Фундаментальные последовательности и их свойства

Определение

Последовательность  \left \{ x_{n} \right \}  называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого \varepsilon > 0 существует такое натуральное число  n_{0} , что для любого n \geq n_{0} и любого m \geq n_{0} справедливо неравенство \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon. Кратко это условие можно записать так: \forall \varepsilon > 0  \exists n_{0}\in \mathbb{N} : \forall n, m \geq n_{0} : \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon.

Дадим эквивалентное определение. Последовательность \left \{ x_{n} \right \} называют фундаментальной, если для каждого \varepsilon > 0 существует такое натуральное число n_{0}, что для любого n\geq n_{0} и для любого натурального p справедливо неравенство \left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon. Кратко это условие можно записать так: \forall \varepsilon > 0  \exists n_{0} : \forall n\geq n_{0} \forall p\in \mathbb{N} : \left | x_{n+p} - x_{n} \right | < \varepsilon.

Докажем, что фундаментальная последовательность является ограниченной. Пусть \varepsilon = 1, тогда согласно условию Коши найдется номер n_{0} такой, что для всех  n \geq n_{0} и для всех m \geq n_{0} выполняется неравенство \left | x_{n} - x_{m} \right | < 1, и, в частности, \left | x_{n} - x_{n_{0}} \right | < 1. Так как \left | x_n \right | = \left | (x_{n}-x_{n_{0}}) + x_{n_{0}} \right |   \leq \left | x_{n_{0}} \right | + \left | x_{n} - x_{n_{0}} \right | < \left | x_{n_{0}} \right | +1 для  всех  n \geq n_{0} , то при всех  n \in \mathbb{N} справедливо неравенство  \left | x_{n} \right | \le C, где  C=\max(\left | x_{1} \right | ,\ldots, \left | x_{n_{0}-1} \right | , \left | x_{n_{0}} \right | +1) . Это означает, что  \left \{ x_{n} \right \} — ограниченная последовательность.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

Теорема (критерий Коши)

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость

Пусть последовательность имеет конечный предел. Положим его равным a. По определению предела  \forall \varepsilon > 0   \exists n_{0} такое, что  \forall k \geq n_{0} и выполняется неравенство  \left | x_{k} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2} . Пусть  k=n, тогда  \left | x_{n} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2} . Пусть k=m, тогда  \left | x_{m} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2} . В силу неравенства для модуля суммы (разности), получаем  \left | x_{n}-x_{m} \right |=\left | (x_{n}-a) - (x_{m}-a) \right | \leq \left | x_{n}-a \right | + \left | x_{m} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon . Следовательно, для любого  n \geq n_{0} и для любого  m \geq n_{0} выполняется неравенство  \left | x_{n}-x_{m} \right | < \varepsilon, т. е. выполняется условие Коши.

Достаточность

Пусть   \left \{ x_{n} \right \} — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности  \forall \varepsilon > 0   \exists n_{\varepsilon} :  \forall n \geq n_{\varepsilon}     \forall m \geq n_{\varepsilon} выполняется неравенство  \left | x_{n} - x_{m} \right | < \frac{\varepsilon}{2}. Так как фундаментальная последовательность  \left \{ x_{n} \right \} является ограниченной, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса, она содержит сходящуюся подпоследовательность  \left \{ x_{n_{k}} \right \} . Пусть ее предел равен a , т. е.  \lim\limits_{ k \to \infty} x_{n_{k}} = a. Покажем, что число a является пределом исходной последовательности  \left \{ x_{n} \right \} . По определению предела :  \forall \varepsilon > 0   \exists k_{\varepsilon} :  \forall k \geq k_{\varepsilon} \rightarrow  \left | x_{n_{k}} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2}. Пусть  N_{\varepsilon} = \max( n_{\varepsilon}, k_{\varepsilon} ). Фиксируем  номер  n_{k} \geq N_{\varepsilon} (такой номер найдется, так как  n_{k} \to \infty при  k \to \infty ). Тогда при  m=n_{k} и при всех  n \geq N_{\varepsilon}  выполняется неравенство  \left | x_{n} - x_{n_{k}} \right | < \frac{\varepsilon}{2}. Из этого следует, что при всех   n \geq N_{\varepsilon} справедливо неравенство:  \left | x_{n}-a \right | = \left | (x_{n}-x_{n_{k}}) + (x_{n_{k}}-a) \right | \leq \left | x_{n}-x_{n_{k}}\right | + \left | x_{n_{k}} - a \right | < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon т. е.  \lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = a.

Пример

Доказать, что последовательность x_{n}=1+ \frac{1}{2} +...+\frac{1}{n} расходится.

Решение показать

Литература

фундаментальные последовательности

Тест на тему «фундаментальные последовательности»:

Фундаментальные последовательности

Фундаментальные последовательности

Последовательность \{x_n\} называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon :\forall n\geq N_\varepsilon\ \forall p\geq N_\varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\leq \varepsilon\ |x_{n+p}-x_n|\rightarrow 0
Определение сходимости последовательности и фундаментальности эквивалентны.

Примеры:
Фундаментальными последовательностями являются:

  • \{x_n\}=\frac{\sin\alpha}{2} + \frac{\sin2\alpha}{2^2} + ... + \frac{\sin n\alpha}{2^n} (можно доказать, используя критерий Коши)
    Доказательство показать
  • \{x_n\}=\{1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , ... , \frac{1}{n}\}
    Доказательство показать
  • \{x_n\}=\frac{3n}{n+1}
    Доказательство показать

Литература: 

Критерий Коши сходимости последовательности

Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство

Необходимость:

Пусть последовательность имеет конечный предел. Докажем, что она является фундаментальной.
Пусть \exists \lim\limits_{n\to\infty}{x_n}=a по определению предела последовательности: \forall \varepsilon >0 \ \exists N_\varepsilon :\forall p\geq N_\varepsilon\ |x_p-a|< \varepsilon

Поскольку \varepsilon произвольное, то мы можем взять вместо него, к примеру, \frac{\varepsilon }{2}:
p=n > N_\varepsilon\ \Bigl|x_n-a\Bigl|<\frac{\varepsilon }{2}
p=m > N_\varepsilon\ \Bigl|x_m-a\Bigl|<\frac{\varepsilon }{2}
\Bigl|x_n-x_m\Bigl|=\Bigl|(x_n-a)+(a-x_m)\Bigl|\leq\underset{\underset{\frac{\varepsilon}{2}}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_n-a\Bigl|}}} + \underset{\underset{\frac{\varepsilon}{2}}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_m-a\Bigl|}}}< \varepsilon
То есть: \Bigl|x_n-x_m\Bigl| < \varepsilon , а значит, \{x_n\}_{n=1}^{\infty} —   фундаментальная по определению.
Необходимость доказана.

Достаточность:

Пусть \{x_n\}_{n=1}^{\infty} — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. Сначала покажем, что \{{x_n\}}^{\infty}_{n=1} — ограничена.
Поскольку \{x_n\}_{n=1}^{\infty} — фундаментальная последовательность, то по определению фундаментальной последовательности:
\forall\varepsilon > 0 \ \exists N_\varepsilon :\forall\ n > N_\varepsilon и \forall\ m >N_\varepsilon  |x_n-x_m| < \varepsilon

Так как \varepsilon произвольное, то возьмем \varepsilon=1 :

\Bigl|x_n\Bigl|=\Bigl|(x_n-x_{N\epsilon})+x_{N\epsilon}\Bigl| \leq\underset{\underset{1}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_n-x_{N\epsilon}\Bigl|}}}+\Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|\leq 1+ \Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|
\forall n \geq N_\varepsilon: |x_n|<(1+|x_{N\epsilon}|)=const=C  \Bigl|x_n\Bigl|\leq C
C=\max\{1+\Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|;\Bigl|x_1\Bigl|,\Bigl|x_2\Bigl|,...,\Bigl|x_{N\varepsilon-1}\Bigl|\} \Rightarrow
\Rightarrow \forall n \epsilon \mathbb{N} : \Bigl|x_n\Bigl|\leq C \Rightarrow
\{x_n\}_{n=1}^{\infty} — ограничена.

По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность \{x_n\}_{n=1}^{\infty} имеет сходящуюся подпоследовательность \{{x_{n_k}\}}^{\infty}_{k=1}

Пусть \lim\limits_{k\rightarrow\infty}{x_{n_k}}=a, покажем, что число $a$ и будет пределом всей последовательности \{{x_n\}}^{\infty}_{n=1}:
Поскольку \{x_n\}_{n=1}^{\infty} фундаментальная:
\forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon : \forall n,m > n_\varepsilon  |x_n-x_m| <\frac{\varepsilon}{2}

Так как \{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} сходящаяся:
\lim\limits_{k\rightarrow\infty}{x_{n_k}}=a : \forall \varepsilon>0\ \exists k_\varepsilon :\forall n_k \geq n_{k_\varepsilon}
|x_{n_k}-a|<\frac{\varepsilon}{2}
\forall \varepsilon>0 : |x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\leq |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|<\varepsilon
Возьмём N_\varepsilon = \max\{n_\varepsilon, n_{k_\varepsilon}\} , тогда:\forall \varepsilon >0\ \exists\ N_\varepsilon : \forall n\geq N_\varepsilon : |x_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

Достаточность доказана.

Пример 1

Докажем, что последовательность x_N=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{N} не является фундаментальной.

Решение показать

Пример 2

Доказать, что последовательность, заданная общим членом x_n=\frac{3n}{n+1} фундаментальная.

Решение показать

Список литературы:

Тест на тему: Критерий Коши сходимости последовательности

Тест на проверку знаний по данной теме