Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть \left \{ f_{n} \right \} — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке \left[a;b\right] функций. Предположим, что в некоторой точке x\in \left[a;b\right] числовая последовательность \left \{ f_{n}(x_{0}) \right \} сходится, а функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right]. Тогда исходная последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на \left[a;b\right] к непрерывно дифференцируемой функции f, причем для любого x\in \left[a;b\right] справедливо равенство f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x).

Доказательство

... показать

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций \left \{ u_{n} \right \}, такая, что ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) сходится в некоторой точке x\in \left[a;b\right], а ряд из производных \sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x) сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда исходный ряд \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство \left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )'=\sum_{n=1}^{\infty }u'_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right]).

Доказательство

... показать

Теорема

Пусть на отрезке \left[a;b\right] задана последовательность дифференцируемых функций \left \{ f_{n} \right \}, сходящаяся в некоторой точке x\in \left[a;b\right] и такова, что функциональная последовательность \left \{ f'_{n} \right \} сходится равномерно на \left[a;b\right]. Тогда последовательность \left \{ f_{n} \right \} равномерно сходится на всем отрезке \left[a;b\right] к некоторой функции f, причем эта функция f дифференцируема на \left[a;b\right] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.

Доказательство

... показать

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Функциональные последовательности

Если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по некоторому закону функция f_n(x), определенная на множестве E, то говорят, что на множестве E задана функциональная последовательность \left \{f_n (x)\right \}. Множество E называется областью определения последовательности \left \{f_n (x)\right \}.

Если для некоторого x_0 \in E числовая последовательность \left \{f_n (x_0) \right \} сходится, то говорят, что последовательность функций \left \{f_n (x) \right \} сходится в точке x_0. Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке x \in E, называют сходящейся на множестве E.

Если \underset {n \to \infty}{\lim} f_n(x) = f(x) для всех x \in E, то говорят, что последовательность \left \{f_n (x) \right \} на множестве E сходится к функции f(x). Эту функцию называют предельной функцией последовательности.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть задана последовательность функций \left \{ f_n(x) \right \} и предельная функция f(x). Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве E к функции f(x) если
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon .$$
Последовательность \left \{ f_n(x) \right \} называется равномерно сходящейся на E, если существует функция f(x), к которой она равномерно сходится.

Пример показать

Функциональные ряды

Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу n ставится в соответствие по некоторому закону функция u_n(x), определенная на множестве E. Формально говоря нам дана функциональная последовательность \left \{ u_n(x) \right \}.

Выражение вида u_{ 1 }(x)+u_2(x) +\dots +u_n(x) +\dots =\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x) называется функциональным рядом. Если для некоторого x_0 \in E числовой ряд \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0) сходится, то говорят, что функциональный ряд \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) сходится в точке x_0. Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке x \in E, называют сходящимся на множестве E.

Сумма n первых членов ряда S_n(x) = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x) называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность \left \{ S_n(x) \right \}.

Пример показать

Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть задан функциональный ряд \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x), члены которого являются функциями, определенными на множестве E. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве E, если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве E. Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция S(x), что
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \varepsilon .$$
Обозначим S_n(x)-S(x)=r_n(x)n-ый остаток ряда, получаем r_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}u_k(x). Тогда условие сходимости ряда примет вид: $$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|r_n(x)\right| < \varepsilon .$$
Это означает, что какое бы мы маленькое \varepsilon не взяли, начиная с некоторого номера n, n-ый остаток ряда будет меньше этого \varepsilon.

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда

Теорема

Если функциональный ряд \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x) равномерно сходится на множестве E, то последовательность его членов \left \{ u_n(x) \right \} равномерно стремится к нулю на множестве E.

Доказательство

Обозначим частичные суммы ряда как S_n(x), а сумму ряда (предельную функцию последовательности частичных сумм) как S(x). Согласно определению равномерной сходимости ряда
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2} ,$$
поэтому для \forall n \ge n_\varepsilon справедливо также неравенство
$$\left| u_{ n+1 }(x) \right| =\left| S_{ n+1 }(x)-S_{ n }(x) \right| =\left| \left[ S_{n+1}(x)-S(x) \right] + \left[S(x) — S_n(x) \right] \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon .$$
А это и означает равномерную сходимость к нулю последовательности \left \{ u_n(x) \right \}.

Список Литературы

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Равномерная сходимость последовательностей и рядов

максимум из 60 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Гармонический ряд

Гармоническим называется ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}+\cdots,$$ т.е. гармонический ряд состоит из членов, обратных числам натурального ряда.

Сходимость Гармонического ряда

Проверим гармонический ряд на сходимость:
Общий член гармонического ряда стремится к 0.$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0$$ Это показывает, что необходимое условие сходимости ряда выполняется. Для доказательства сходимости гармонического ряда будем использовать критерий Коши. По критерию Коши для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы:$$\forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon },\forall n>N_{\varepsilon },\forall p > 0:\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+p} \right |<\varepsilon$$ В качестве \varepsilon выберем \frac{1}{2} и p=n. Тогда:$$\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+p} \right |=\left | \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right |>$$$$>\left | \frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\cdots +\frac{1}{2n} \right |=\frac{1}{2}=\varepsilon$$ Из этого следует что гармонический ряд не удовлетворяет критерию Коши. Иначе говоря гармонический ряд расходится.
grad

Связанные ряды

Обобщённый гармонический ряд

Обобщённым гармоническим рядом называется ряд:$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }}=1+\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{3^{\alpha }}+\cdots +\frac{1}{n^{\alpha }}+\cdots$$ Обобщённый гармонический ряд расходится при \alpha\leq 1 и сходится при\alpha>1

Список Литературы

Тест на проверку знаний по данной теме.

Таблица лучших: Гармонический ряд

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегральный признак

Интегральный признак сходимости ряда

Формулировка

Дана функция f определенная при всех x\geq1, неотрицательна и убывает, тогда ряд \sum_{n=1}^{\infty}f(n) сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл \int_{1}^{+\infty}{f(x)dx}.

Доказательство

Так как функция монотонна на промежутке \left[1,+\infty \right], тогда она интегрируема по Риману на любом конечном отрезке \left[1,\eta \right], и поэтому имеет смысл говорить о несобственном интеграле.
Если k\leq x\leq k+1, тогда f(k)\geq f(x)\geq f(k+1), k=1,2, ... (функция убывает) (рис. 1). Проинтегрировав это неравенство \left[k,k+1\right] имеем: f(k)\geq \int\limits_{k}^{k+1}{f(x)dx}\geq f(k+1), k=1,2, ....
integral_sign(1)
Суммируя от k=1 до k=n (рис. 2) получим:

\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)}\geq \int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\geq \sum\limits_{k=1}^{n}{f(k+1)}

integral_sign(2)
Положим s_{n}=\sum_{k=1}^{n}{f(k)}, будем иметь

s_{n}\geq \int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\geq s_{n+1}-f(1)
n=1,2, ...

Если интеграл сходится, то в силу неотрицательности f справедливо неравенство:

\int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq \int\limits_{1}^{+\infty}{f(x)dx}.

Отсюда следует:

s_{n+1}\leq f(1)+\int\limits_{1}^{+\infty}{f(x)dx},

то есть последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, а значит ряд сходится.
Если ряд сходится, пусть его сумма равна s, тогда \forall n\epsilon \mathbb{N}s_{n}\leq s  и следовательно \forall n\epsilon \mathbb{N}\int_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq s.
Пусть \xi, то беря n, так чтобы n\geq \xi, в силу неотрицательности функции имеем \int_{1}^{\xi }{f(x)dx}\leq \int_{1}^{n}{f(x)dx}\leq s.
Таким образом совокупность всех интегралов \int_{1}^{\xi }{f(x)dx} ограничена сверху, поэтому интеграл \int_{1}^{+\infty}{f(x)dx} сходится.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[6]{(2n+3)^{7}}}. Исследовать ряд на сходимость.
Так как данная функция f(n)=\frac{1}{\sqrt[6]{(2n+3)^{7}}} определенна при всех n\geq1, неотрицательна и убывает, то воспользуемся  интегральным признаком сходимости ряда.
Проверим сходимость интеграла \int_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)^{7}}}dx}.

\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)^{7}}}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{+\infty }{(2x+3)^{-\frac{7}{6}}d(2x+3)}=-\frac{1}{2}*6*\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)}} \right)\left.\right |^b_1=-3*\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt[6]{2b+3}}-\frac{1}{\sqrt[6]{5}} \right )=\frac{3}{\sqrt[6]{5}}

Интеграл сходится, а значит исходный ряд тоже сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак Даламбера

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}>0

Если начиная с какого-то номера n_{0}\epsilon \mathbb{N} \forall n>n_{0} выполняется неравенство \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1 q\epsilon \mathbb{R}, то ряд сходится.
Если же \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1, то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q для n=1 и n=2.

n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}
n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}

Таким образом \forall n будет справедливо неравенство a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}. При этом ряд \sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1} является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} тоже сходится.

Если \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1, то справедливо неравенство a_{n+1}\geq a_{n}>0, что противоречит необходимому условию сходимости ряда (\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0). Значит ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}>0

Если существует предел:

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K

Тогда:

  1. Если K<1, то ряд сходится.
  2. Если K>1, то ряд расходится.
  3. Если K=1, то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть \lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K. Из определения предела запишем: \forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon. Если K<1, то положим \varepsilon =\frac{1-K}{2}, тогда q=K+\varepsilon<1 и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же K>1, то положим \varepsilon =\frac{K-1}{2}, тогда q=K-\varepsilon>1, а значит ряд расходится. Для случая K=1 приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} расходится и при этом \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1. В то же время ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} сходится и при этом \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}. Определить характер сходимости ряда.

Воспользуемся  признаком Даламбера в предельной форме.

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a}{n+1}}=0<1.

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал