Определение интегральных сумм и их пределов


Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана


Определение 1. (Интегральная сумма)

Спойлер

Пусть функция $latex f(x)$ определена на отрезке   $latex [a,b]$. Разделим отрезок  $latex [a,b]$  на n произвольных частей точками $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b,$ выберем на каждом элементарном отрезке $latex [x_{k-1};x_{k}]$ произвольную точку $latex \xi _{k}$ и найдём длину каждого такого отрезка: $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$.

[свернуть]

$latex \triangle $ Интегральной суммой  для функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ называется сумма вида

$latex \underbrace{\sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}},$   причем эта сумма имеет конечный предел $latex I$ если для каждого $latex \varepsilon >0$ найдется такое число $latex \delta >0$, что при $latex (max\ \triangle x_{k})<\delta$ неравенство $latex \underbrace{\left | \sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}-I \right |<\varepsilon}$ выполняется при любом наборе числе $latex \xi _{k}.$ $latex \blacktriangle $

Определение 2. (Верхние и нижние суммы)

Спойлер

Пусть функция $latex f(x)$ ограничена на сегменте $latex [a;b]$ и $T $ — разбиение этого  сегмента точками  $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b.$  Обозначим через $latex M_{i}$ и $latex m_{i}$ соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте $latex [x_{i}-x_{i-1}]$.

[свернуть]

Суммы

$latex S=M_{1}\triangle x_{1}+M_{2}\triangle x_{2}+…M_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i\triangle x_{i}}}$

и

$latex S=m_{1}\triangle x_{1}+m_{2}\triangle x_{2}+…m_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i\triangle x_{i}}}$

называются соответственно верхней и нижней суммами функции $latex f(x)$ для данного разбиения $latex T$ сегмента $latex [a;b]$.

 

Рисунок 1. Разбиение сегмента $latex [a;b]$

Спойлер

default2

[свернуть]

.Замечание. Суммы такого вида называют суммами Дарбу.

Список литературы:

Тест (Определенный интеграл Римана)

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.


Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных