Признак Даламбера

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}>0[/latex]

Если начиная с какого-то номера [latex]n_{0}\epsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1[/latex] [latex]q\epsilon \mathbb{R}[/latex], то ряд сходится.
Если же [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}[/latex] [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1[/latex], то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q[/latex] для [latex]n=1[/latex] и [latex]n=2[/latex].

[latex]n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}[/latex]
[latex]n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}[/latex]

Таким образом [latex]\forall n[/latex] будет справедливо неравенство [latex]a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}[/latex]. При этом ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1}[/latex] является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] тоже сходится.

Если [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1[/latex], то справедливо неравенство [latex]a_{n+1}\geq a_{n}>0[/latex], что противоречит необходимому условию сходимости ряда ([latex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex]). Значит ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}>0[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K[/latex]

Тогда:

  1. Если [latex]K<1[/latex], то ряд сходится.
  2. Если [latex]K>1[/latex], то ряд расходится.
  3. Если [latex]K=1[/latex], то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Если [latex]K<1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac{1-K}{2}[/latex], тогда [latex]q=K+\varepsilon<1[/latex] и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же [latex]K>1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac{K-1}{2}[/latex], тогда [latex]q=K-\varepsilon>1[/latex], а значит ряд расходится. Для случая [latex]K=1[/latex] приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/latex] расходится и при этом [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1[/latex]. В то же время ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}[/latex] сходится и при этом [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1[/latex].

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}[/latex]. Определить характер сходимости ряда.

Воспользуемся  признаком Даламбера в предельной форме.

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a}{n+1}}=0<1[/latex].

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак Коши

Признак Коши сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}\geq 0[/latex]

Если начиная с какого-то номера [latex]n_{0}\epsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\sqrt[n]{a_{n}}\leq q<1[/latex] [latex]q\epsilon \mathbb{R}[/latex], то ряд сходится.
Если же [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}[/latex] [latex]\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1[/latex], то ряд расходится.

Доказательство

Пусть [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\leq q\Leftrightarrow a_{n}\leq q^{n}[/latex]. Так как [latex]0<q<1[/latex], то ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}[/latex] будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] так же является сходящимся.

Если [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}\sqrt[n]{a_{n}}\geq 1\Leftrightarrow a_{n}\geq 1[/latex], что противоречит необходимому условию сходимости ряда ([latex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex]). Значит ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак Коши сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}\geq 0[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K[/latex]

Тогда:

  1. Если [latex]K<1[/latex], то ряд сходится.
  2. Если [latex]K>1[/latex], то ряд расходится.
  3. Если [latex]K=1[/latex], то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }{\sqrt[n]{a_{n}}}=K[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\sqrt[n]{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\sqrt[n]{a_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Если [latex]K<1[/latex], то [latex]q=K+\varepsilon<1[/latex]  и тогда по признаку Коши в форме неравенств
ряд сходится.

Если же  [latex]K>1[/latex], то [latex]q=K-\varepsilon>1[/latex], а значит ряд расходится.

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n+1}{n+2})^{n^{2}}[/latex]. Исследовать ряд на сходимость.

Воспользуемся  признаком Коши в предельной форме.

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{(\frac{n+1}{n+2})^{n}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(\frac{n+2}{n+1})^{n}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{(1+\frac{1}{n+1})^{n*\frac{n+1}{n+1}}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{((1+\frac{1}{n+1})^{n+1})^{\frac{n}{n+1}}}}=\frac{1}{e^{1}}=\frac{1}{e}<1[/latex].

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Признак сравнения

Признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]    [latex](A)[/latex]
[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…[/latex]    [latex](B)[/latex]

Если, начиная с какого-то номера [latex]N\varepsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>N[/latex] выполняется неравенство [latex]0\leq a_{n}\leq b_{n}[/latex], тогда:

  1. Из сходимости ряда [latex](B)[/latex] следует сходимость ряда [latex](A)[/latex].
  2. Из расходимости ряда [latex](A)[/latex] следует расходимость ряда [latex](B)[/latex].

Доказательство

  1. [latex](A)[/latex] и [latex](B)[/latex] — ряды с неотрицательными членами. Частичные суммы рядов [latex](A)[/latex] и [latex](B)[/latex] обозначим как [latex]S_{n}^{(A)}[/latex] и [latex]S_{n}^{(B)}[/latex]. Из условия [latex]0\leq a_{n}\leq b_{n}[/latex] можно сказать, что [latex]S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}[/latex]. Пусть ряд [latex](B)[/latex] сходится, тогда, согласно критерию сходимости ряда с неотрицательными членами, его частичные суммы [latex]S_{n}^{(A)}[/latex] ограничены, а значит [latex]S_{n}^{(B)}[/latex] также будут ограничены ([latex]S_{n}^{(A)}\leq S_{n}^{(B)}[/latex]). Тогда по вышеупомянутому критерию ряд [latex](B)[/latex] тоже будет сходиться.
  2. Пусть ряд [latex](A)[/latex] расходится. Докажем методом от противного. Предположим что ряд [latex](B)[/latex] сходится. Тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд [latex](A)[/latex] тоже должен сходиться, что противоречит условию. Значит ряд [latex](B)[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие (признак сравнения сходимости рядов в предельной форме)

Формулировка

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]    [latex](A)[/latex]
[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}+…[/latex]    [latex](B)[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}=K[/latex]      [latex]0<K< +\infty[/latex]

Тогда:

  1. Если ряд [latex](B)[/latex] сходится и [latex]K<+\infty[/latex], то ряд [latex](A)[/latex] сходится.
  2. Если ряд [latex](B)[/latex] расходится и [latex]K>0[/latex], то ряд  [latex](A)[/latex] расходится.

Доказательство

  1. Пусть ряд [latex](B)[/latex] сходится и [latex]K< +\infty[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left | \frac{a_{n}}{b_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n}}{b_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Из неравенства получим: [latex]a_{n}<b_{n}(K+\varepsilon )[/latex]. Ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(K+\varepsilon )[/latex] сходится, так как это ряд полученный умножением членов ряда [latex](B)[/latex] на постоянное число [latex]K+\varepsilon[/latex]. Тогда по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex](A)[/latex] сходится.
  2. Если ряд [latex](B)[/latex] расходится и [latex]K>0[/latex], тогда отношение [latex]\frac{b_{n}}{a_{n}}[/latex] имеет конечный предел [latex]\lim_{n\rightarrow \infty } \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{K}< \infty[/latex]. Предположим что ряд [latex](A)[/latex] сходится, тогда согласно утверждению доказанном в пункте 1, ряд [latex](B)[/latex] тоже сходится, что противоречит условию. Значит [latex](A)[/latex] расходится.

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+\sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}}[/latex]. Исследовать ряд на сходимость.

Для определения характера сходимости будем использовать признак сравнения. Попробуем оценить данный ряд сверху.

[latex]\frac{(3+(-1)^{n}*2)(1+\sin^{3}n)}{n\tfrac{3}{2}} \leq \frac{5*2}{n\tfrac{3}{2}}=O(\frac{1}{n\tfrac{3}{2}})[/latex]

Ряд вида [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha }}[/latex] сходится при [latex]\alpha >1[/latex].

[latex]\frac{3}{2}>1[/latex] значит полученный ряд сходится, а значит сходится и исходный.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости

Пусть дана последовательность [latex]a_1, a_2,…, a_n,…[/latex], где [latex]a_i\epsilon \mathbb{R}, i \epsilon \mathbb{N}[/latex]

Символ вида (*) [latex]a_1+a_2+…+a_n+…[/latex] называется числовым рядом и обозначается[latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n [/latex], при этом [latex]a_n[/latex] называется общим членом ряда. Ряд (*) называется сходящимся, если существует предел [latex]\lim_{n \to \infty }S_n[/latex], где [latex]S_n[/latex] это n-ая частичная сумма ряда, [latex]S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k[/latex].

s

При этом, число [latex]S=\lim_{n \to \infty }S_n[/latex] называется суммой ряда, и пишут [latex]S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n [/latex].

Если же предел частичных сумм [latex]\lim_{n \to \infty }S_n[/latex] не существует или бесконечен, то говорят, что ряд (*) расходится и никакой суммы ряду не присваивается.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

[latex]q+q^{2}+…+q^{n}+…[/latex]

Запишем n-ю частичную сумму и с упростим выражение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии.

[latex]S_n=q+q^{2}+…+q^{n}=\frac{q(1-q^{n})}{1-q}[/latex], [latex]|q|\neq1[/latex]
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\frac{q}{1-q}[/latex], при [latex]|q|<1[/latex]
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\infty[/latex], при [latex]|q|>1 [/latex].
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}n=\infty[/latex], при [latex]q=1 [/latex].
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n[/latex] не существует, при [latex]q=-1 [/latex].

Таким образом, при [latex]|q|<1[/latex] ряд сходится, а при [latex]|q|\geq1 [/latex] — расходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Если ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/latex] сходится, то необходимо [latex]\lim_{n \to \infty}a_n=0[/latex].

Доказательство.

Если ряд сходится, то [latex]\exists \lim_{n \to \infty}S_n=S[/latex], следовательно [latex]\exists \lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S[/latex].

Рассмотрим [latex]\lim_{n \to \infty}(S_{n-1}-S_n)=S-S=0[/latex], где [latex]S_{n-1}-S_n=a_n[/latex], [latex]a_n[/latex] — общий член ряда, [latex]\lim_{n \to \infty}a_n=0[/latex]. Теорема доказана.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}[/latex].

Необходимое условие не выполняется: [latex]\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}\neq 0[/latex]. Следовательно, ряд расходится.

Литература

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Тест на проверку знаний о сходящихся и расходящихся рядах, а также необходимого условия сходимости.