрирование»

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Функциональные последовательности

Если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по некоторому закону функция f_n(x), определенная на множестве E, то говорят, что на множестве E задана функциональная последовательность \left \{f_n (x)\right \}. Множество E называется областью определения последовательности \left \{f_n (x)\right \}.

Если для некоторого x_0 \in E числовая последовательность \left \{f_n (x_0) \right \} сходится, то говорят, что последовательность функций \left \{f_n (x) \right \} сходится в точке x_0. Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке x \in E, называют сходящейся на множестве E.

Если \underset {n \to \infty}{\lim} f_n(x) = f(x) для всех x \in E, то говорят, что последовательность \left \{f_n (x) \right \} на множестве E сходится к функции f(x). Эту функцию называют предельной функцией последовательности.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть задана последовательность функций \left \{ f_n(x) \right \} и предельная функция f(x). Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве E к функции f(x) если
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon .$$
Последовательность \left \{ f_n(x) \right \} называется равномерно сходящейся на E, если существует функция f(x), к которой она равномерно сходится.

Пример показать

Функциональные ряды

Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу n ставится в соответствие по некоторому закону функция u_n(x), определенная на множестве E. Формально говоря нам дана функциональная последовательность \left \{ u_n(x) \right \}.

Выражение вида u_{ 1 }(x)+u_2(x) +\dots +u_n(x) +\dots =\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x) называется функциональным рядом. Если для некоторого x_0 \in E числовой ряд \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0) сходится, то говорят, что функциональный ряд \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) сходится в точке x_0. Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке x \in E, называют сходящимся на множестве E.

Сумма n первых членов ряда S_n(x) = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x) называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность \left \{ S_n(x) \right \}.

Пример показать

Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть задан функциональный ряд \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x), члены которого являются функциями, определенными на множестве E. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве E, если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве E. Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция S(x), что
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \varepsilon .$$
Обозначим S_n(x)-S(x)=r_n(x)n-ый остаток ряда, получаем r_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}u_k(x). Тогда условие сходимости ряда примет вид: $$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|r_n(x)\right| < \varepsilon .$$
Это означает, что какое бы мы маленькое \varepsilon не взяли, начиная с некоторого номера n, n-ый остаток ряда будет меньше этого \varepsilon.

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда

Теорема

Если функциональный ряд \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x) равномерно сходится на множестве E, то последовательность его членов \left \{ u_n(x) \right \} равномерно стремится к нулю на множестве E.

Доказательство

Обозначим частичные суммы ряда как S_n(x), а сумму ряда (предельную функцию последовательности частичных сумм) как S(x). Согласно определению равномерной сходимости ряда
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2} ,$$
поэтому для \forall n \ge n_\varepsilon справедливо также неравенство
$$\left| u_{ n+1 }(x) \right| =\left| S_{ n+1 }(x)-S_{ n }(x) \right| =\left| \left[ S_{n+1}(x)-S(x) \right] + \left[S(x) — S_n(x) \right] \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon .$$
А это и означает равномерную сходимость к нулю последовательности \left \{ u_n(x) \right \}.

Список Литературы

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Равномерная сходимость последовательностей и рядов

максимум из 60 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных