Первая теорема Абеля

Теорема

Если степенной ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$$ сходится при $z=z_0\neq0$, то он сходится, и притом абсолютно, при любом $z$, для которого $\left|z\right|<\left|z_{0}\right|$.

abel

Доказательство

По условию ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится при $z=z_{0}$. Обозначим:
$$K=\left\{z:\left|z\right|<\left|z_{0}\right|\right\}.$$

Положим, что $\rho=\frac{\left|z \right|}{\left|z_{0} \right|}$. Причем так как $\left|z \right|<\left|z_{0} \right|$, то $\rho<1$.

Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ в точке $z_{0}$ следует сходимость числового ряда вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z_{0}^{n}$. Следовательно, выполняется необходимое условие сходимости ряда, а именно: $$\lim\limits_{ n \to 0}a_{n}z_{0}^{n}=0.$$

Тогда последовательность $\left\{a_{n}z_{0}^{n}\right\}$ ограничена, т.е. $$\exists M>0\; \forall n:\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|< M.$$

Имеем следующее: $\left|a_{n}z^{n}\right|=$$\left|a_{n}z^{n}\right|\cdot \left|\frac{z_{0}^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\cdot\frac{z^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|\cdot\left|\frac{z^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|\rho^{n} < M\rho^{n}. $

Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}M\rho^{n}$. Так как мы знаем, что $0\leq\rho<1$, то, в силу необходимого условия сходимости ряда, данный ряд сходится.

Тогда, по признаку сравнения в форме неравенств, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится абсолютно для $\forall z \in K$.

Следствие 1

Если степенной ряд $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$$ расходится при $z=z_{0}\neq0$, то он расходится при любом $z$, для которого $\left|z\right|>\left|z_{0}\right|$.
sledab

Спойлер

Докажем от противного. Пусть ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}_0$ расходится, а ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится. В этом случае, по теореме Абеля, сходится и ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z_{0}^{n}$. Пришли к противоречию.

[свернуть]

Следствие 2

Если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится в точке $z_{0}\neq0$, то в замкнутом круге $K_1=\left\{z:\left|z\right|\leq \vartheta\right\}$, где $\vartheta<\left|z_{0}\right|$ этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Спойлер

Если $z \in K_1$, то $\left|a_{n}z^{n}\right|=$$\left|a_{n}z^{n}\right|\cdot \left|\frac{z_{0}^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\cdot\frac{z^{n}}{z_{0}^{n}}\right|=$$\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|\cdot\left|\frac{z^{n}}{z_{0}^{n}}\right|\leq M\cdot {\left(\frac{\vartheta}{z_{0}}\right)}^{n},$ так как известно, что: $\left|a_{n}z_{0}^{n}\right|<M$, а $\left|z\right|<\vartheta.$

Положим, $p=\frac{\vartheta}{z_{0}}$, причем $0\leq p<1$.

Ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}Mp^{n}$ сходится. Следовательно, по признаку Вейерштрасса ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ сходится абсолютно и равномерно в круге $K_{1}$.

[свернуть]

Литература

Теорема Абеля

Тест на закрепление вышеизложенного материала.


Таблица лучших: Теорема Абеля

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим числовой ряд с бесконечным множеством положительных и бесконечным множеством отрицательных членов. Такой ряд называется знакопеременным рядом.

Запишем произвольный знакопеременный ряд
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_{n}$ $(1)$,
где числа $a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n},…$ являются как положительными, так и отрицательными, причем располагаются они в ряде произвольно. Так же рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
$|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ $(2)$.
Для знакопеременных рядов справедлива следующая Теорема:

Теорема 1

Если ряд $(2)$ сходится, то сходится и ряд $(1)$.

Доказательство

Предположим, что ряд $(2)$ сходится. Обозначим через $S_{n}$ частичную сумму ряда $(1)$, а через $\sigma_{n}$ частичную сумму ряда  $(2)$. Тогда: $S_{n} = a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}$;

$\sigma_{n} = |a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|$. Так как ряд  $(2)$ сходится, то последовательность его частичных сумм ${\sigma_{n}}$ имеет предел $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sigma_{n}=\sigma$, при этом для любого $n$ справедливо неравенство

$\sigma_{n}\leq\sigma$ $(3)$,
Поскольку члены ряда  $(2)$ неотрицательны.
Обозначим через $S{}’_{n}$ сумму положительных членов, а через $S{}»_{n}$ сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме $S_{n}$.
Тогда
$S_{n}=S{}’_{n}-S{}»_{n}$ $(4)$,
$\sigma_{n}=S{}’_{n}+S{}»_{n}$ $(5)$.
Видно, что последовательности ${S{}’_{n}}$ и ${S{}»_{n}}$ не убывают, а из равенства $(5)$ и неравенства $(3)$ следует, что они являются ограниченными: $S{}’_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$ и $S{}»_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$. Следовательно, существуют $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}=S{}’$ и $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}_{n}»=S{}»$. Но в таком случае, в силу равенства $(4)$, последовательность частичных сумм ряда $(1)$ имеет предел
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }(S{}’_{n}-S{}»_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}»_{n}=S{}’-S{}»$.

Это означает, что ряд $(1)$ сходится. $\blacksquare$

Пример 1

Ряд $1-\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{6^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+…$ согласно доказанной Теореме 1 сходится, т. к. сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+…$
Ниже представлен график поведения первых двадцати, составленных из абсолютных величин, членов ряда
Пример 1(абсолют.сход.)
Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходим, т. к. существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так, например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}-1^{n+1}\frac{1}{n}$ согласно признаку Лейбница сходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

Ряд с действительными или комплексными членами $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется абсолютно сходящимся, если сходиться ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$.

Ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется условно сходящимся, если этот ряд сходиться, а ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$ расходиться.

Спойлер

Пример 2

Ряд $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ условно сходящийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин, $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ расходится.
Можно заметить, что свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов имеют некоторые отличия. Так, например, в условно сходящихся рядах, сумма ряда не равна сумме положительных и отрицательных членов ряда, но для абсолютно сходящихся это свойство справедливо, что можно было увидеть при доказательстве Теоремы 1.

[свернуть]

Абсолютная и условная сходимость рядов

Предлагаем Вам пройти тест на тему «Абсолютная и условная сходимость рядов».


Таблица лучших: Абсолютная и условная сходимость рядов

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Введём понятия абсолютно и условно сходящихся несобственных интегралов.

Пусть дан несобственный интеграл [latex]I=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex]:

  • интеграл [latex]I[/latex] называется абсолютно сходящимся, если сходится [latex]\widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx[/latex];
  • интеграл [latex]I[/latex] называется условно сходящимся, если интеграл [latex]I[/latex] сходится, а  [latex]\widetilde{I}[/latex] — расходится.

В случае абсолютной сходимости интеграла [latex]I[/latex] говорят, что функция [latex]f(x)[/latex] абсолютно интегрируема на полусегменте [latex]\left[a,b\right)[/latex].

Пример
Спойлер

sqrtx
Интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\sqrt{x}dx[/latex] расходится при [latex]x\geq1[/latex].
1x2
Интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}[/latex] абсолютно сходится при [latex]x\geq1[/latex].

[свернуть]
Теорема 1

Пусть [latex]f\in{R([a,\xi))}[/latex] для всех [latex]a<\xi<b[/latex]. Тогда из сходимости несобственного интеграла [latex]\widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx[/latex] следует сходимость несобственного интеграла [latex]I=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] и справедливо неравенство:

[latex]\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx[/latex]
Спойлер

Т.к интеграл [latex]\widetilde{I}[/latex] сходится, то для него выполняется условие Коши:

[latex]\forall\varepsilon>0\;\exists\delta_\varepsilon\in (a,b)\forall\xi’,\xi»\in(\delta_\varepsilon,b)\Rightarrow\left|\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|f(x)|dx\right|<\varepsilon.[/latex]

Т.к. [latex]I[/latex] — несобственный интеграл, то подынтегральная функция [latex]f[/latex] интегрируема по Риману на сегменте [latex][\xi’,\xi»][/latex]. Из условия следует, что функция [latex]|f(x)|[/latex] интегрируема по Риману на этом же сегменте.
Т.к. функция интегрируема на каждом отрезке с концами [latex]\xi'[/latex] и [latex]\xi»[/latex], то выполняется неравенство:

[latex]\left|\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)dx\right|\leq\left|\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|f(x)|dx\right|.[/latex]

Отсюда следует, что

[latex]\forall\varepsilon>0\;\exists\delta_\varepsilon\in (a,b)\forall\xi’,\xi»\in(\delta_\varepsilon,b)\Rightarrow\left|\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)dx\right|<\varepsilon.[/latex]

Таким образом, функция [latex]f[/latex] удовлетворяет условию Коши и интеграл [latex]I[/latex] сходится.
Докажем исследуемое неравенство. Воспользуемся следующим  неравенством:

[latex]\left|\int\limits_{a}^{\xi}f(x)dx\right|\leq\int\limits_{a}^{\xi}|f(x)|dx[/latex]

Данное н-во справедливо при любом [latex]\xi\in[a,b)[/latex]. Т.к интегралы [latex]I[/latex] и [latex]\widetilde{I}[/latex] сходятся, то, переходя к пределу при [latex]\xi[/latex] стремящемся к [latex]b[/latex] справа, получим требуемое неравенство.

[свернуть]
Теорема 2

Если функция [latex]g(x)[/latex] абсолютно интегрируема на промежутке [latex]\left[a;b\right)[/latex], то несобственные интегралы [latex]I_{1}=\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] и [latex]I_{2}=\int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx[/latex] сходятся или расходятся одновременно.

Спойлер

Пусть [latex]I=\int_{a}^{b}g(x)dx,\;\widetilde{I}=\int_{a}^{b}|g(x)|dx,\;\widetilde{I}_{1}=\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx,\;\widetilde{I}_{2}=\int_{a}^{b}\left|f(x)+g(x)\right|dx.[/latex]

  1. Из неравенства [latex]\left|f+g\right|\leq\left|f\right|+\left|g\right|[/latex], критерия Коши и сходимости интегралов [latex]\widetilde{I}[/latex] и [latex]\widetilde{I}_{1}[/latex] следует сходимость интеграла [latex]\widetilde{I}_{2}[/latex].
  2. Пусть интеграл [latex]I_{1}[/latex] сходится, а [latex]\widetilde{I}_{1}[/latex] расходится.  Тогда (из сходимости интегралов [latex]I_{1}[/latex] и [latex]I[/latex])  интеграл [latex]I_{2}[/latex] сходится, а [latex]\widetilde{I}_{2}[/latex]  расходится. В противном случае из н-ва [latex]\left|f\right|\leq\left|f+g\right|+\left|g\right|[/latex] и сходимости [latex]\widetilde{I}[/latex] следовала бы сходимость [latex]\widetilde{I}_{1}[/latex]. Аналогично рассматривается ситуация с условной сходимостью интегралов [latex]I_{2}[/latex] и [latex]I_{1}[/latex].
  3. Из расходимости [latex]I_{1}[/latex] следует расходимость [latex]I_{2}[/latex]. Если бы это было не так, то из сходимости [latex]I[/latex]  и равенства [latex]f=\left(f+g\right)-g[/latex] следовала бы сходимость [latex]I_{1}[/latex].

[свернуть]

Замечание

Ни на сходимость, ни на характер сходимости прибавление или вычитание под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функции не влияет.

Пример

В качестве примера, исследуем интеграл на абсолютную и условную сходимость. Возьмём интеграл [latex]I=\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx[/latex].

Спойлер

[latex]I=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx[/latex]

Рассмотрим три ситуации:

  • [latex]\alpha>1[/latex]
  • [latex]0<\alpha\leq1[/latex]
  • [latex]\alpha\leq0[/latex]
  1. Пусть [latex]\alpha>1[/latex]. [latex]\begin{vmatrix}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}\end{vmatrix}\leq\frac{1}{x^\alpha}[/latex], следовательно, в силу сходимости интеграла [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}[/latex], сходится интеграл [latex]\widetilde{I}=\int_{1}^{+\infty}\frac{\left|\sin{x}\right|}{x^\alpha}dx[/latex], т.е. интеграл [latex]I[/latex] сходится абсолютно. Отсюда, по теореме 1, следует сходимость интеграла [latex]I[/latex].
  2. Рассмотрим второй случай. Интегрируя по частям, получим
    [latex]\left.\begin{matrix}I=-\frac{\cos{x}}{x^\alpha}\end{matrix}\right|_{1}^{+\infty}-\alpha\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx[/latex],

    где [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha}}=0[/latex], а [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx[/latex] сходится абсолютно. Следовательно, [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx[/latex] сходится и интеграл [latex]I[/latex] сходится при [latex]0<\alpha\leq1[/latex]. Интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\left|\sin{x}\right|}{x^\alpha}dx[/latex] при [latex]0<\alpha\leq1[/latex] расходится, а значит, что при [latex]0<\alpha\leq1[/latex] интеграл [latex]I[/latex] сходится условно.

  3. Рассмотрим [latex]\alpha\leq0[/latex]. Используя критерий Коши, докажем расходимость интеграла [latex]I[/latex]. Пусть [latex]\delta>1[/latex]. Выберем число [latex]n\in\mathbb{N}[/latex] таким, чтобы [latex]2n\pi>\delta[/latex], и положим
    [latex]\xi’_{\delta}=2n\pi+\frac{\pi}{6},\xi»_{\delta}=2n\pi+\frac{5\pi}{6}[/latex].

    Т.к. при [latex]x\in[\xi’_{\delta};\xi»_{\delta}][/latex] выполняется неравенство [latex]\sin{x}\geq\frac{1}{2}[/latex] и [latex]\frac{1}{x^\alpha}\geq1[/latex] при [latex]x\geq1[/latex] и [latex]\alpha\leq0[/latex], то

    [latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’_{\delta}}^{\xi»_{\delta}}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx\end{vmatrix}=\int\limits_{\frac{\pi}{6}+2n\pi}^{\frac{5\pi}{6}+2n\pi}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx\geq\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi}{6}+2n\pi}^{\frac{5\pi}{6}+2n\pi}dx=\frac{\pi}{3}.[/latex]

    Очевидно, что условие Коши не выполняется и интеграл расходится при [latex]\alpha\leq0[/latex].

Ответ:[latex] I=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx[/latex]:

  • абсолютно сходится при [latex]\alpha>1[/latex];
  • условно сходится при [latex]0<\alpha\leq1[/latex];
  • расходится при [latex]\alpha\leq0[/latex].

[свернуть]
Литература
Тесты

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Проверьте свои знание по теме «Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов».