Множество вещественных чисел

Всякую дробь вида $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{n}…$, где $latex a_{0} $ — целое неотрицательное число, а $latex a_{i} $ — десятичные знаки $latex (0,1,2,3,4,…,9) $ назовём вещественным (или действительным) числом.

(если перед дробью стоит $latex +$, то его опускают)

Множество таких чисел называют множеством вещественных чисел и обозначают $latex \mathbb{R} $.

Если дробь $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ является периодической, то её называют рациональным числом, а если она непериодическая дробь, то это число иррациональное.

Например: $latex x^{2}=2 $

$latex x=\pm\sqrt{2}=1,41421… $

$latex x$ — иррациональное число.

$latex \mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} $

$latex \mathbb{R}-\mathbb{Q} $ — множество иррациональных чисел.

Сравнение вещественных чисел

1.Пусть $latex \alpha$ и $latex \beta $ — неотрицательные вещественные числа.

$latex \alpha = a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}… $;   $latex \beta = b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}… $;

$latex \alpha = \beta $ $latex \Leftrightarrow$ $latex a_{k}=b_{k} $, $latex k=0,1,2,… $

$latex \alpha < \beta $, либо когда $latex a_{0} < b_{0} $, либо если $latex a_{0} = b_{0}$ и $latex \exists n:a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{n-1}=b_{n-1}; a_{n}<b_{n} $.

2. Пусть $latex \alpha$ — неотрицательное и $latex \beta $ — отрицательное, тогда $latex \alpha > \beta $.

3. Пусть $latex \alpha$ и $latex \beta $ — отрицательные, тогда

$latex \alpha = \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |=\left | \beta \right |$;

$latex \alpha < \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |>\left | \beta \right |$,

где $latex \left | \alpha \right |=\left | \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}… \right |=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$; $latex \left | \beta \right |=\left | \pm b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}… \right |=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}…$

Приближение вещественных чисел рациональными числами

Покажем, что любое вещественное число можно приблизить с любой степенью точности рациональными числами.

Возьмём вещественное число $latex a=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \ldots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \ldots$

Обрывая эту дробь на $latex n$-ном знаке после запятой получим рациональное число:
$latex {a}’=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0)$
Из правила сравнения вещественных чисел видно, что для $latex \forall n \in \mathbb{R}:$
$latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0) <$ $latex \underbrace{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \cdots}_{a}<$ $latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}+\frac{1}{10^{n}}$
Это неравенство значит, что число $latex a$ заключено между рациональными числами, разность между которыми равна  $latex \frac{1}{10^{n}}$.

$latex \frac{1}{10^{n}}<\varepsilon$;  $latex \varepsilon-$ фиксируемое  $latex \Rightarrow 1<\varepsilon 10^{n}$  $latex \Rightarrow \frac{1}{\varepsilon}<10^{n} \Rightarrow$  $latex n> \lg \frac{1}{\varepsilon}.$

Возьмём, например   $latex \varepsilon= \frac{1}{10^{3}}$.

Получаем   $latex n>\lg 10^{3} \Rightarrow n>3$.

Вывод: для любого вещественного вещественного числа $latex a$ и для любой наперёд заданной точности $latex \varepsilon$  существуют $latex \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{Q}$  такие, что  $latex \alpha_{1} \leq a \leq \alpha_{2}.$    $latex \alpha_{2}-\alpha_{1}<\varepsilon$.

Лемма

Если $latex \alpha$ и $latex \beta $ — вещественные числа. $latex \alpha ,\beta \in\mathbb{R}(\alpha < \beta )$, то $latex \exists r \in\mathbb{Q}:\alpha <r<\beta$.
$latex \square$ $latex 1) $ Если $latex \alpha$ и $latex \beta $ — рациональные, то $latex r=\frac{\alpha +\beta }{2}$.
$latex 1) $ Если одно из чисел $latex \alpha$ и $latex \beta $ иррациональное.
Допустим $latex \beta $ — иррациональное, тогда $latex \beta $ — бесконечная непереодическая дробь. Допустим $latex \alpha > 0 \Rightarrow \beta > 0$ (так как $latex \alpha < \beta $), тогда существует номер $latex p$, такой что $latex a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{p-1}=b_{p-1}$,   $latex a_{p}<b_{p}$.
Так как $latex \beta $ — иррациональное, то оно не может быть конечной десятичной дробью с периодом $latex «0»$. Поэтому существует номер больше $latex p$. Например $latex p+n$, такой что $latex b_{p+n}>0$.
Имеем $latex r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{p-1}b_{p}…b_{p+n-1}(0)$.
Получили число $latex r$, такое что $latex \alpha<r<\beta$.  $latex \blacksquare$

Аксиомы действительных чисел

Множеством $latex \mathbb{R} $ называется множество, на котором выполняются следующие условия:

$latex 1)$ Во множестве $latex \mathbb{R}$ определена операция «сложение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto a+b\in\mathbb{R}$
 a. $latex a+b=b+a$ (сложение коммутативно);
 b. $latex (a+b)+c=a+(b+c)$ (сложение ассоциативно);
 с. $latex \exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in\mathbb{R}:a+0=a$ (наличие нейтрального элемента);
 d. $latex \forall a\in\mathbb{R}$   $latex \exists «-a»:a+(-a)=0$ (наличие противоположного элемента).
Число $latex a+(-b)$ называется разностью чисел $latex a$ и $latex b$ и обозначаются $latex a-b$.

$latex 2)$ В $latex \mathbb{R}$ определена операция «умножение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto ab\in\mathbb{R}$
а. $latex ab=ba$ (коммутативность умножения);
b. $latex a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения);
с. $latex \exists 1\in\mathbb{R}: \forall a\in\mathbb{R}: a*1=a$ (наличие нейтрального элемента);
d. $latex \forall a\neq 0:\exists a^{-1}\in\mathbb{R}:a*a^{-1}=1$ (наличие противоположного элемента).
$latex a*b^{-1}$ — частное деление $latex a$ на $latex b$ и обозначается   $latex \frac{a}{b}$  или  $latex a:b$.

$latex 3)$ Выполняется дистрибутивный закон (связь сложения и умножения):
$latex \forall a,b,c\in \mathbb{R}: a(b+c)=ab+ac$.
$latex 4)$ $latex \forall a\in \mathbb{R}: a<0$ либо $latex a=0$, либо $latex a>0$.

При этом, если $latex a>0$ и  $latex b>0$ $latex \Rightarrow$  $latex a+b>0$,   $latex ab>0$.

Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.

Если $latex a-b>0$, то пишут $latex a>b$;

Если $latex a-b<0$, то пишут $latex a<b$;

Если $latex a-b=0$, то пишут $latex a=b$.

Для множеств:
Для $latex A,B \subset \mathbb{R}$
Запись $latex A \leq B$  означает, что  $latex \forall a \in A, \forall b \in B: a \leq b$.
Если  $latex A= \left \{a \right \}$ (множество из одного элемента)  и  $latex A \leq B$,  то  $latex a \leq B$.
Непрерывность множества $latex \mathbb{R}$ заключается в том, что в $latex \mathbb{R}$  нет «щелей», а именно справедлива:

Аксиома непрерывности

$latex \forall A,B \subset \mathbb{R} (A \neq \varnothing, B \neq \varnothing ):$ $latex a \leq b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R} :$ $latex a \leq c \leq b$.
Неравенство Бернулли
Пусть $latex x\in \mathbb{R}, x\geq 1, n\in \mathbb{N}$. Тогда
$latex \left ( 1+x \right )^{n} \geq 1+nx$
Доказательство:
Если n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно выполняется при $latex n \in \mathbb{N}$. Докажем его справедливость при $latex n+1 \in \mathbb{N}$. Действительно:

$latex \left ( 1+x \right )^{n+1}=$ $latex \left ( 1+x \right )^{n}\left ( 1+x \right )\geq \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )$;

$latex \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )=$ $latex 1+\left ( n+1 \right )x+nx^{2}\geq 1+\left ( n+1 \right )x$.

Что и требовалось доказать. $latex \blacksquare$

Вступление в теорию действительных чисел

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Множеством вещественных чисел является множество:

   • $$ \mathbb{N} $$
   • $$ \mathbb{Q} $$
   • $$ \mathbb{Z} $$
   • $$ \mathbb{R} $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Какова разность между числами 2,(8) и 2,(7)?
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   В множестве вещественных чисел коммутативными являются операции:

   • сложение
   • вычитание
   • умножение
   • частное деление
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Вещественное число представляется в виде:

   • $$ a_0,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}... $$
   • $$ a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n} $$
   • $$ \frac{a}{b} $$
   • $$ a_{0}a_{1}a_{2}... $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Отсортируйте по возрастанию числа:

   • 3,2
   • 3,21032134....
   • 3,21345...
   • 3,2(4)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. З.М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.
2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.2.
3. В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40 (скачать учебник можно здесь).

Подробнее о вещественных числах на:

Wikipedia

matica.org.ua