(Прочитав разделы «Универсальная подстановка» и «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x», попробуйте решить следующие примеры. Если же решить не получиться, жмите «ПОКАЗАТЬ»)
1) Найти интеграл $latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}$
Подсказка: используйте подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$
Подынтегральная функция рационально зависит от $latex \sin x$ и $latex \cos x$; применим подстановку $latex \tan \frac{x}{2}=t$,
тогда $latex \sin x=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ; $latex \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ; $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ и
$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=$ $latex \int \frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{4\cdot \frac{2t}{1+t^{2}}+3\cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}=$
$latex =2 \int \frac{dt}{2t^{2}+8t+5}=$ $latex \int \frac{dt}{(t+2)^{2}}=$ $latex =-\frac{1}{t+2}+C$ .
Возвращаясь к старой переменной, получим:
$latex \int \frac{dx}{4\sin x+3\cos x+5}=-\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}+C$ $latex \blacktriangle$
2) Найти интеграл $latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}$ .
Подсказка : используйте замену $latex \cos x=t$ , а также свои знания по теме «Тригонометрические тождества»
$latex \triangle$ Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем $latex \cos x=t$.
Отсюда $latex \sin ^{2}x=1-t^{2},\ \cos 2x=2\cos ^{2}x-1=2t^{2}-1,\ dt=-\sin x \ dx.$
Таким образом :
$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\int \frac{(2-t^{2})(-dt)}{2t^{2}-1}=\int \frac{(2t^{2}-2)\ dt}{2t^{2}-1}=$
$latex =\frac{1}{2}\int \frac{2t^{2}-4}{2t^{2}-1}\ dt=\frac{1}{2}\int dt-\frac{3}{2}\int\frac{dt}{2t^{2}-1}=$
$latex =\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\int \frac{d(t\sqrt{2})}{2t^{2}-1}=\frac{t}{2}-\frac{3}{2\sqrt{2}}\ln \left | \frac{t\sqrt{2}-1}{t\sqrt{2}+1} \right |+C.$
Следовательно:
$latex \int \frac{(\sin x+\sin ^{3}x)dx}{\cos 2x}=\frac{1}{2}\cos x-\frac{3}{2\sqrt{2}} \ln\left | \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{\sqrt{2}\cos x+1} \right |+C .$ $latex \blacktriangle$
3) Найти интеграл $latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx$
Подсказка: используйте подстановку $latex t=2+3\sinh x $
$latex \triangle$ Сделаем подстановку $latex t=2+3\sinh x,\ du=3\cosh xdx.$ Тогда $latex \cosh xdx=\frac{dt}{3}.$ Следовательно, интеграл равен
$latex \int \frac{\cosh x}{2+3\sinh x}dx=\int \frac{dt}{3}\cdot \frac{1}{t}=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln \left | t \right |+C=\frac{1}{3}\ln \left | 2+3\sinh x \right |+C.$ $latex \blacktriangle$
4) Найти интеграл $latex \int \sinh ^{3}xdx$
Подсказка: используйте гиперболиские соотношения
$latex \triangle$ Поскольку $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$, и, следовательно, $latex \sinh ^{2}x=\cosh ^{2}x-1,$ интеграл можно переписать в виде
$latex \mathbb{I}=\int \sinh ^{3} xdx=\int \sinh ^{2}x\cosh xdx=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx$
Делая замену $latex t=\cosh x,\ dt=\sinh xdx,$ получаем
$latex \mathbb{I}=\int (\cosh ^{2}x-1)\sinh xdx=\int (t^{2}-1)dt=$
$latex =\frac{t^{3}}{3}-t+C=\frac{\cosh ^{3}x}{3}-\sinh x+C$ $latex \blacktriangle$
Список литературы:
- А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1) стр. 234-242
- Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
Дополнительные материалы :
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1), 5-е издание, 1964 г., глава 8, §4, стр. 74-78
- Ещё больше примеров можно найти здесь
Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)
по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«
Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
