Пусть число $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {R}$. Тогда обозначим через $q_1$ наибольшее целое число, меньшее $x$. Если $x$ не целое число, то мы получим равенство вида $\displaystyle x = q_1 + \frac{1}{x_1}$, так как дробь $\displaystyle \frac{1}{x_1} < 1$, то $ x_1>1 $, и тогда аналогично для $x_1$ находим такое целое $q_2 < x_1$, получаем $\displaystyle x_1 = q_2 + \frac{1}{x_2}$, возвращаясь к первому равенству $\displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2 + \frac{1}{x_2}}$. Продолжая этот процесс будем получать представления последующих $\displaystyle x_k:$ $$x_2 = q_3 + \frac{1}{x_3}, $$ $$x_3 = q_4 + \frac{1}{x_4},$$ $$\ldots$$ $$x_i = q_{i+1} + \frac{1}{x_{i+1}},$$ $$\ldots$$
В итоге и получим непрерывную дробь: $$\usepackage{amsmath} \begin{multline*} \displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2+ \frac{1}{q_3+\cdots}} \\ \ddots \\ \cdots + \frac{1}{\displaystyle q_{n-1} + \frac{1}{\displaystyle q_{n}+\frac{1}{x_n}}}.
\end{multline*}$$
Далее, нам стоит рассмотреть два случая: первый — $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {Q}$, т. е. $x$ — рациональное число и второй — $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, т. е. $x$ — иррациональное число. Почему важны именно эти случаи?
По определению, рациональное число представимо в виде несократимой дроби $\displaystyle \frac{m}{n}$, где $\usepackage{amsfonts} m \in \mathbb {Z}, \; n \in \mathbb {N}$, а, значит, и разложение, представленное сверху, должно быть конечным и, более того, может быть получено благодаря алгоритму Евклида.
С иррациональным числом получим ситуацию обратную — процесс можно будет продолжать неограниченно долго т. к. на каждом этапе $x_i$ будет иррационально.
Пусть $x_i$ — иррационально, тогда $$\displaystyle x_i = q_{i+1} + \frac{1}{x_{i+1}},$$ сумма $\displaystyle q_{i+1} + \frac{1}{x_{i+1}}$ — иррациональна, однако $q_{i+1}$ является целым по определению, которое мы дали ему выше $\Rightarrow$ дробь $\displaystyle \frac{1}{x_{i+1}}$ должна быть иррациональной. А это означает, что и $x_{i+1}$ — иррациональное число.
Т. е. получаем, что иррациональность $x_i$ влечёт за собой иррациональность $x_{i+1}$, а т. к. изначальное число $x$ — иррационально, то и все $x_j,$ при $j = 1,2,3 \ldots$ — иррациональны.
Как было упомянуто ранее, если $\usepackage{amsfonts} x \in \mathbb {Q}$, то его разложение в непрерывную дробь можно получить с помощью алгоритма Евклида.
Перед описанием алгоритма стоит ввести понятие неполного частного — это целые числа вида $q_i, \; i = \overline{1,n}$.
Опишем сам алгоритм:
Суть алгоритма заключается в том, что на каждом шаге мы будем непосредственно получать одно из неполных частных — $q_i$, а также отношение $\displaystyle \frac{r_{i}}{r_{i-1}}$ (начиная со второго шага).
Пусть нам задано рациональное число, тогда его можно записать в виде несократимой дроби $\displaystyle \frac{m}{n}$, где $\usepackage{amsfonts} m \in \mathbb {Z}, \; n \in \mathbb {N}$. Тогда, первый шаг: $$m=nq_1 + r_1 \Rightarrow \displaystyle \frac{m}{n} = q_1 + \frac{1}{\displaystyle \frac{m}{r_1}},$$ узнали значение $q_1$, а так же получили возможность вычислить значение $r_1$. Второй шаг: $$n = r_1q_2+r_2 \Rightarrow \displaystyle \frac{n}{r_1} = q_2 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_1}{r_2}},$$ узнали значение $q_2$, а так же получили возможность вычислить значение $r_2$. Продолжая алгоритм далее: $$r_1 = r_2q_3+r_3 \Rightarrow \displaystyle \frac{r_1}{r_2} = q_3 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_2}{r_3}}, \\ r_2 = r_3q_4+r_4 \Rightarrow \frac{r_2}{r_3} = q_4 + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_3}{r_4}},\\ \cdots \\r_{n-2} = r_{n-1}q_n+r_n \Rightarrow \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}} = q_n + \frac{1}{\displaystyle \frac{r_{n-1}}{r_n}}, \\ r_{n-1} = r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n} = q_{n+1}.$$ Заканчиваем алгоритм тогда, когда получим, что очередная дробь $\displaystyle \frac{r_{i-1}}{r_{i}}$ будет целым числом и, соответственно, $q_{i+1}$ будет полным частным.
Так как найдены все неполные частные, то дробь $\displaystyle \frac{m}{n}$ можно представить в виде: $$\usepackage{amsmath} \begin{multline*} \displaystyle x = q_1 + \frac{1}{\displaystyle q_2+ \frac{1}{q_3+\cdots}} \\ \ddots \\ \cdots + \frac{1}{\displaystyle q_{n-1} + \frac{1}{\displaystyle q_{n}+\frac{1}{q_{n+1}}}}.
\end{multline*}$$
С помощью алгоритма Евклида есть возможность найти разложение в непрерывную дробь, однако, иногда промежуточные результаты важнее конечного, а именно: $$\displaystyle \delta_1 = q_1, \; \delta_2 = q_1 + \frac{1}{q_2}, \; \delta_3 = q1 + \frac{1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}}, \; \ldots$$ $\delta_i$ называются подходящими дробями. Несложно заметить зависимость $\delta_{i+1}$ от $\delta_i$ — если в записи $\delta_i $ число $ q_i$ заменить на сумму $\displaystyle q_i + \frac{1}{q_{i+1}}$, то мы получим $\delta_{i+1}.$
Подходящие дроби будут нас интересовать тем, что они образуют последовательность, которая приближается к изначальному числу. Понятно, что зная все неполные частные (после применения алгоритма Евклида) можно вычислить значения всех подходящих дробей, однако, это не очень удобно и долго.
Введем специальные обозначения для нахождения значений подходящих дробей: $\displaystyle \delta_i = \frac{P_i}{Q_i}$. При этом положим, что $P_0=1, \; P_1 = q_1$ и $Q_0=0, \; Q_1 = 1$. Так же стоит отметить, что в силу того, что для рационального числа $\displaystyle x = \frac{m}{n} $ непрерывная дробь конечна, то и количество подходящих дробей будет конечно, а это означает что существует равенство $\displaystyle \frac{m}{n} = \frac{P_i}{Q-i}$. А так как подходящие дроби так же являются несократимыми, то равенство можно упростить до $m = P_i$ и $n = Q_i$. Тогда получим, что: $$\displaystyle \delta_1 = \frac{q_1}{1} = \frac{P_1}{Q_1}, $$ $$ \delta_2 = q_1 + \frac{1}{q_2} = \frac{q_2 q_1+1}{q_2 \cdot 1 + 0} = \frac{q_2 P_1+P_0}{q_2 Q_1 + Q_0} = \frac{P_2}{Q_2}, $$ $$ \delta_3 = q1 + \frac{1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}} = \frac{q_1 \left( q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3} \right) +1}{q_2 + \displaystyle \frac{1}{q_3}} = \frac{q_1 \left( q_2 q_3 + 1\right)+q_3}{q_2 q_3 +1} = $$ $$ = \frac{q_1 q_2 q_3 + q_1 +q_3}{q_2 q_3} = \frac{q_3 \left( q_1 q_2 + 1 \right) + q_1}{q_3 q_2 + 1} = \frac {q_3 P_2 + P_1}{q_3 Q_2 + Q_1}.$$
Несложно заметить рекуррентное выражение для $\displaystyle \frac{P_i}{Q_i}$: $$P_i = q_i P_{i-1} + P_{i-2} \\ Q_i = q_i Q_{i-1} + Q_{i-2}. $$ Докажем это с помощью математической индукции.
База индукции: $\delta_3 = \displaystyle \frac{P_3}{Q_3} = \frac{q_3 P_2 + P_1}{q_3 Q_2 + Q_1}$.
Предположим, что $\delta_k = \displaystyle \frac{P_k}{Q_k} =\frac{q_k P_{k-1} + P_{k-2}}{q_k Q_{k-1} + Q_{k-2}}$.
Тогда: $$\delta_{k+1} = \frac{\displaystyle \left(q_k + \frac{1}{q_{k+1}} \right) P_{k-1} + P_{k-2} }{\displaystyle \left(q_k + \frac{1}{q_{k+1}} \right) Q_{k-1} + Q_{k-2}} = \frac {\displaystyle \frac{P_{k-1}}{q_{k+1}} + q_k P_{k-1} + P_{k-2}}{\displaystyle \frac{Q_{k-1}}{q_{k+1}} + q_k Q_{k-1} + Q_{k-2}} = $$ (выполним замену по предположению индукции) $$\displaystyle = \frac{\displaystyle \frac{P_{k-1}}{q_{k+1}} + P_k}{\displaystyle \frac{Q_{k-1}}{q_{k+1}} + Q_k} = \frac{P_{k-1} + P_k q_{k+1}}{Q_{k-1} + Q_k q_{k+1}} = \frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}},$$ что и требовалось доказать.
Имеет место следующее свойство подходящих дробей:
Лемма. При $n > 0$ имеет место равенство $P_n Q_{n-1} — P_{n-1}Q_n = (-1)^n$.
Проверим значение левой части при $n = 1$, получим: $$P_1 Q_0 — P_0 Q_1 = -1,$$ далее вычислим значение левой части при увеличении индекса на 1, т. е. при $n+1,$ получим: $$ P_{n+1} Q_n — P_n Q_{n+1} = \left( q_{n+1} P_n + P_{n-1} \right) Q_n — P_n \left( q_{n+1} Q_n + Q_{n-1} \right) = \\ = P_{n-1} Q_n — P_{n} Q_{n-1}, $$ получили выражение противоположное заданному в условии. А, значит, при изменении индекса на единицу меняется и знак выражения, а т. к. первое значение $-1$, то и получаем требуемое.
Примеры решения задач
Рассмотрим примеры задач в которых могут быть использованы непрерывные дроби. Рекомендуется сначала решать примеры самому, а только затем сверить решение с представленным ниже.
- Разложить число $\displaystyle x = \frac{89}{13}$ в непрерывную дробь.
Решение
Применяя алгоритм Евклида получим: $$ 89 = 13 \cdot 6 + 11, \; q_1 = 6;$$ $$13 = 11 \cdot 1 + 2, \; q_2 = 1; $$ $$11 = 2 \cdot 5 + 1, \; q_3 = 5;$$ $$2 = 1 \cdot 2, \; q_4 = 2.$$ Нашли все $q_i \Rightarrow$ можем записать $x$ как непрерывную дробь: $$\displaystyle x = 6 + \frac{1}{\displaystyle 1 + \frac{1}{\displaystyle 5 + \frac{1}{2}}}$$
- Найти все подходящие дроби числа $\displaystyle x = \frac{127}{19}$.
Решение
Для этого используем рекуррентные формулы подходящих дробей. Воспользуемся алгоритмом Евклида для поиска всех $q_i$: $$ 127 = 19 \cdot 6 + 13, \; q_1 = 6;$$ $$19 = 13 \cdot 1 + 6, \; q_2 = 1; $$ $$13 = 6 \cdot 2 + 1, \; q_3 = 2;$$ $$6 = 1 \cdot 6, \; q_4 = 6.$$
Далее будем выписывать подходящие дроби в порядке возрастания индекса: $$\displaystyle \delta_1 =\frac{q_1}{1} = \frac{6}{1}$$ $$\displaystyle \delta_2 =\frac{q_2 P_1 + P_0}{q_2 Q_1 + Q_0} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{1 \cdot 1 + 0} = \frac{7}{1},$$ продолжая расчеты получим: $$\displaystyle \delta_3 = \frac{2 \cdot 7 + 6}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{20}{3}$$ и, наконец, $$\displaystyle \delta_4 = \frac{6 \cdot 20 + 7}{6 \cdot 3 + 1} = \frac{127}{19} = x,$$как и ожидалось четвертая подходящая дробь равна заданному числу, т. к. максимальный индекс $q_i$ был равен четырём.
- Разложить в непрерывную дробь иррациональное число $\sqrt{7}$.
Решение
Для этого воспользуемся разложением, которое было представлено в теме первым. А именно
$$\displaystyle x_0 = \sqrt{7} = q_1 + \frac{1}{x_1} = 2 + \left( \sqrt{7} — 2 \right)$$ $$\displaystyle \frac{1}{x_1} = \sqrt{7} — 2 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{\sqrt{7}-2} = \frac{\sqrt{7}+2}{3} = 1 + \frac{\sqrt{7}-1}{3} = 1 + \frac{1}{x_2},$$ $$\displaystyle x_2 = \frac{3}{\sqrt{7}-1} = \frac{3 \left( \sqrt{7} + 1 \right) }{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{2} = 1 + \frac{\sqrt{7} — 1}{2} = 1 + \frac{1}{x_3},$$ $$\displaystyle x_3 = \frac{2}{\sqrt{7}-1} = \frac{2 \left( \sqrt{7} + 1 \right) }{6} = \frac{\sqrt{7}+1}{3} = 1 + \frac{\sqrt{7} — 2}{3} = 1 + \frac{1}{x_4},$$ $$\displaystyle x_4 = \frac{3}{\sqrt{7} — 2} = \frac{3 \left(\sqrt{7} + 2 \right) }{3} = \sqrt{7} + 2 = 4 + \left( \sqrt{7} — 2 \right).$$
Однако, слагаемое вида $\sqrt{7} — 2$ у нас уже было, а значит мы пришли к циклу. Выпишем все неполные частные, они же — целые части дробей. Получим: $\sqrt{7} = \left[2,\: \overline{1, \: 1, \: 1, \: 4} \right]$ — часть чисел находятся под чертой т. к. они находятся в цикле.
- Восстановить по заданным $q_i = \left[10, \: 4, \: 3, \: 2, \: 4 \right]$ рациональное число $x$.
Решение
Для этого воспользуемся разложением, полученным в результате алгоритма Евклида:
Получим дробь: $$10 + \frac{1}{\displaystyle 4 + \frac{1}{\displaystyle 3 + \frac{1}{\displaystyle 2 + \frac{1}{4}}}},$$ её значением и будет искомым $x$. Посчитав значение этой дроби получим, что $\displaystyle x = \frac{1361}{133}.$
- Восстановить по заданным $q_i = \left[\overline{2, \: 9} \right]$ иррациональное число $x$.
Решение
Так как число $x$ — иррациональное, то его непрерывная дробь будет бесконечной, поэтому воспользоваться методом из предыдущего примера не получится. Однако, так как мы видим по данным $q_i$, что дробь зацикливается, то можем записать следующие выражение: $$\displaystyle x = 2 + \frac{1}{\displaystyle 9 + \frac{1}{x}}$$ приведем дробь к квадратному уравнению: $$9x^2 — 18x + 2 = 0,$$ $$D = 324 + 72 = 396, \;
\displaystyle x_{1,2} = 1 \pm \frac{\sqrt{396}}{18}.$$ Т. к. целая часть числа равна 2, то вариант $\displaystyle x = 1-\frac{\sqrt{396}}{18}$ можно отбросить. И окончательный ответ: $$\displaystyle x = 1 + \frac{\sqrt{396}}{18}$$
Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах
Тест на знание темы «Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах».
Смотрите также
- Виноградов И.М. Основы теории чисел. cтр. 14-18
- Арнольд В.И. Цепные дроби.
- Теоретические материалы основанные на конспекте и лекциях Белозерова Г.С.
