Бесконечно большие последовательности, их свойства и связь с бесконечно малыми последовательностями

Определение

Последовательность $latex \left \{ x_{n} \right \} $ называется бесконечно большой, если $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon $, или $latex \lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=\infty $.

Геометрическая интерпретация

Назовем $latex \varepsilon $-окрестностью точки $latex \infty $ множество $latex E=\left\{x\in\mathbb{R}:\left|x\right|>\varepsilon\right\} $.
Введем множества $latex E_{1}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x<-\varepsilon\right\} $ и $latex E_{2}=\left\{x\in\mathbb{R}:\;x>\varepsilon\right\} $. Назовем эти множества $latex \varepsilon $-окрестностями точек $latex -\infty $ и $latex \infty $ соответственно. Тогда $latex E=E_{1}\cup E_{2} $.

E-okr infty

Теорема (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

  • Если $latex \left\{x_{n}\right\} $ — бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера $latex n $ определена последовательность $latex \left \{ \frac{1}{x_{n}}\right \} $, которая является бесконечно малой.
  • Если все элементы бесконечно малой последовтельности $latex \left \{ \alpha_{n}\right \} $ отличны от нуля, то последовательность $latex \left \{\frac{1}{\alpha_{n}}\right \} $ — бесконечно большая.

Доказательство.

  • Пусть $latex \left\{x_{n}\right\} $ — бесконечно большая последовательность, т.е. $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon $. Это означает, что при $latex n\geq N_{\varepsilon} $ все элементы $latex x_{n}\neq 0 $, поэтому последовательность $latex \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\} $ имеет смысл с номера $latex N_{\varepsilon} $.
    Пусть $latex A $ — любое положительное число, тогда для числа $latex \frac{1}{A}$ $latex \exists\,N_{1}:\forall n\geq N_{1}\left|\frac{1}{x_{n}}\right|<A$, что по определению означает, что последовательность $latex \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\} $ — бесконечно малая.
  • Второе доказательство проводится аналогично.

Свойства бесконечно больших последовательностей

  1. Сумма бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность того же знака.
  2. Сумма бесконечно большой и ограниченной последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
  3. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность.
  4. Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть бесконечно большая последовательность.

Доказательство.

  1. Пусть $latex \left\{x_{n}\right\},\;\left\{y_{n}\right\} $ — бесконечно большие последовательности.
    По определению:
    $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{1}>0:\;\forall n\geq N_{1} \;\;\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon $ и $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{2}>0:\;\forall n\geq N_{2} \;\;\left|y_{n}\right|\geq\varepsilon $.
    Тогда для последовательности $latex \left\{x_{n}+y_{n}\right\} $:
    $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N=\max\left\{N_{1},N_{2}\right\}>0:\;\forall n\geq N \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon $, что означает, что последовательность $latex \left\{x_{n}+y_{n}\right\} $ — бесконечно большая.
  2. Пусть последовательность $latex \left\{x_{n}\right\} $ — бесконечно большая, $latex \left\{y_{n}\right\} $ — ограниченная. Тогда по определению $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon $ и $latex \exists\,C:\;\forall n\in\mathbb{N} \left|y_{n}\right|<C $.
    Рассмотрим $latex \left|x_{n}+y_{n}\right| $:
    $latex \left|x_{n}+y_{n}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\frac{\left|x_{n}+y_{n}\right|}{\left|x_{n}\right|}=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}+y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\cdot\left|\frac{x_{n}}{x_{n}}+\frac{y_{n}}{x_{n}}\right|=\left|x_{n}\right|\left(1+0\right)=\left|x_{n}\right|\geq\varepsilon $
    (используются свойства модулей, свойства бесконечно малых последовательностях и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)
    Получили: $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;\left|x_{n}+y_{n}\right|\geq\varepsilon $, что означает, что последовательность $latex \left\{x_{n}+y_{n}\right\} $ — бесконечно большая.
  3. Доказательство аналогично предыдущему.
  4. Пусть последовательность $latex \left\{x_{n}\right\} $ — бесконечно большая, $latex C \neq 0 $ — константа. Тогда по определению $latex \forall \varepsilon >0 \;\; \exists N_{\varepsilon}>0 \;\;\forall n\geq N_{\varepsilon} \;\;|x_{n}|\geq\varepsilon $.
    Рассмотрим $latex \left|x_{n}\cdot C\right| $:
    $latex \left\{x_{n}\right\}\rightarrow\infty, \Rightarrow \left\{\frac{1}{x_{n}}\right\}\rightarrow 0 $ (по теореме о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями).
    $latex C $ — константа, $latex \Rightarrow\left\{\frac{1}{C}\right\} $ — также константа, т.е. ограниченная.
    $latex \left \{ \frac{1}{x_{n}\cdot C} \right \}=\left \{\frac{1}{x_{n}}\cdot\frac{1}{C} \right \}\rightarrow 0\Rightarrow\left \{ x_{n}\cdot C \right \}\rightarrow\infty $, что означает, что последовательность $latex \left\{x_{n}y_{n}\right\} $ — бесконечно большая.
    (используются свойства бесконечно малых последовательностей и теорема о связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями)

Примеры.

  1. Последовательность $latex \left\{n\right\} $ является бесконечно большой, т.к. $latex \forall\varepsilon\>0\;\exists N=\left[\varepsilon\right]+1:\;\forall n\geq N\;n>\varepsilon $.
  2. Последовательность $latex \left\{\frac{n^2}{n+1}\right\} $ является бесконечно большой, т.к. $latex \frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow\frac{\infty}{1+0}=\infty $.
  3. $latex \frac{n}{\left(\cos n\right)^2}=n\cdot\frac{1}{\left(\cos n\right)^2} $ — бесконечно большая, т.к. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}n=\infty $, а $latex \frac{1}{\left(\cos n\right)^2} $ — ограниченная, сохраняющая знак.
  4. $latex \left\{-\sqrt{n}\right\} $
    Выберем произвольное число $latex \varepsilon>0:\;-\sqrt{n}\leq-\varepsilon;\; N>\varepsilon^2 $. Получили: $latex \forall\varepsilon>0\;\exists N=\left[\varepsilon^{2}+1\right]:\,\forall n\geq N\;\; -\sqrt{n}<-\varepsilon $, т.е. $latex \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(-\sqrt{n}\right)=-\infty $.

Литература

Тест по теме «Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности»


Таблица лучших: Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных