Для лучшего понимания материала, изложенного ниже, пожалуйста, ознакомьтесь с темой «Ряды Фурье».
Интегральная формула Фурье
Если интервал $\left[ -l,l \right],$ на котором функция $f\left(x\right)$ разлагается в тригонометрический ряд Фурье, неограниченно возрастает, т.е. $l\rightarrow +\infty,$ то ряд Фурье превращается в интеграл Фурье. При переходе к пределу происходит качественный скачок: функция, заданная на любом конечном интервале $\left[ -l,l \right],$ разлагается в ряд «гармонических колебаний», частоты которых образуют дискретную последовательность; функция $f\left(x\right),$ заданная на всей оси $x$ или на полуоси $x,$ разлагается в интеграл, который представляет собой сумму «гармонических колебаний», частоты которых непрерывно заполняют действительную полуось $0\le \lambda \le +\infty .$ Рассмотрим этот предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье.
Замечание. Напомним, что функция $f$ является кусочно-гладкой на отрезке $\left[ a,b \right],$ если:
- $f$ непрерывна во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек ${ x }_{ 1 },\dots ,{ x }_{ n }\in \left(a,b\right).$
- $\forall i=1,\dots ,n \quad \exists f\left({ x }_{ i }\pm 0\right),\quad f\left(a+0\right),\quad f\left(b-0\right).$
- $f$ – дифференцируема во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек ${ x }_{ 1 },\dots ,{ x }_{ n }.$
- $\exists f^{ \prime }\left({ x }_{ i }\pm 0\right).$Пусть $f\left(x\right)$ задана на всей оси $x$ и на каждом конечном отрезке $\left[ -l,l \right],$ является кусочно-гладкой. Тогда, в силу основной теоремы о сходимости тригонометрического ряда Фурье, при любом $l>0$ $$f(x)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \left( { a }_{ k }\cos { \frac { k\pi x }{ l } } +{ b }_{ k }\sin { \frac { k\pi x }{ l } } \right) } ,\quad \left( 1 \right) $$
где $$\left(2\right)\quad \begin{cases} { a }_{ 0 }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right) } d\xi , \\ { a }_{ k }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi \xi }{ l } d\xi , } } \\ { b }_{ k }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\sin { \frac { k\pi \xi }{ l } d\xi . } } \end{cases}$$
Равенство $\left(1\right)$ имеет место, если $x$ — внутренняя точка отрезка $\left[ -l,l \right],$ в которой $f\left(x\right)$ непрерывна; если же $x$ — внутренняя точка этого отрезка, в которой $f\left(x\right)$ разрывна, то в левой части равенства $\left(1\right)$ $f\left(x\right)$ нужно заменить через $\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 }.$
Подставляя выражения $\left(2\right)$ в $\left(1\right),$ получим $$f\left(x\right)=\frac { 1 }{ 2l } \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)d\xi } +\frac { 1 }{ l } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi }{ l } } \left(\xi -x\right)d\xi } }.\quad \left(3\right) $$
Если $f\left(x\right)$ ещё и абсолютно интегрируема на всей оси $x,$ т.е. $$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx } =Q<+\infty, \quad \left(4\right)$$
то при переходе к пределу при $l\rightarrow +\infty$ первое слагаемое в правой части $\left(3\right)$ в силу условия $\left(4\right)$ стремится к нулю. Следовательно, $$f\left(x\right)=\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ l } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi }{ l } } \left(\xi -x\right)d\xi } . } } \quad \left(5\right)$$ Положим $\frac { k\pi }{ l } ={ \lambda }_{ k },$ $\frac { \pi }{ l } ={ \Delta \lambda }_{ k }.$ Тогда $\left(5\right)$ можно переписать в виде $$f\left( x \right) =\lim _{ \begin{matrix} l\rightarrow +\infty \\ \Delta { \lambda }_{ k }\rightarrow 0 \end{matrix} }{ \frac { 1 }{ \pi } } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \Delta { \lambda }_{ k } } \intop_{ -l }^{ l }{ f\left( \xi \right) \cos { { \lambda }_{ k } } \left( \xi -x \right) d\xi }.\quad \left( 6 \right) $$
Будем рассуждать нестрого:- при больших значениях $l$ интеграл $$\intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi }$$ можно заменить интегралом
$$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi },$$ - $$\sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \Delta { \lambda }_{ k } } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi } $$ является интегральной суммой для интеграла $$\intop_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } ,$$ поэтому из $\left(6\right)$ получаем $$f\left(x\right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } , \quad \left(7\right)$$ где в левой части равенства $\left(7\right)$ вместо $f\left(x\right)$ нужно писать $\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 } ,$ если $x$ является точкой разрыва функции $f\left(x\right).$
Равенство $\left(7\right)$ называется интегральной формулой Фурье, а интеграл, стоящий в её правой части, — интегралом Фурье либо двойным интегралом Фурье
Обоснование интегральной формулы Фурье
Равенство $\left(7\right)$ было получено с помощью формальных предельных переходов, которые не были обоснованы.
