Первая теорема Абеля

Теорема

Если степенной ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$$ сходится при $z=z_0\neq0$, то он сходится, и притом абсолютно, при любом $z$, для которого $\left|z\right|<\left|z_{0}\right|$.

abel

Доказательство

По условию ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится при $z=z_{0}$. Обозначим:
$$K=\left\{z:\left|z\right|<\left|z_{0}\right|\right\}.$$

Положим, что $\rho=\frac{\left|z \right|}{\left|z_{0} \right|}$. Причем так как $\left|z \right|<\left|z_{0} \right|$, то $\rho<1$.

Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ в точке $z_{0}$ следует сходимость числового ряда вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z_{0}^{n}$. Следовательно, выполняется необходимое условие сходимости ряда, а именно: $$\lim\limits_{ n \to 0}a_{n}z_{0}^{n}=0.$$

Тогда последовательность $\left\{a_{n}z_{0}^{n}\right\}$ ограничена, т.е. $$\exists M>0\; \forall n:\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|< M.$$

Имеем следующее: $\left|a_{n}z^{n}\right|=$$\left|a_{n}z^{n}\right|\cdot \left|\frac{z_{0}^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\cdot\frac{z^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|\cdot\left|\frac{z^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|\rho^{n} < M\rho^{n}. $

Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}M\rho^{n}$. Так как мы знаем, что $0\leq\rho<1$, то, в силу необходимого условия сходимости ряда, данный ряд сходится.

Тогда, по признаку сравнения в форме неравенств, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится абсолютно для $\forall z \in K$.

Следствие 1

Если степенной ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$$ расходится при $z=z_{0}\neq0$, то он расходится при любом $z$, для которого $\left|z\right|>\left|z_{0}\right|$.
sledab

Доказательство показать

Следствие 2

Если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится в точке $z_{0}\neq0$, то в замкнутом круге $K_1=\left\{z:\left|z\right|\leq \vartheta\right\}$, где $\vartheta<\left|z_{0}\right|$ этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Доказательство показать

Литература

Теорема Абеля

Тест на закрепление вышеизложенного материала.


Таблица лучших: Теорема Абеля

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Теорема 1 (Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани)

Для того, чтобы последовательность функций f_{n}(x), определенных на множестве E, сходилась равномерно к функции f(x) на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\underset{x\in E}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid=0\quad (1)

Необходимость

Пусть f_{n}\rightrightarrows f на E. Покажем, что \delta_{n}=\underset{x\in E}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\rightarrow 0 при n\rightarrow\infty.
Имеем, что \forall\varepsilon >0 существует такой номер \exists n_{\varepsilon}, что \forall n\geq n_{\varepsilon} и \forall x\in X выполняется неравенство:
\mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}
Тогда \forall n\geq n_{\varepsilon} будем иметь:
\underset{x\in X}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon,
а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия (1).

Достаточность

Пусть справедливо условие (1). Докажем, что последовательность функций f_{n}(x) равномерно сходится к функции f(x).

Используя неравенство \mid f_{n}\left ( x \right )-f\left ( x \right )\mid\leq\delta_{n} для x\in E, n\in N, мы получим, что \mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\varepsilon, для x\in E, n\geq n_{\varepsilon}. А это означает, что f_{n}(x)\rightrightarrows f(x), x\in E.

Рисунок показать

Теорема 2

(Критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Для того чтобы последовательность функций {f_{n}(x)} сходилась равномерно на множестве E необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

\forall\varepsilon >0 \exists n_{\varepsilon}:\forall n\geq N_{\varepsilon}\quad\forall P\in N \forall x\in E\Rightarrow\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid<\varepsilon\quad (2)

Необходимость

Пусть f_{n}(x)\rightrightarrows f(x), x\in E. Следовательно, согласно определению равномерной сходимости можно утверждать, что:

\forall\varepsilon>0 \exists N_{\varepsilon}:\forall k\geq N_{\varepsilon} \forall x\in E\Rightarrow\left | f_{k}\left ( x \right )-f\left ( x \right )\right |< \frac{\varepsilon}{2}\quad(4)

Пусть теперь n\geq N_{\varepsilon}, p\in N.

Тогда:

\mid f_{n}(x)-f(x)\mid <\frac{\varepsilon}{2} и \mid f_{n+p}(x)-f(x)\mid <\frac{\varepsilon}{2}

Теперь, применяя неравенство треугольника, получим что:

\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid =\mid (f_{n+p}(x)-f(x))-(f_{n}(x)-f(x))\mid\leq\mid (f_{n+p}(x)-

f\left ( x \right )\mid+\mid f_{n}\left ( x \right )-f\left ( x \right )\mid<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\quad (5)

Достаточность

Пусть дано, что выполняется условие Коши. Докажем равномерную сходимость последовательности функций.

Какое бы значение x из X не взяли, мы будем иметь числовую последовательность, для которой выполняется условие Коши. Следовательно, для этой последовательности существует конечный предел, что доказывает существование для последовательности предельной функции f\left ( x \right ).
Покажем, что последовательность {f_{n}} сходится равномерно к функции f
на множестве X. Действительно, в силу условия (2), \forall\varepsilon>0 \quad\exists n_{\varepsilon}, что \forall n\geq n_{\varepsilon}, \forall p\geq 0 и \forall x\in X справедливо неравенство

\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}\quad (3)
Заметив, что \lim\limits_{p\rightarrow\infty}f_{n+p}(x)=f(x), перейдем к пределу в неравенстве (3) при  p\rightarrow\infty; тогда \forall n>n_{\varepsilon} и \forall x\in X получим
\mid f(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon,
а это и означает, что f_{n}\rightrightarrows f.

Источники:

Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

Тест для закрепления материала.

Таблица лучших: Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани, критерий Коши

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегральный признак

Интегральный признак сходимости ряда

Формулировка

Дана функция f определенная при всех x\geq1, неотрицательна и убывает, тогда ряд \sum_{n=1}^{\infty}f(n) сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл \int_{1}^{+\infty}{f(x)dx}.

Доказательство

Так как функция монотонна на промежутке \left[1,+\infty \right], тогда она интегрируема по Риману на любом конечном отрезке \left[1,\eta \right], и поэтому имеет смысл говорить о несобственном интеграле.
Если k\leq x\leq k+1, тогда f(k)\geq f(x)\geq f(k+1), k=1,2, ... (функция убывает) (рис. 1). Проинтегрировав это неравенство \left[k,k+1\right] имеем: f(k)\geq \int\limits_{k}^{k+1}{f(x)dx}\geq f(k+1), k=1,2, ....
integral_sign(1)
Суммируя от k=1 до k=n (рис. 2) получим:

\sum\limits_{k=1}^{n}{f(k)}\geq \int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\geq \sum\limits_{k=1}^{n}{f(k+1)}

integral_sign(2)
Положим s_{n}=\sum_{k=1}^{n}{f(k)}, будем иметь

s_{n}\geq \int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\geq s_{n+1}-f(1)
n=1,2, ...

Если интеграл сходится, то в силу неотрицательности f справедливо неравенство:

\int\limits_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq \int\limits_{1}^{+\infty}{f(x)dx}.

Отсюда следует:

s_{n+1}\leq f(1)+\int\limits_{1}^{+\infty}{f(x)dx},

то есть последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху, а значит ряд сходится.
Если ряд сходится, пусть его сумма равна s, тогда \forall n\epsilon \mathbb{N}s_{n}\leq s  и следовательно \forall n\epsilon \mathbb{N}\int_{1}^{n+1}{f(x)dx}\leq s.
Пусть \xi, то беря n, так чтобы n\geq \xi, в силу неотрицательности функции имеем \int_{1}^{\xi }{f(x)dx}\leq \int_{1}^{n}{f(x)dx}\leq s.
Таким образом совокупность всех интегралов \int_{1}^{\xi }{f(x)dx} ограничена сверху, поэтому интеграл \int_{1}^{+\infty}{f(x)dx} сходится.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[6]{(2n+3)^{7}}}. Исследовать ряд на сходимость.
Так как данная функция f(n)=\frac{1}{\sqrt[6]{(2n+3)^{7}}} определенна при всех n\geq1, неотрицательна и убывает, то воспользуемся  интегральным признаком сходимости ряда.
Проверим сходимость интеграла \int_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)^{7}}}dx}.

\int\limits_{1}^{+\infty }{\frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)^{7}}}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{+\infty }{(2x+3)^{-\frac{7}{6}}d(2x+3)}=-\frac{1}{2}*6*\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt[6]{(2x+3)}} \right)\left.\right |^b_1=-3*\lim\limits_{b\rightarrow +\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt[6]{2b+3}}-\frac{1}{\sqrt[6]{5}} \right )=\frac{3}{\sqrt[6]{5}}

Интеграл сходится, а значит исходный ряд тоже сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак Даламбера

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}>0

Если начиная с какого-то номера n_{0}\epsilon \mathbb{N} \forall n>n_{0} выполняется неравенство \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1 q\epsilon \mathbb{R}, то ряд сходится.
Если же \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1, то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q для n=1 и n=2.

n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}
n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}

Таким образом \forall n будет справедливо неравенство a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}. При этом ряд \sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1} является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} тоже сходится.

Если \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1, то справедливо неравенство a_{n+1}\geq a_{n}>0, что противоречит необходимому условию сходимости ряда (\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0). Значит ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}>0

Если существует предел:

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K

Тогда:

  1. Если K<1, то ряд сходится.
  2. Если K>1, то ряд расходится.
  3. Если K=1, то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть \lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K. Из определения предела запишем: \forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon. Если K<1, то положим \varepsilon =\frac{1-K}{2}, тогда q=K+\varepsilon<1 и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же K>1, то положим \varepsilon =\frac{K-1}{2}, тогда q=K-\varepsilon>1, а значит ряд расходится. Для случая K=1 приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} расходится и при этом \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1. В то же время ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} сходится и при этом \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}. Определить характер сходимости ряда.

Воспользуемся  признаком Даламбера в предельной форме.

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a}{n+1}}=0<1.

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак Коши

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}\geq 0

Если начиная с какого-то номера n_{0}\epsilon \mathbb{N} \forall n>n_{0} выполняется неравенство \sqrt[n]{a_{n}}\leq q<1 q\epsilon \mathbb{R}, то ряд сходится.
Если же \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0} \sqrt[n]{a_{n}}\geq 1, то ряд расходится.

Доказательство

Пусть \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\Leftrightarrow a_{n}\leq q^{n}. Так как 0<q<1, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} q^{n} будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} так же является сходящимся.

Если \exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1\Leftrightarrow a_{n}\geq 1, что противоречит необходимому условию сходимости ряда (\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0). Значит ряд \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак Коши сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+...
a_{n}\geq 0

Если существует предел:

\lim\limits_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K

Тогда:

  1. Если K<1, то ряд сходится.
  2. Если K>1, то ряд расходится.
  3. Если K=1, то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть \lim_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K. Из определения предела запишем: \forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\sqrt[n]{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\sqrt[n]{a_{n}}<K+\varepsilon. Если K<1, то q=K+\varepsilon<1  и тогда по признаку Коши в форме неравенств
ряд сходится.

Если же  K>1, то q=K-\varepsilon>1, а значит ряд расходится.

Пример

Дан ряд \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{n+2})^{n^{2}}. Исследовать ряд на сходимость.

Воспользуемся  признаком Коши в предельной форме.

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(\frac{n+1}{n+2})^{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(\frac{n+2}{n+1})^{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(1+\frac{1}{n+1})^{n*\frac{n+1}{n+1}}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{((1+\frac{1}{n+1})^{n+1})^{\frac{n}{n+1}}}}=\frac{1}{e^{1}}=\frac{1}{e}<1.

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал