6.3 Интегрирование рациональных функций.

Рациональной функцией (или дробью) называется функция вида
$$f(x) = \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)},$$
где $P(x)$ и $Q(x)$ – многочлены. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной. Ясно, что каждая рациональная дробь может быть представлена в виде
$$\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} = R(x) + \displaystyle\frac{P_{1}(x)}{Q(x)},$$
где $R(x)$ – многочлен, а дробь $\displaystyle\frac{P_{1}(x)}{Q(x)}$ – правильная. Поскольку интегралы от многочленов вычисляются совсем просто, то мы будем рассматривать методы интегрирования правильных дробей.

Будем различать следующие четыре вида дробей:

  • $\displaystyle\frac{A}{x-a}$, где $A$, $a$ — постоянные.
  • $\displaystyle\frac{A}{(x-a)^k}$, где $A$, $a$ — постоянные, $k = 2,3 \ldots$
  • $\displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}$, где $M$, $N$, $p$, $q$ – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.
  • $\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$, где $M$, $N$, $p$, $q$ – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.

Покажем как вычисляются интегралы от каждой из этих дробей.

  • $\int \displaystyle\frac{a}{x-a}dx = A\ln\left | x — a \right | + C$.
  • $\int \displaystyle\frac{a}{(x-a)^k}dx = -\frac{A}{k-1}\cdot \displaystyle\frac{1}{(x-a)^{k-1}} + C$.
  • $\int \displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}dx$. Для вычисления этого интеграла представим подынтегральное выражение в виде
    $$\displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q} = \displaystyle\frac{\frac{M}{2}(2x+p) + N — p\frac{M}{2}}{x^2 + px + q} = \displaystyle\frac{M}{2} \cdot \displaystyle\frac{2x+p}{x^2 + px + q} + \displaystyle\frac{N-p\displaystyle\frac{M}{2}}{x^2 + px + q}.$$
    Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену $t = x^2 + px + q$. Тогда получим
    $$\int \displaystyle\frac{2x + p}{x^2 + px + q} = \ln(x^2 + px + q) + C.$$
    Для вычисления интеграла от второго слагаемого справа выделим полный квадрат в знаменателе, т.е. представим знаменатель в виде $x^2 + px + q = (x+\displaystyle\frac{p}{2})^2 + q — \displaystyle\frac{p^2}{4}$. Поскольку квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней, то его дискриминант $\displaystyle\frac{p^2}{4} — q < 0$. Обозначим $a^2 = q — \displaystyle\frac{p^2}{4}$. Выполняя замену $x + \displaystyle\frac{p}{2} = t$, получим
    $$\int \displaystyle\frac{1}{x^2 + px + q}dx = \int \displaystyle\frac{1}{(x+\displaystyle\frac{p}{2})^2 + a^2}dx = \int \displaystyle\frac{dt}{t^2 + a^2} = \frac{1}{a^2} \int \displaystyle\frac{dt}{\displaystyle\frac{t^2}{a^2} + 1} =\\= \displaystyle\frac{1}{a} \int \displaystyle\frac{d(\displaystyle\frac{t}{a})}{(\displaystyle\frac{t}{a})^2 + 1} = \displaystyle\frac{1}{a} \text{arctg}\: \displaystyle\frac{t}{a} + C .$$
    Возвращаясь теперь к старой переменной, получим исходный интеграл.
  • $\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$. Для вычисления этого интеграла, как и в предыдущем случае, представим подынтегральное выражение в виде
    $$\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k} = \displaystyle\frac{\frac{M}{2}(2x + p) + N — p\displaystyle\frac{M}{2}}{(x^2 + px + q)^k} =\\=\displaystyle\frac{M}{2} \cdot \displaystyle\frac{2x+p}{(x^2 + px + q)^k} + \displaystyle\frac{N-p\frac{m}{2}}{(x^2 + px + q)^k}.$$
    Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену $t = x^2 + px + q.$ Тогда получим
    $$\int \displaystyle\frac{2x + p}{(x^2 + px + q)^k}dx = \displaystyle\frac{1}{-k+1}(x^2+px+q)^{-k+1} +C.$$
    Для вычисления интеграла от второго слагаемого, как и в предыдущем случае, выделим полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе. Тогда после замены переменной $t = x+\displaystyle\frac{p}{2}$ он сведется к интегралу вида $\int \displaystyle\frac{dt}{(t^2+a^2)^k}$. Обозначим этот интеграл через $I_{k}$ и выведем рекуррентную формулу для вычисления этого интеграла. Будем применять формулу интегрирования по частям. Имеем
    $$ I_{k} = \int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^k} = \begin{bmatrix}u = \displaystyle\frac{1}{(t^2+a^2)^k}, & dv = dt \\ du = -\displaystyle\frac{2kt}{(t^2+a^2)^{k+1}}, & v = t \end{bmatrix} =\\=\displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2k\int \displaystyle\frac{t^2}{(t^2 + a^2)^{k+1}}dt = \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k}+2k\int\displaystyle\frac{t^2 + a^2 — a^2}{(t^2 + a^2)^{k+1}}dt =\\= \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2k\int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^k} — 2ka^2 \int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^{k+1}} =\\= \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2kI_{k} — 2ka^2I_{k+1}.$$
    Отсюда находим
    $$I_{k+1} = \displaystyle\frac{1}{2ka^2}\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} +(2k-1)I_k \end{bmatrix} (k = 1,2,\ldots).$$
    При этом, как мы уже вычислили ранее,
    $$I_{1} = \int \displaystyle\frac{dt}{t^2 + a^2} = \displaystyle\frac{1}{a} \text{arctg}\:\displaystyle\frac{t}{a} + C.$$
    Итак, и в этом случае мы получили правило вычисления интеграла от дроби четвертого вида.

Из основной теоремы алгебры следует, что каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения конечного числа линейных сомножителей вида $x — a$ и квадратичных сомножителей вида $x^2 + px + q$, где $\displaystyle\frac{p^2}{4} — q < 0$. Именно, справедливо равенство
$$Q(x) = A(x-a_1)^{k_1}\ldots(x-a_r)^{k_r}(x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s}, (1)$$
где $k_i$ и $m_i$ – целые неотрицательные числа.
С использованием этого представления можно показать, что справедлива следующая

Теорема. Пусть $\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}$ – правильная дробь, знаменатель которой допускает разложение (1). Тогда эта дробь единственным образом может быть представлена в виде суммы простых дробей, т.е.
$$\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{k_i}\displaystyle\frac{A_{ij}}{(x-a_i)^j} + \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{m_i}\displaystyle\frac{M_{ij}x + N_{ij}}{(x^2 + P_ix+q_i)^j}.$$

Выше уже показано, что интеграл от каждой простой дроби выражается через элементарные функции. Таким образом, справедлива

Теорема. Каждая рациональная дробь имеет первообразную, которая выражается через элементарные функции, а именно, с помощью рациональных функций, логарифмической функции и арктангенса.

Метод Остроградского. Этот метод интегрирования рациональных дробей предназначен для выделения рациональной части из интеграла от рациональной функции. Именно, используя представление (1), интеграл от правильной дроби представляется в виде
$$\int \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} =\\=\int \displaystyle\frac{P(x)}{A(x-a_1)^{k_1}\ldots(x-a_r)^{k_r}(x^2+p_1x +q_1)^{m_1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s}}dx =\\=\int \displaystyle\frac{R_{k_1 + \ldots + k_r + 2(m_1 + \ldots + m_s) — r — 2s — 1}(x)dx}{A(x-a_1)^{k_1-1}\ldots(x-a_r)^{k_r-1}(x^2+p_1x +q_1)^{m_1-1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s-1}} +\\+ \int \displaystyle\frac{S_{r+2r-1}(x)}{A(x-a_1)…(x-a_r)(x^2+p_1x +q_1)^{m_1-1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)}dx,$$
где многочлены $R_{k_1+\ldots+k_r+2(m_1 + \ldots + m_s)-r-2s-1}(x)$ и $S_{r+2s-1}(x)$ степени $k_1+\ldots+k_r+2(m_1+\ldots+m_s)-r-2s-1$ и $r+2s-1$ соответственно имеют неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты находятся затем из условия равенства производных левой и правой частей записанного равенства. Таким образом, вычисление интеграла от правильной дроби сводится к вычислению интеграла от другой правильной дроби, у которой в знаменателе все множители в первой степени. Такой интеграл вычисляется, как указано выше, путем разложения подынтегрального выражения
на простые дроби. Тем самым отпадает необходимость в использовании полученной выше рекуррентной формулы для вычисления интегралов от простой дроби четвертого типа.

Примеры решения задач

  1. Найти неопределенный интеграл $I = \int \displaystyle\frac{2x^2 — 3x + 3}{x^3 — 2x^2 + x}dx$.
    Решение

    Разложим знаменатель на множители: $x^3 -2x^2 + x = x(x-1)^2$. Тогда подынтегральная функция представима в виде

    $$\displaystyle\frac{2x^2-3x+3}{x(x-1)^2} = \displaystyle\frac{A}{x} + \displaystyle\frac{B}{x-1} + \displaystyle\frac{C}{(x-1)^2},$$
    где $A$, $B$, $C $ – постоянные коэффициенты. Для их нахождения приведем выражение справа к общему знаменателю и, приравнивая числители полученных дробей, найдем

    $$2x^2-3x+3=A(x-1)^2 + Bx(x-1)+Cx.$$

    Поскольку это тождество имеет место при всех $x$, кроме $x=0,x=1,$ то коэффициенты этих многочленов при одинаковых степенях $x$ равны. Приравнивая их, получаем линейную систему уравнений

    $$\left.\begin{matrix}x^2 : & A+B=2\\ x : & -2A-B+C=-3\\ x^0 : & A=3\end{matrix}\right\}$$

    Решая эту систему, находим $A = 3$, $B = −1$, $C = 2.$ Подставляя эти значения в разложение подынтегральной функции и вычисляя соответствующие интегралы, получаем
    $$I=3\ln\left | x \right | — \ln \left | x-1 \right | — \displaystyle\frac{2}{x-1} + C = \ln \displaystyle\frac{\left | x \right |^3}{\left | x-1 \right |} — \displaystyle\frac{2}{x-1} +C.$$

  2. Найти неопределенный интеграл $I = \int \displaystyle\frac{x dx}{x^3 + 1}dx$.
    Решение

    Как и в предыдущем примере, разложим на множители знаменатель:

    $$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1).$$
    Раскладываем подынтегральное выражение с неопределнными коэффициентами
    $$\displaystyle\frac{x}{x^3 + 1} = \displaystyle\frac{A}{x+1} + \displaystyle\frac{Mx+N}{x^2-x+1},$$
    откуда $x = A(x^2−x+1)+(Mx+N)(x+1)$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, составляем линейную систему для нахождения чисел $A$, $M$, $N$:
    $$\left.\begin{matrix}x^2 : & 0+A+M,\\ x : & 1=-A+M+N,\\ x^0 : & 0=A+N.\end{matrix}\right\}$$
    Решая эту систему, находим $A = −\displaystyle\frac{1}{3}, M = N =\displaystyle\frac{1}{3}$. Поэтому
    $$I=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{3}\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2-x+1}dx=\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\int \displaystyle\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx + \displaystyle\frac{1}{2}\int \displaystyle\frac{dx}{x^2-x+1}=\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \displaystyle\frac{1}{2} \int \displaystyle\frac{dx}{(x — \displaystyle\frac{1}{2})^2 + \displaystyle\frac{3}{4}} =\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\text{arctg}\:\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\displaystyle\frac{1}{2}) + C.$$

  3. Найти неопределенный интеграл $\int \displaystyle\frac{(x^2 — 19x + 6)}{(x-1)(x^2 + 5x + 6)}dx$
    Решение

    Разложим знаменатель на множители: $(x-1)(x^2+5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3).$ Тогда подынтегральная функция представима в виде:
    $$\displaystyle\frac{x^2-19x+6}{(x-1)(x^2+5x+6)} = \displaystyle\frac{A}{x-1} + \displaystyle\frac{B}{x+2} + \displaystyle\frac{C}{x+3}$$
    Для нахождения $A, B$ и $C$ приведем выражение справа к общему знаменателю и, приравнивая числители полученных дробей, найдем
    $$A(x^2 + 5x + 6) + B(x^2 + 2x — 3) + c(x^2 + x — 2) = x^2 -19x+6$$
    Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, составляем систему линейных уравнений для нахождения чисел $A, B, C$
    $$\left.\begin{matrix} x^2 : & 1=A+B+C \\ x : & -19 = 5A+2B+C \\ x^0 : & 6=6A-3B-2C \end{matrix}\right\}$$
    Решаем систему, получаем значения $A = -1; B = -16; C=18$. Возвращаемся к изначальному интегралу и находим окончательное решение
    $$\int (-\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{16}{x+2}+\displaystyle\frac{18}{x+3})dx = -\ln\left | x-1 \right | — 16\ln\left | x+2 \right |+18\ln\left | x+3 \right | + C.$$

  4. Найти неопределенный интеграл $\int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{x^3+8}dx$
    Решение

    По формуле суммы кубов раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
    $$\int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{x^3+8}dx = \int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{(x+2)(x^2-2x+4)}dx.$$
    Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей
    $$\displaystyle\frac{A}{x+2} +\displaystyle\frac{Bx+C}{x^2-2x+4} = \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{(x+2)(x^2-2x+4)}.$$
    Приводим дробь к общему знаменателю
    $$A(x^2 — 2x + 4) + B(x^2 + 2x) + C(x+2) = x^2-6x+8$$
    Составим и решим систему
    $$\left.\begin{matrix}x^2 : & A+B=1\\ x : & -2A+2B+C=-6\\ x^0 : & 4A+2C=8\end{matrix}\right\}$$
    Подставим значения $A = 2$, $B = -1$, $C = 0$ в функцию и найдем интеграл
    $$\int (\displaystyle\frac{2}{x+2} — \displaystyle\frac{x}{x^2-2x+4})dx = 2\int \displaystyle\frac{dx}{x+2} + \int \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}d(x^2-2x+4) — dx}{x^2 -2x +4} =\\= 2\ln \left | x+2 \right | — \displaystyle\frac{1}{2}\int\displaystyle\frac{d(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4} — \int\displaystyle\frac{dx}{x^2-2x+1 +3} = \\= 2\ln \left | x+2 \right | — \frac{1}{2}\ln(x^2 — 2x + 4) — \int \frac{d(x-1)}{(x-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \\= 2\ln \left | x+2 \right | — \frac{1}{2}\ln(x^2 — 2x + 4) — \frac{1}{\sqrt{3}}\text{arctg}\:(\frac{x-1}{\sqrt{3}}) + C.$$

Интегрирование рациональных функций

Тест на тему: Интегрирование рациональных функций

Литература:

Смотрите также:

 

Следствия из основной теоремы алгебры. Канонические разложения.



Задача 1

Разложить на линейные (неприводимые) множители полином f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6.

Теоретическая справка. показать

Алгоритм решения. показать

Решение. Ответ. показать

Задача 2

Разложить на неприводимые вещественные множители многочлен f(x)=x^6 +27.

Необходимые теоретические сведения. показать

Указания к решению. показать

Решение. Ответ. показать

Задача 3

Построить полином по заданной таблице значений, пользуясь формулой Лагранжа:

0 1 2 3
x 1 2 3 4
y 2 1 4 3

Теоретические сведения. показать

Решение. Ответ. показать

Рекомендуемая литература:

  1. (Теоретические сведения) А. Г. Курош «Курс высшей алгебры», Издание 9, 1968 года, стр. 147-161
  2. (Практические задания) Д. К. Фадеев, И. С. Соминский «Сборник задач по высшей алгебре», Издание 10, 1972 года, стр. 83-110
  3. Курош А. Г. «Курс высшей алгебры» девятое издание, 1968 года, стр. 147-166
  4. Белозеров Г.С. Конспект лекций

Канонические разложения.


Таблица лучших: Следствия из основной теоремы. Канонические разложения.

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных