Производные и дифференциалы высших порядков

Вторая производная функции в точке [latex]x_{0}[/latex]
Пусть функция [latex]f(x)[/latex] имеет производную во всех точках интервала [latex](a,b)[/latex]. Если [latex]f'(x)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x_{0}\in (a,b)[/latex], то ее производную называют производной второго порядка в точке [latex]x_{0}[/latex] и обозначают [latex]f»(x_{0}),[/latex] [latex]f^{(2)}(x_{0}),[/latex] [latex]\frac{d^{2}f(x_{0})}{dx^{2}},[/latex] [latex]f_{xx}^{»}(x_{0}).[/latex]

Таким образом, по определению
[latex]f^{»}(x_{0})=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f'(x_{0}+\Delta x)-f'(x_{0})}{\Delta x}.[/latex]

    Пример
    Найти [latex]f»(x_{0})[/latex], если:

  1. [latex]f(x)= \sin{x}[/latex]
    Спойлер

    [latex]f'(x)=\cos{x}=\sin{(\frac{\pi }{2}-x)}=\sin{(x+\frac{\pi }{2})}[/latex]
    [latex]f»(x)=-\sin{x}=\sin{(2\tfrac{\pi }{2}+x)}[/latex]

    [свернуть]
  2. [latex]f(x)=x\sqrt{1+x^{2}}[/latex]
    Спойлер

    [latex]f'(x)=\sqrt{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}};[/latex]
    [latex]f»(x)=(\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}})'[latex]=\frac{4x\sqrt{1+x^{2}}-(1+2x^{2})x(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}}{1+x^{2}}=\frac{3x+2x^{3}}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}};[/latex]

    [свернуть]

В общем случае производные высших порядков вычисляются по принципу:
[latex]f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'[/latex]

Т.е. производные более высоких порядков вычисляются через производные более низкого порядка. Если рассматривать пример 1, то можно заметить, что вторая производная была взята как производная производной первого порядка, а производная третьего порядка выглядит так:
[latex]f»'(x)=(f»(x))’=(-\sin{x})’=-\cos{x}=\sin{(x+3\frac{\pi }{2})}[/latex]

Можно заметить некую закономерность в нахождении производных высшего порядка для [latex]sinx[/latex] и вывести общую формулу для этой функции:
[latex]f^{(n)}(x)=\sin{(x+n\frac{\pi }{2})}[/latex]

Существуют функции, которые можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Бесконечно дифференцируемая функция
Если функция имеет на [latex][a,b][/latex] производные всех порядков, то она называется бесконечно дифференцируемой на [latex][a,b][/latex]

Например, к таким функциям можно отнести [latex]f(x)=e^{x}[/latex] т.к. [latex]f^{n}(x)=e^{x}[/latex]

    Производные высших порядков обладают такими свойствами:
    Если f и g имеют производные n-ного порядка, то:

  1. [latex]\alpha f+\beta g[/latex] тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и [latex](\alpha f+\beta g)^{(n)}=\alpha f^{(n)}+\beta g^{(n)}.[/latex]
  2. [latex]fg[/latex] тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и
    [latex](fg)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(k)}g^{(n-k)}[/latex](Формула Лейбница)

Замечание! Дифференциалы первого порядка имеют инвариантную форму. Т.е., несмотря на то, будет ли x зависимой или независимой переменной, дифференциал имеет вид
[latex]dy=f'(x)dx.[/latex] Второй дифференциал этим свойством уже не обладает.

Производные и дифференциалы высших порядков

Этот текст составлен для проверки знаний по теме «Производные и дифференциалы высших порядков»

Литература