Метка: вершины

М694. Вершины куба

Задача из журнала «Квант» (1981 год, 7 выпуск)

Условие

В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещённым на одном(любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале были поставлены числа, как на рисунке 1? Как на рисунке 2? Как на рисунке 3?

Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3

Решение

Раскрасим вершины куба в синий и красный цвет таким образом, чтобы концы каждого ребра оказались окрашенными в разные цвета.

Рис. 4

При добавлении единицы к числам размещенным на одном ребре, суммы чисел в синих и красных вершинах увеличиваются на 1, так что разность этих двух сумм не изменяется. Так как в кубах на рисунках 1 и 3 эта разность не равна нулю, от них нельзя прийти к кубу с равными числами в вершинах. Покажем теперь, что если в вершинах исходного куба записаны целые числа и суммы чисел в красных и синих вершинах равны, то все восемь чисел можно сделать равными между собой.
Обозначим через $d$ разность между наибольшим и наименьшим из чисел, записанных в вершинах куба, а через $n$ — количество чисел, равных наименьшему. (Для куба на рисунке 1 $ — d = 1, n = 7,$ на рисунке 2 $ — d = 6, n = 1,$ на рисунке 3 $ — d = 1, n = 6.$) Пусть наименьшее (или одно из наименьших) число, расположено в вершине $A_1$ (см. рис. 4). Если какое-нибудь из соседних чисел, скажем число, записанное в вершине $B_1$, не является наибольшим в рассматриваемом кубе, то, прибавляя по единице к числам, размещённым на ребре $A_1B_1$, мы уменьшим либо $d$, либо $n$ (либо и $d$, и $n$). Продолжая подобным образом, мы придём либо к кубу, у которого $d = 0,$ то есть все восемь чисел равны между собой, либо к кубу, в котором каждое число, соседнее с наименьшим, является наибольшим. Если в вершине $A_1$ такого куба расположено одно из наименьших чисел, равное $a$, то в вершинах $B_1$, $D_1$ и $A_2$ записано число $a + d$ (здесь $d$ — разность между наибольшими и наименьшими числами в новом кубе).

Рис. 5

Так как сумма чисел в красных вершинах равна сумме чисел в синих вершинах, в четвёртой красной вершине $C_2$ записано число $a$, а в синих вершинах $C_1$, $B_2$ и $D_2$ — число $a + d$. Прибавим по $d$ единиц к концам ребра $A_1B_1$, затем к концам рёбра $C_1C_2$, рёбра $A_1D_1$, рёбра $C_2D_2$ и, наконец рёбра $A_2B_2$, мы придём к кубу, все восемь чисел которого равны $a + 2d$. Для куба на рисунке 2 этапы решения изображены на рисунке 5.

Ю. Ионин

M1735. Проекции многогранника

Условие

Выпуклый многогранник имеет шесть вершин — по одной на каждой из полуосей прямоугольной системы координат. Докажите, что восемь проекций начала координат на грани многогранника принадлежат одной сфере.

Решение


Пусть три вершины многогранника $X_{0}, Y_{0}$ и $Z_{0}$ лежат на отрицательных полуосях, а три другие вершины $X_{1}, Y_{1}$ и $Z_{1}$ на положительных полуосях, точка $O$ — начало координат. Четыре проекции точки $O$ лежат на гранях многогранника $Z_{1}X_{1}Y_{1}$, $Z_{1}Y_{1}X_{0}$, $Z_{1}X_{0}Y_{0}$ и c $Z_{1}Y_{0}X_{1}$ — это точки $A$, $B$, $C$ и $D$ соответственно. Так как $\angle Z_{1}AO =\angle Z_{1}CO = \angle Z_{1}DO =90^{\circ}$, то сфера $S$, построенная на $Z_{1}O$ как на диаметре, содержит точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Докажем, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной окружности, т.е. сечению сферы $S$. Спроектировав эти точки из точки $Z_{1}$ на ребра многогранника $X_{1}Y_{1}$, $Y_{1}X_{0}$ $X_{0}Y_{0}$ и $Y_{0}X_{1}$, получим точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ и $D_{1}$, соответственно. Эта проекция — стереографическая, и как только мы докажем, что $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ и $D_{1}$ принадлежат одной окружности, так сразу убедимся, что точки $A$, $B$, $C$ и $D$ тоже принадлежат одной окружности. Заметим, что точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ и $D_{1}$ — это проекции точки $O$ на стороны четырехугольника $X_{1}Y_{1}X_{0}Y_{0}$ , диагонали которого $X_{1}X_{0}$ и $Y_{1}Y_{0}$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$ (см. рисунок). В треугольнике $X_{0}Y_{1}X_{1}$ отрезок $B_{1}A_{1}$ антипараллелен стороне $X_{0}X_{1}$, т.е. $\angle Y_{1}B_{1}A_{1} =\angle Y_{1}X_{1}X$, a $\angle Y_{1}A_{1}B_{1} = \angle Y_{1}X_{0}X_{1}$; аналогичные равенства углов получим в треугольниках $Y_{1}X_{0}Y_{0}$, $X_{0}Y_{0}X_{1}$ и $Y_{0}X_{1}Y_{1}$. После этого простой подсчет покажет, что суммы противоположных углов в четырехугольнике $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ равны по $180^{\circ}$, т.е. около $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ можно описать окружность. Значит, точки $A$ $B$, $C$ и $D$ принадлежат одной окружности, а четырехугольник $ABCD$является одной из шести граней многогранника $M$, восемь вершин которого — это восемь проекций точки $O$ на грани исходного многогранника. Все грани многогранника $M$ (кубоида) являются четырехугольниками, около каждого из которых можно описать окружность. Рассмотрим сферу $Q$, содержащую две окружности, описанные около двух смежных граней многогранника $M$. Нетрудно убедиться, что сфера $Q$ содержит все вершины многогранника $M$.

В. Произволов