РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения бывают трех типов.

  • 1. A \cdot X=B
  • 2. X \cdot A=B
  • 3. C \cdot X \cdot A=B
  • Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A слева.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot X= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}, \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-2
    A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4
    A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3
    A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2
    A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1
    \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}, полученную матрицу транспонируем и умножим на \det^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-1/2. Обратная матрица к \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}.
    X=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}, X= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}. Сделаем проверку \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}. Уравнение решили правильно.
    Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A справа.
    X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix}. Матрица обратная к \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}. X=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}.
    Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A справа и на обратную матрице C слева.
    \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}. Обратная матрица к \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix}, обратная матрица к \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}. X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}.
    Проверка \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}.
    Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
    X \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}.
    Матрицу X запишем как \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} & 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} \\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} & 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}.

    \begin{cases}
    3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
    6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\
    3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\
    6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18
    \end{cases}
    Эта система эквивалентна
    \begin{cases}
    3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
    3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9
    \end{cases}
    Решив данную систему получим общей вид решения X=\begin{pmatrix} x_{1} & (2-3x_{1})/4 \\ x_{3} & (9-4x_{1})/3 \\ \end{pmatrix}
    Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 118-119.
  • Решение матричных уравнений

    Обращение матриц. Решение матричных уравнений

    Таблица лучших: Решение матричных уравнений

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

    Действия над матрицами

    Примеры:

    1. Выполнить сложение матриц:
    \begin{pmatrix}  1 &0 \\  2& 1  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  3 &1 \\  4& 5  \end{pmatrix} .
    Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
    \begin{pmatrix}  1 &0 \\  2& 1  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}  3 &1 \\  4& 5  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  4 &1 \\  6& 6  \end{pmatrix}.

    Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы A=\begin{pmatrix}  1 &2 \\  1&0  \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}  0 &1 \\  1&1  \end{pmatrix} и C=\begin{pmatrix}  5 &0\\  0&1  \end{pmatrix}. Тогда:

    A+B= \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}= B+A= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}.

    Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

    A+B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix};
    (A+B)+C= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}.
    B+C= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 1&2 \end{pmatrix};
    A+(B+C)= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}.

    Как видим, A+(B+C)=(A+B)+C.

    2. Выполнить умножение матрицы на число:
    \begin{pmatrix}  a &b \\  c&d  \end{pmatrix} \cdot e.
    Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
    \begin{pmatrix}  a &b \\  c&d  \end{pmatrix} \cdot e = \begin{pmatrix}  ae &be \\  ce& de  \end{pmatrix}.

    Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{P}. Покажем это на конкретном примере:
    Пусть дана матрица A=\begin{pmatrix}  1 &1 \\  1 &1  \end{pmatrix} и \alpha = 3, \beta =2.
    Тогда \beta A= \begin{pmatrix} 2 &2 \\ 2 &2 \end{pmatrix};
    \alpha ( \beta A)= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}.
    \alpha \beta =6;
    ( \alpha \beta) A= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}.
    Как видим, \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A.

    3. Вычислить произведение матриц:
    \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix}.
    Для удобства будем называть первую матрицу A а вторую матрицу B. Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей 3 \times 3 и 3 \times 2, следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B. Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:
    Mult
    Получим следующее:
    \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 &? \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}.
    Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы A на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы B и складываем полученные значения:
    \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 &27 \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}.
    Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы A на элементы первого столбца матрицы B, складывая результаты:
    \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&? \\ ?&? \end{pmatrix}.
    Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
    \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&16 \\ 34&50 \end{pmatrix}.
    Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
    Пусть даны матрицы A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}.
    Тогда A \cdot B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&3 \\ 0&1 \end{pmatrix}.
    B \cdot A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&2 \end{pmatrix}.
    Как видим, A \cdot B \ne B \cdot A.

    4. Возвести матрицу в степень:
    \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}.
    Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
    \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 0 &4 \\ 6&1 &6 \\ 2& 0 &3 \end{pmatrix}.

    5. Транспонировать матрицу:
    \begin{pmatrix} 1 &2 &0 &1 \\ 0&1 &0 &2 \end{pmatrix}.
    Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
    \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2&1 \\ 0&0 \\ 1&2 \end{pmatrix}.

    Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

    максимум из 9 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

    Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».


    Источники:

    1. Г. С. Белозеров. Конспект лекций.
    2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 194-197.
    3. А. Г. Курош  «Курс высшей алгебры» (Издание девятое, 1968 г.), стр. 99-102.
    4. И. В. Проскуряков.   «Сборник задач по линейной алгебре» (1984 г.), стр. 112-115.

    Обращение матриц

    Обращение матриц

    Первый способ нахождения обратной матрицы. Пусть дана матрица A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7  \end{pmatrix}. Обратную матрицу можно вычислить по формуле A^{-1}=(\det A)^{-1} \cdot A^{T}, где A^{T} — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольника. \det A=0 \cdot 3 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 3+2 \cdot 5 \cdot 3-3 \cdot 3 \cdot 3-5 \cdot 5 \cdot 0-2 \cdot 1 \cdot 7=4. Если бы определитель был равен нулю, то обратная матрица не существует. Дальше найдем алгебраическое дополнение матрицы. Чтобы найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы, нужно вычеркнуть строку и столбец содержащий этот элемент, найти определитель минора каждого элемента и умножить на -1 в степени суммы номера строки и столбца в которых располагается элемент.
    A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=-4
    A_{12}=(-1)^{1+2} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=1
    A_{13}=(-1)^{1+3} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=1
    A_{21}=(-1)^{2+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=8
    A_{22}=(-1)^{2+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=-9
    A_{23}=(-1)^{2+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=3
    A_{31}=(-1)^{3+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=-4
    A_{32}=(-1)^{3+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}=6
    A_{33}=(-1)^{3+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=-2
    Матрица алгебраических дополнений A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 8 & -9 & 3 \\ -4 & 6 & -2  \end{pmatrix}. Транспонируем Матрицу алгебраических дополнений, A^{T} = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2  \end{pmatrix}. Теперь найдем обратную матрицу A^{-1}=\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2  \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4  &  -1/2 \end{pmatrix}. Если обратная матрица найдена правильно, то при умножение обратной матрицы на исходную получим матрицу, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю. \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4  &  -1/2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Так как получили единичную матрицу, то обратная матрица найдена верно.
    Второй способ нахождения обратной матрицы. Запишем рядом с исходной матрицей единичную \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Любую матрицу можно привести к единичной, это мы и сделаем с нашей матрицей A, выполняя действия по привидению матрицы A к единичному виду, будем выполнять такие же с единичной матрицей.
    \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
    Умножим вторую строку на -1 и прибавим к третьей.
    \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 2  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
    Поменяем первую и третью строки местами.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1  \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
    Первую строку умножим на -2 и прибавим ко второй.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1  \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
    Вторую строку прибавим к третьей.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1  \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}
    Поделим третью строку на четыре.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1  \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
    Умножим вторую строку на -2 и прибавим к первой.
    \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -7 & 5  \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
    Умножим третью строку на -1 и прибавим ко второй.
    \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -7 & 5  \\ -1/4 & 9/4 & -3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
    Умножим вторую строку на -1.
    \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -7 & 5  \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
    Вторую строку умножим на -4 и прибавим к первой.
    \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1  \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
    Полученная матрица является обратной.
    Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 116, 125.
  • Обращение матриц

    Обращение матриц

    Таблица лучших: Обращение матриц

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных