Определение

Пусть $G\ne \varnothing$, $»*»$ — БАО на $G.$ Тогда $(G, *)$ называется группой, если выполняются следующие три аксиомы.

• 1. Ассоциативность. $\forall a, b, c\in G~$ $~ (a*b)*c=$$a*(b*c).$
• 2. Нейтральный элемент. $\exists e\in G ,\forall a\in G~a*e=$$e*a=a.$
• 3. Симметрический элемент. $\forall a\in G,\exists a^{‘}\in G$$ a*a^{‘}=a^{‘}*a=e.$

Если, кроме этих трех условий выполняется условие коммутативности $\forall a, b \in G~a*b=b*a,$ то такая группа называется абелевой.

Примеры

• 1.) $(\mathbb Z, +), (\mathbb Q^{*}, +),(\mathbb R, +)$ — аддитивные группы (по сложению всякое кольцо является абелевой группой).
• 2.) $(\mathbb Q^{*}, \cdot), (\mathbb R^{+}, \cdot),(\mathbb R^{*}, \cdot)$ — мультипликативные группы(совокупность отличных от нуля элементов любого поля является абелевой группой).
• 3.) $ (\mathbb C_{[-1;1]}, +) $ — множество непрерывных вещественных функций определенных на $[-1;1].$
• 4.) $(\mathbb R^{2}, +), (a, b)+(c, d)=$$(a+c, b+d).$
• 5.) $G_{2n},$ где $n$ — простое. Возможно по крайней мере 2 группы: Циклическая группа $ C_{2n}$ и диэдр $D_{n}$

Простейшие следствия из аксиом

• 1. Нейтральный элемент — единственный.

Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists e^{‘},$ так как $e^{‘}$ — нейтральный элемент, то $e^{‘}e=e^{‘}$, но $e$ тоже нейтральный элемент, а значит $e^{‘}e=e \Longrightarrow e=e^{‘}. $

• 2. $\forall a\in G~ \exists! a^{‘},a^{‘}a=e$

Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists a^{»},a^{»}a=aa^{»}=e,$$ a^{‘}a=aa^{‘}=e,$$ a^{‘}aa^{»}=(a^{‘}a)a^{»}=ea^{»}=a^{»},$ $a^{‘}(aa^{»})=a^{‘}e=a^{‘} \Longrightarrow $$a^{‘}=a^{»} $

• 3. $a*x=b,(x*b=a)$, решение единственно.

Доказательство.

Единственность.

$x_{0}$ — решение. $ax_{0}=b, a^{‘}(ax_{0})=a^{‘}b,$$ (a^{‘}a)x_{0}=a^{‘}b$, $ex_{0}=a^{‘}b, x_{0}=a^{‘}b$

Существование.

$x_{0}=a^{‘}b, a(a^{‘}b)=$$(aa^{‘})b=eb=b$

• 4. $(a^{‘})^{‘}=a, \forall a\in G$

Доказательство. По третьей аксиоме $a^{‘}(a^{‘})^{‘}=e, a^{‘}a=e \Longrightarrow$
$a^{‘}(a^{‘})^{‘}=a^{‘}a\Longrightarrow (a^{‘})^{‘}=a$.

• 5. $(ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

Доказательство.
$(ab)(ab)^{‘}=e, aa^{‘}=e$, $bb^{‘}=e \Longrightarrow (aa^{‘})(bb^{‘})=$$(bb^{‘})(aa^{‘})=ee \Longrightarrow $$ (bb^{‘})(aa^{‘})=e \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(bb^{‘})(aa^{‘}) \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(ab)b^{‘}a^{‘} \Longrightarrow$$ (ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

• 6. $\forall n\in \mathbb N$$ a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

Доказательство.

База индукции.

$a^{1}=a$.

Предположение индукции.

Пусть $n=k, a^{k}=\underset{k}{\underbrace{aa..a}}.$

Шаг индукции.

Пусть $n=k+1, a^{k}a^{1}=a(aa..a),$ $a^{k+1}=\underset{k+1}{\underbrace{aa..a}}$.

• 7. $\forall n, m\in \mathbb N, a^{n}a^{m}=a^{n+m}$

Доказательство.

$a^{m}=\underset{m}{\underbrace{aa..a}}, a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

$a^{n}a^{m}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}} \cdot \underset{m}{\underbrace{aa..a}} \Longrightarrow$ $a^{n}a^{m}=\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}$, $\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}=a^{n+m} \Longrightarrow$ $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$

• 8. $\forall n, m\in \mathbb N, (a^{n})^{m}=a^{nm}$

Доказательство.

$(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)^{m}}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n\cdot m}{\underbrace{(aa..a)}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}\cdot \underset{m}{\underbrace{(aa..a)}} $

$\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{n}$, $\underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{m} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=a^{n}a^{m}$

• 9. $\forall n\in \mathbb N, (a^{n})^{‘}=(a^{‘})^{n}$

Доказательство.

$a^{n}(a^{n})^{‘}=e, (a^{‘})^{n}=$$\underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}},$

$\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}} \cdot \underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=a^{n}(a^{n})^{‘} \Longrightarrow$ $(a^{‘})^{n}=(a^{n})^{‘}.$
Литература

• Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии.
• Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 23-27.
• Курс высшей алгебры. Курош. А. Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968 год, стр. 395-396.
• http://timinva.narod.ru/m0312.htm#_Toc321326178

Тесты

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 1

   Заполните пропуск.

   • Если, кроме трёх аксиом группы выполняется условие (коммутативности, коммутативность, Коммутативность, Коммутативности), то такая группа называется абелева
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 1

   
   Какие следующие множества являются группами.

   • $$(\mathbb Z, +)$$
   • $$(\mathbb R^{2}, +)$$
   • $$(\mathbb C_{ [ -1;1] }, +)$$
   • $$(\mathbb N, \cdot)$$
   • $$(\mathbb Z, \cdot)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Основными свойствами бинарных алгебраических операций являются:

Коммутативность (переместительность)

Свойство бинарной алгебраической операции $ \circ ,$ при котором выполняется условие: $ \forall \ x,y \in \mathbb{P}: $ $ (x\circ y)=(y\circ x) ,$ где $ \mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.

Ассоциативность (сочетательность)

Свойство бинарной алгебраической операции $ \circ ,$ при котором выполняется условие: $ \forall \ x,y,z \in \mathbb{P}: $ $ (x\circ y)\circ z=y\circ (x\circ z) ,$ где $ \mathbb{P} $ — некоторое рассматриваемое множество.

Дистрибутивность (распределительный закон)

Свойство согласованности некоторых двух рассматриваемых алгебраических операций $ \oplus $ и $ \otimes $ на одном и том же некотором рассматриваемом множестве $ \mathbb{P} ,$ при котором выполняется условие левой: $ \forall \ x,y,z \in \mathbb{P}: $ $ x\otimes (y\oplus z) $ $ =(x\otimes y)\oplus(x\otimes z) $; и/или правой: $ (y\oplus z) \otimes x $ $ =(y\otimes x)\oplus(z\otimes x) $ дистрибутивности.

Примеры

1. Проверить коммутативность умножения матриц над полем вещественных чисел.
   
   Спойлер

   
   Пусть $ \small A \in \mathbb{M} _{m \times p} ,B \in \mathbb{M} _{p \times n}: $ $ \small C=A\times B;\ C \in \mathbb{M} _{m\times n} \Rightarrow $ $ \small c_{ij}= \underset{k=1} {\overset{p} {\sum}}a_{ik}b_{kj} .$ Очевидно, что для выполнения операции умножения, количество столбцов первой матрицы должно совпадать с количеством строк второй, следовательно, мы доказали, что коммутативность не выполняется для всех матриц, однако всё ещё может выполнятся для квадратных матриц. Проверим это: выполнение коммутативности для матриц будет выглядеть, как $ \small\forall \ A,B \in \mathbb{M}_{n} \ A\times B \overset{?}{=} B\times A,$ если рассматривать результирующую матрицу поэлементно, то это можно интерпретировать, как $ \small \underset{k=1} {\overset{m} {\sum }}a_{ik}b_{kj}\overset {?}{=} \underset{k=1}{ \overset{m}{\sum}}b_{ik}a_{kj},$ то есть в первой сумме мы перемножаем строку первой матрицы на столбец второй, а во второй строку второй матрицы на столбец первой. Ясно, что результаты таких действий будут равны тогда и только тогда, когда обе матрицы будут симметрическими (то есть будут совпадать с собой транспонированными $ \small A^{T}=A$). Следовательно, коммутативность не выполняется даже для квадратных матриц.

   [свернуть]
2. Доказать, что если ассоциативность выполняется для трёх элементов множества, то способ расстановки скобок не влияет на результат при любом количестве операндов, то есть если:
   $ \forall x,y,z \in \mathbb{P}: $ $ (x\circ y)\circ z=y\circ (x\circ z) ,$ то в выражении $ a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n}, \,a_{i} \in \mathbb{P} i=\overline{1,n} $ результат не зависит от того, как мы расставим скобки.
   
   Спойлер

   Докажем это утверждение математической индукцией по количеству операндов.
   База индукции:
   Минимальное количество переменных равно трём, следовательно, из условия имеем: $ \small \forall \,a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{P}: $ $ \small ( a_{1}\circ a_{2})\circ a_{3}= a_{2}\circ (a_{1}\circ a_{3}) .$ База индукции доказана.
   Предположение индукции:
   $ \small \forall \,n \in \mathbb{N}: $результат выражения $ \small a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} \,$ не зависит от порядка расстановки скобок.
   Шаг индукции:
   Пусть предположение индукции справедливо для $ \small \forall \, n \in \mathbb{N} ,$ докажем, что тогда оно справедливо и для $ \small n+1 .$
   Пусть $ \small 1\leq p\leq m< n+1 .$ То есть можно задать справедливое разбиение: $ \small a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} = $ $ \small (a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ $ $ \small (a _{p+1} \circ … \circ a _{m-1} \circ a _{m})\circ $ $ \small (a _{m+1} \circ … \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1}) .$ Произведём замену:
   $ \small (a _{1} \circ a _{2} \circ … \circ a _{p-1} \circ a _{p}) = a $
   $ \small (a _{p+1} \circ … \circ a _{m-1} \circ a _{m}) = b $
   $ \small (a _{m+1} \circ … \circ a _{n} \circ a _{n+1}) = c $
   По базе индукции имеем $ \small (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c ),$ то есть $ \small [ (a _{1} \circ a _{2} \circ … $ $ \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ $ $ \small (a _{p+1} \circ … $ $ \circ a _{m-1} \circ a _{m}) ] \circ $ $ \small (a _{m+1} \circ … $ $ \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1})=$ $ \small (a _{1} \circ a _{2} \circ … $ $ \circ a _{p-1} \circ a _{p}) \circ $ $ \small [ (a _{p+1} \circ … $ $ \circ a _{m-1} \circ a _{m}) \circ $ $ \small (a _{m+1} \circ … $ $ \circ a _{n-1} \circ a _{n} \circ a _{n+1}) ].$
   В силу свободы выбора $ \small p, m,$ и свободы количества замен такого рода теорема доказана.

   [свернуть]
3. Проверить дистрибутивность сложения матриц над полем вещественных чисел относительно умножения.
   
   Спойлер

   Пусть $ A \in \mathbb{M} _{m\times n}; B,C \in \mathbb{M} _{n\times m},$ докажем, что $ A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C.$ Заметим, что $ A=\left \| a_{ij} \right \|,$ $ B=\left \| b_{ji} \right \|,$ $ C=\left \| c_{ji} \right \|,$ $ i=\overline{1,m},$ $ j =\overline{1,n}$, тогда $ A\cdot (B+C)=$ $ \ \left \| a_{ij} \right \|\cdot (\left \| b_{ji} \right \| + \left \| c_{ji} \right \|)=$ $ \ \left \| a_{ij} \right \|\cdot (\left \| b_{ji} + c_{ji} \right \|) = $ $ \ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot (b_{ji} + c_{ji})\right \| = $ $ \ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot b_{ji} + \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot c_{ji}\right \|=$ $ \ \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot b_{ji} \right \| + \left \| \underset{i=1}{ \overset{m}{\sum}} a_{ij} \cdot c_{ji}\right \| = $ $ \ A\cdot B+A\cdot C.$
   Правая дистрибутивность доказывается аналогично.

   [свернуть]

Источники:

• В. В. Воеводин «Линейная алгебра» Издание 2, 1980 года, стр. 9-13
• А. И. Кострыкин «Введение в алгебру. Основы алгебры», 1994 года, стр. 155-160
• А. Г. Курош «Курс высшей алгебры» издание 9, 1968 года, стр. 147-161
• Белозеров Г.С. Конспект лекций

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Основные свойства бинарных алгебраических операций.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Алгебра 0%

максимум из 30 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 10

   Как ещё называют коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы? Разместите ответы в соответствующем порядке, не подходящий ни к чему разместите в конце.

   • Переместительный
   • Сочетательный
   • Распределительный
   • Исключительный
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 5

   Какой закон устанавливает связь сразу между двумя операциями?

   • Дистрибутивность
   • Коммутативность
   • Ассоциативность
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 5

   Ассоциативно ли умножение матриц над полем вещественных чисел?

   • Да
   • Нет
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 5

   Дистрибутивно ли умножение относительно сложения матриц над полем комплексных чисел?

   • Да
   • Нет, ведь умножение матриц над полем вещественных чисел даже не коммутативно.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 5

   Как ещё называется теорема, приведённая в примере 2?

   • Общий коммутативный закон
   • Общий ассоциативный закон
   • Общий дистрибутивный закон

   Подсказка

Определение 1
Композицией отображений $f:U \to V$ и $g:V \to W$ называется такое отображение $ h:U \to W $ $ h = g \circ f $, что $ \forall u \in U $ $ h(u)=(g \circ f)(u)=g(f(u))=w $.
$\circ$ — символ композиции.

Определение 2
Бинарная операция «$*$» на $A$(непустом множестве) обладает свойством ассоциативности, если $\forall a,b,c \in A$ верно равенство $(a*b)*c=a*(b*c)$.

Лемма
Композиция отображений обладает свойством ассоциативности. То-есть $\forall f,g,h (f \circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$, где $f:W\to Q$, $g:V\to W$, $h:U\to V$, если левая и правая части существуют.

Доказательство
Нужно доказать, что $\forall f,g,h $ $ (f \circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$, где $f:W\to Q$, $g:V\to W$, $h:U\to V$.
$\forall u \in U $ $ [(f\circ g)\circ h](u)=(f\circ g)(h(u))=f(g(h(u)))$ и $\forall u \in U $ $ [f\circ (g\circ h)](u)=f ((g\circ h)(u))=f(g(h(u)))$, получаем что левая и правая части равны, что и доказывает теорему.

Пример 1
Пусть $f:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$, $g:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ и $f(u)=u^2$, $h(u)=\log{v}$, где $u\in \mathbb{R}^*$, $v\in \mathbb{R}^+$, тогда $h(u)=(g\circ f)(u)=\log{u^2}$, где $h:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$.

Пример 2
Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^*$, $h:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$ и $f(u)=2u, g(v)=v^2, h(w)=2^w$, где $u,v \in \mathbb{R}$, $w \in \mathbb{R}^*$, тогда $t_1(u)=(h\circ g)(u)=2^{u^2}, t_2(u)=((h \circ g)\circ f)(u)=2^{(2u)^2}$, где $t_2:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ и $t_3(u)=(g \circ h)(u)=(2u)^2$, $t_4(u)=(h\circ (g\circ f))(u)=2^{(2u)^2}$, где $t_4:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$. Как видим области определений, области значений и законы отображений совпадают, поэтому они равны, то-есть $t_2=t_4$, $ (h \circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$.

Литература

• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. (стр. 37-38)
• Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Том 1 — М.: «Мир», 1977. (стр. 39)

Композиция отображений, свойство ассоциативности.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему: «Композиция отображений, свойство ассоциативности.»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Пусть $h(x)=\ln(x)$, $g(x)=x+1$, $f(x)=x^2$, верно ли равенство $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$(да или нет)?
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Заполнить пропуски (пропуски заполнять в бланке ответов), чтоб определение ассоциативности отображений стало верным:
   (1)__________ отображений «$*$» обладает свойством (2)_______________, если $\forall f,g,h$, где $f,g,h$ это (3)___________, верно равенство $(f*g)*h=f*(g*h)$, если левая и правая части (4)__________.

   • (1) (Композиция), (2) (ассоциативности), (3) (отображения), (4) (существуют).
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   В каком случае имеет место композиция $g\circ f$?

   • $f(x)=-x^2, g(x)=\ln(x)$
   • $f(x)=x^2+2x+25, g(x)=\arcsin(x)$
   • $f(x)=x^2+4x+6, g(x)=\ln(x-1)$
   • $f(x)=e^{x^2+2}, g(x)=\arcsin(\ln(x))$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Даны отображения $f:X \to \mathbb{R}^+ ,g:\mathbb{Z}^- \to Y$, каким может быть отображение $h$ чтоб имела место композиция $g\circ h\circ f$?

   • $h:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{Z}^-$
   • $h:[1,2] \to \{-1,-4,-6\}$
   • $h:\mathbb{R}^- \to \{-1,-4,-6\}$
   • $h:[1,2] \to \mathbb{Z}^+$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Расставить отображения так, чтоб была верна их последовательная композиция (сверху-вниз=справа-налево):

   • $f:(0,1] \to \mathbb{R}^+$
   • $h:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^-$
   • $t:\mathbb{R}^- \to 0$
   Правильно
   

   Неправильно