Вместо того чтобы их обосновать, удобнее непосредственно доказывать справедливость равенства $\left(7\right).$Теорема
Если функция $f\left(x\right),$ кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке оси $x,$ абсолютно интегрируема на всей оси $x,$ т.е. интеграл $\int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx } $ сходится, то $$\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ l }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } } =\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 }.$$
ДоказательствоЗаметим прежде всего, что интеграл $$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { \lambda \left(\xi -x\right)d\xi } },$$ зависящий от параметра $\lambda,$ сходится равномерно по параметру $\lambda$ при $0\le \lambda \le +\infty,$ так как $\left| f\left(\xi \right)\cos { \lambda } \left(\xi -x\right) \right| \le \left| f\left(\xi \right) \right| ,$ а интеграл $\int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(\xi \right) \right| d\xi } $ по условию сходится. Следовательно, можно изменить порядок интегрирования, т.е. записать так:
$$\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ l }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } =$$
$$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ d\xi } \intop_{ 0 }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\lambda } =$$
$$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\frac { \sin { l\left(\xi -x\right) } }{ \xi -x } d\xi } =$$
$$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } ,$$
где $\zeta=\xi-x,$ $d\zeta=d\xi.$ Нам остаётся доказать, что $$\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ 0 }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } } =\frac { f\left(x-0\right) }{ 2 },\quad\left(8\right)$$
$$\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } } =\frac { f\left(x+0\right) }{ 2 }.\quad\left(9\right)$$
При доказательстве мы воспользуемся известным соотношением (см. п. 5 § 2 гл. 10) $$\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } =\frac { 1 }{ 2 } \quad \left(10\right).$$ Докажем, например, справедливость соотношения $\left(9\right).$ В силу равенства $\left(10\right),$ можно записать, что $$\frac { f\left(x+0\right) }{ 2 } =\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(x+0\right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } .$$
Поэтому разность между переменной величиной и предполагаемым пределом в соотношении $\left(9\right)$ будет равна
$${ J }_{ 0,+\infty }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(x+ \zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } -\frac { f\left(x+0\right) }{ 2 } =$$
$$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \left[ f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) \right] \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } .\quad\left(11\right)$$
Таким образом, нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю при $l\rightarrow +\infty.$ Разобьём интервал интегрирования $0\le \zeta <+\infty $ на три:
$0 < \zeta \le\delta ,$ $\quad \delta \le \zeta \le\Delta ,$ $\quad \Delta \le \zeta <+\infty ;$ тогда интеграл $\left(11\right)$ будет представлен в виде суммы трёх интегралов $$ { J }_{ 0,+\infty }={ J }_{ 0,\delta }+{ J }_{ \delta ,\Delta }+{ J }_{ \Delta ,+\infty }. \quad\left(12\right)$$ После этого будем действовать следующим образом. Сначала, задавшись произвольным $\varepsilon >0,$ докажем, что при всех достаточно малых $\delta>0$ и всех достаточно больших $\Delta >\delta$ будут выполняться неравенства $$\left| { J }_{ 0,\delta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 }\quad и \quad \left| { J }_{ \Delta,+\infty } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } \quad \left(13\right)$$ сразу при всех $l\ge 1.$ Затем, фиксировав $\delta$ и $\Delta$ так, чтобы выполнялись неравенства $\left(13\right),$ выберем $l\ge 1$ столь большим, чтобы в силу основной леммы выполнялось неравенство $\left| { J }_{ \delta ,\Delta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } .$ Отсюда, в силу $\left(12\right),$ будет следовать, что $\left| { J }_{ 0,+\infty } \right| <\varepsilon $ при всех достаточно больших $l\ge 1.$ Итак, оценим сначала интеграл $${ J }_{ 0,\delta }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ \delta }{ \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \sin { l\zeta } d\zeta } .$$ При всех достаточно малых $\delta>0$ $$\left| \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \right| <\left| { f }_{ + }^{ \prime }\left(x\right) \right| +1\quad \forall \zeta \in \left(0,\delta \right).$$ Следовательно, $$\left| { J }_{ 0,\delta } \right| <\frac { \delta }{ \pi } \left\{ \left| { f }_{ + }^{ \prime }\left(x\right) \right| +1 \right\} <\frac { \varepsilon }{ 3 } \quad\left(14\right)$$ при всех $\delta <\frac { \varepsilon \pi }{ 3\left\{ \left| { f }_{ + }^{ \prime }\left( x \right) \right| +1 \right\} } $ и при всех значениях $l.$ Оценим, далее, интеграл $${ J }_{ \Delta ,+\infty }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } -\frac { f\left(x+0\right) }{ \pi } \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } .$$ Мы имеем $$\left| { J }_{ \Delta ,+\infty } \right| \le \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ \left| f\left(x+\zeta \right) \right| \frac { d\zeta }{ \zeta } } +\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } \right| \le $$ $$\le \frac { 1 }{ \pi \Delta } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x+\zeta \right) \right| d\zeta } +\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ l\Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } } d{ \zeta }^{ \ast } \right| =$$
$$=\frac { Q }{ \pi \Delta } +\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ l\Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } d{ \zeta }^{ \ast } } \right| ,$$ где ${ \zeta }^{ \ast }=l\zeta. \quad\left(15\right)$ Напомним, что, согласно условию $\left(4\right),$ $Q=\int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx } <\infty,$ поэтому при всех достаточно больших $\Delta>0$ будет $\frac { Q }{ \pi \Delta } <\frac { \varepsilon }{ 6 } $ сразу для всех $l.$ Далее, так как интеграл $\int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } d{ \zeta }^{ \ast } } $ сходится, то при всех достаточно больших $\Delta>0$ и всех $l\ge 1$ $$\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ l\Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } d{ \zeta }^{ \ast } } \right| <\frac { \varepsilon }{ 6 } .$$ Следовательно, в силу $\left(15\right)$ $$\left| { J }_{ \Delta ,+\infty } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } \quad\left(16\right)$$ при всех достаточно больших $\Delta>0$ и всех $l\ge 1.$ Оценим, наконец, интеграл $${ J }_{ \delta ,\Delta }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ \delta }^{ \Delta }{ \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \sin { l\zeta } d\zeta } .$$ Функция $\frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } $ по переменной $\zeta$ является кусочно-гладкой на отрезке $\delta \le \zeta \le \Delta .$ Поэтому, в силу основной леммы, при всех достаточно больших значениях $l\ge1$ будет выполняться неравенство $$\left| { J }_{ \delta ,\Delta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 }. \quad\left(17\right)$$ Сопостовляя $\left(14\right), \left(16\right)$ и $\left(17\right),$ получим, что при всех достаточно больших $l\ge1$ $$\left| { J }_{ 0,+\infty } \right| <\varepsilon ,$$ что и требовалось доказать. $\blacksquare$[свернуть]Замечание. Основная теорема об интеграле Фурье справедлива и при более слабых ограничениях, налагаемых на функцию $f\left(x\right).$ А именно, если абсолютно интегрируемая на всей оси $x$ функция $f\left(x\right)$
- кусочно-непрерывна на каждом конечном отрезке оси $x$
- отношение $\left| \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \right|$ ограничено при любом фиксированном $x$ для всех достаточно малых $\zeta,$ то основная теорема сохраняет силу.
ДоказательствоДействительно, доказательство основной теоремы сводится к оценке трёх интегралов: ${ J }_{ 0,\delta },{ J }_{ \delta ,\Delta },{ J }_{ \Delta ,+\infty }$ для ${ J }_{ 0 ,+\infty }.$ Последний из этих трёх интегралов мал при достаточно большом $\Delta,$ в силу абсолютной интегрируемости $f\left(x\right).$ Интеграл ${ J }_{ 0,\delta }$ мал при всех достаточно малых $\delta>0,$ если отношение $\left| \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \right| $ ограничено при каждом фиксированном $x$ для всех достаточно малых $\zeta>0.$ В интеграле же $${ J }_{ \delta ,\Delta }=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ \delta }^{ \Delta }{ \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \sin { l\zeta } d\zeta } $$ функция $\varphi \left(\zeta \right)= \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } $ кусочно-непрерывна на отрезке $0<\delta \le \zeta \le \Delta $ при любом фиксированном $x.$ Пусть $\left[ a,b \right] $ — какой-либо сегмент, на котором $\varphi \left(\zeta \right)$ непрерывна, и пусть дано какое угодно $\varepsilon>0.$ Построим такую кусочно-гладкую функцию ${ g }_{ \varepsilon }\left(x\right)$ (как при доказательстве первой теоремы Вейерштрасса), чтобы выполнялось неравенство $$\left| \varphi \left(\zeta \right)-{ g }_{ \varepsilon }\left(\zeta\right) \right| <\frac { \varepsilon }{ 2\left(b-a\right) },\quad 0<\delta \le \zeta \le \Delta .$$ Но тогда $$\left| \int _{ a }^{ b }{ \varphi \left(\zeta \right)\sin { l\zeta } d\zeta } \right| \le \intop _{ a }^{ b }{ \left| \varphi \left(\zeta \right)-{ g }_{ \varepsilon }\left(\zeta\right) \right| d\zeta } +$$ $$+\left| \intop _{ a }^{ b }{ { g }_{ \varepsilon }\left(\zeta \right)\sin { l\zeta } d\zeta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 2 } +\frac { \varepsilon }{ 2 } =\varepsilon \quad $$ при всех достаточно больших $l\ge0,$ так как для кусочно-гладкой функции ${ g }_{ \varepsilon }\left(x\right)$ справедлива основная лемма. Разбивая интеграл $ { J }_{ \delta ,\Delta }$ на интервалы по сегментам непрерывности $\varphi \left(\zeta \right),$ получаем, что ${ J }_{ \delta ,\Delta }\rightarrow 0$ при $l\rightarrow +\infty,$ чем и завершается доказательство теоремы.
[свернуть]Литература
- Будак Б. М., Фомин С. В. Курс высшей математики и математической физики — Кратные интегралы и ряды, М., «Наука», 1965, стр 510-516
- Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу — 13-е издание, исправленное, — М.: Издательство Московского университета, 1997, стр 404-405
- Лысенко З. М. Конспект лекций по курсу математического анализа (I курс)
Тестирование. Интеграл Фурье
После прочтения материала настоятельно рекомендую попробовать силы в несложных тестах для закрепления материала.
Желаю успехов! - при больших значениях $l$ интеграл $$\intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi }$$ можно заменить интегралом
