М1737. Параллелограмм в окружности

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 4 выпуск)

Условие

Хорды $AC$ и $BD$ окружности с центром $O$ пересекаются в точке $K$ (рис.$1$). Точки $M$, $N$ — центры окружностей, описанных около треугольников $AKB$ и $CKD$. Докажите, что $OMKN$ — параллелограмм.

А.Заславский

<12>Решение

Пусть $X$ — середина $KB$ (рис.$2$). Тогда $\angle KMX=\displaystyle\frac{1}{2}\angle KMB=\angle KAB=\angle KDC$. Поскольку $MX\bot BD$, то $KM\bot CD$. Так как при этом $ON\bot CD$, то $ON\|KM$. Аналогично, $OM\|KN$. Если точки $O$, $K$, $M$, $N$ не лежат на одной прямой, то $OMKN$ — параллелограмм и $OM=KN$. В противном случае рассмотрим ортогональные проекции отрезков $OM$ и $KN$ на $AC$. Так как точки   $O$, $M$, $N$ проектируются в середины отрезков $AC$, $AK$ и $KC$ соответственно, то проекции обоих параллельных отрезков равны $\displaystyle\frac{KC}{2}$, следовательно, равны и длины самих отрезков.

M706. Задача о равенстве хорд двух окружностей.

Задача из журнала «Квант» (1981 год, выпуск 10)

Условие:

Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.

M706 - Рисунок 1

Доказательство:

Из подобия соответствующих треугольников (см. рисунок 2) легко находим,что каждая хорда имеет длину $ \frac{2Rr}{O_{1}O_{2}}$.

m706 Рисунок 2

Источники:

  1. Условие задачи
  2. Решение задачи

М1604. Задача об опорных хордах многоугольника

Задача из журнала «Квант» (1997, №4)

Условие

Внутри выпуклого многоугольника F расположен второй выпуклый многоугольник G. Хорда многоугольника F — отрезок, концы которого лежат на границе F, — называется опорной к многоугольнику G, если она пересекается с G только по границе: содержит либо одну вершину, либо сторону G. Докажите, что:

  • найдется опорная хорда, середина которой лежит на границе G;
  • найдутся по крайней мере две такие хорды.

Решение

Идею решения можно сформулировать одной фразой. Рассмотрим площади сегментов, отрезаемых от F хордами, опорными к G (рис.1), и выберем среди них наибольшую и наименьшую. Соответствующие хорды касаются G своими серединами.

М1604_1

Рис.1

Изложим теперь решение более подробно. Пусть l\left(\varphi \right) — опорная к G прямая, составляющая угол \varphi с некоторым фиксированным направлением l_{0}. Мы считаем, что l\left(\varphi \right) — направленная прямая, G содержится в её правой полуплоскости; G\left(\varphi \right)=G\bigcap{l\left(\varphi \right)} — одна точка (вершина G) или отрезок (сторона G). Ясно, что для каждого \varphi , 0\leq \varphi <2\pi , прямая l\left(\varphi \right) определена однозначно. Рассмотрим площадь S=S\left(\varphi \right) «сегмента», отрезаемого прямой l\left(\varphi \right) от F, — пересечения F с левой полуплоскостью этой прямой. Очевидно, что S=S\left(\varphi \right) — непрерывная функция от \varphi на отрезке 0\leq \varphi <2\pi , где S\left(2\pi \right)=S\left(0 \right).

Пусть AB — хорда, высекаемая многоугольником F на прямой l\left(\varphi \right), и K — её середина. Докажем, что если K не лежит на границе с G, то в некоторой окрестности \varphi функция S монотонна (возрастает или убывает). Рассмотрим близкую к l\left(\varphi \right) прямую l\left(\varphi +\delta \right) и соответствующую хорду A_{1}B_{1}. При достаточно малом \delta прямая l\left(\varphi +\delta \right) получается из l\left(\varphi \right) поворотом вокруг некоторой точки P\in G\left(\varphi \right), лежащей на границе G, а разность площадей S\left(\varphi +\delta \right)-S\left(\varphi \right) равна разности площадей треугольников APA_{1} и BPB_{1} (рис.2). Если PA<PB, то (при малом \delta ) PA_{1}<PB_{1} и площадь треугольника APA_{1} меньше площади треугольника BPB_{1} (треугольник, симметричный APA_{1} относительно P, лежит внутри BPB_{1}); таким образом, при всех достаточно малых \delta >0 выполнено неравенство S\left(\varphi +\delta \right)<S\left(\varphi \right).

М1604_2

Рис.2

Аналогично, S\left( \varphi \right)<S\left(\varphi -\varepsilon \right) при достаточно малом \varepsilon — прямая l\left(\varphi -\varepsilon \right) получается поворотом l\left(\varphi \right) вокруг точки P'\in G\left(\varphi \right), либо совпадающей с P, либо, во всяком случае, лежащей по ту же сторону от середины K, так что AP'<BP'. Итак, если G\left(\varphi \right) лежит по одну (на рисунке 2 — левую) сторону от K, то в окрестности \varphi функция S убывает. Если G\left(\varphi \right) расположена по другую сторону от K, то в окрестности \varphi функция S возрастает.

Однако непрерывная функция S = S\left(\varphi \right) (принимающая равные значения на концах отрезка \left[0, 2\pi \right]) должна достигать максимума и минимума. По доказанному выше, в этих точках середина хорды K должна лежать в G\left(\varphi \right), т.е. принадлежать границе G.

Н.Васильев