Задачи, которые приводят к понятию производной

  1. Задача о скорости

    Пусть точка движется по прямой. S=S(t) — путь пройденый точкой за время t от начала движения. Путь пройденный точкой за время от t до t+\Delta t = S(t+\Delta t) - S(t) .
    graph2
    Средняя скорость: V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}
    Если движение точки — равномерное, то V_{cp} — постоянная.
    Если же движение неравномерное, то V_{cp} не меняется при изменении \Delta t .
    Определение:
    Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент t: V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t} .

  2. Задача о касательной

    Пусть функция f определена в \delta-окрестности точки x_0 и непрерывна в этой окрестности.
    test6
    Возьмем две точки на графике: M_0 (x_0;y_0) и M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x)) .
    Уравнение прямой, проходящей через точки M и M_0 имеет вид y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0), где \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0), \Delta x=x-x_0.
    \frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha
    Эту прямую называют секущей, а число k=\tan \alphaугловым коэффициентом секущей.
    \Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0
    Определение:
    Касательной кривой заданной уравнением y=f(x) в точке x_0 называют предельное положение секущей при \Delta x \to 0.
    Если существует \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0, то существует предельное положение секущей.
    Таким образом, если существует \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}, то прямая, проходящая через точку M_0 с угловым коэффициентом k_0 называется касательной к графику функции y=f(x) в точке x_0 .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература