15.3.2 Признаки Абеля и Дирихле

Аналогом интегрирования по частям для сумм является следующее равенство, которое называют преобразованием Абеля:
$$ \sum_{i=1}^n\alpha_i \beta_i = \sum_{i=1}^{n-1}\left(\alpha_i — \alpha_{i+1}\right)B_i + \alpha_n B_n,$$
где $ B_i = \sum_{j = 1}^i\beta_j \left(i = 1,2,\ldots,n\right).$ Для его доказательства обозначим
$ B_0 = 0.$ Тогда получим
$$ \sum_{i=1}^n\alpha_i \beta_i = \sum_{i=1}^n\alpha_i\left(B_i — B_{i-1}\right) = \sum_{i=1}^n\alpha_iB_i — \sum_{i=1}^n\alpha_iB_{i-1} = $$ $$ = \sum_{i=1}^{n — 1}\alpha_iB_i + \alpha_nB_n — \sum_{i=1}^{n — 1}\alpha_{i + 1}B_i = \sum_{i=1}^{n — 1}\left(\alpha_i — \alpha_{i+1}\right)B_i + \alpha_nB_n,$$
и тем самым завершается доказательство преобразования Абеля.

Лемма

Пусть числа $ \alpha_i \left(i = 1,2,\ldots,n\right)$ монотонны (возрастают или убывают). Тогда справедливо неравенство
$$ \left|\sum_{i=1}^n\alpha_i \beta_i\right| \leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant n} \left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1\right| + 2\left|\alpha_n\right|\right)$$

Применим преобразование Абеля
$$ \left|\sum_{i=1}^n\alpha_i \beta_i\right| = \left|\sum_{i=1}^{n — 1}\left(\alpha_i — \alpha_{i+1}\right)B_i + \alpha_nB_n\right| \leqslant$$
$$ \leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant n}\left| B_k\right|\left(\sum_{i=1}^{n — 1}\left|\alpha_i — \alpha_{i+1}\right| + \left|\alpha_n\right|\right) = $$
$$ = \max_{1\leqslant k\leqslant n}\left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1 — \alpha_n\right| + \left|\alpha_n\right|\right)\leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant n}\left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1\right| + 2\left|\alpha_n\right|\right),$$
и тем самым лемма доказана.

Теорема (признак Абеля)

Пусть последовательность $ \{a_n\}$ монотонна (возрастающая или убывающая) и ограничена, а последовательность $ \{b_n\}$ такова, что сходится ряд $ \sum_{n = 1}^{\infty}b_n.$ Тогда ряд $ \sum_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.

Доказательство основано на применении критерия Коши . В силу этого критерия, нам нужно оценить отрезок Коши
$$ \sum_{k=n + 1}^{n + p}a_k b_k \equiv \sum_{i=1}^pa_{n + i}b_{n + i}$$
Обозначим $ \alpha_i = a_{n+i},\; \beta_i = b_{n+i}.$ Пользуясь леммой, получим
$$ \left|\sum_{k=n + 1}^{n + p}a_k b_k\right| = \left|\sum_{i=1}^p\alpha_i\beta_i\right| \leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant p}\left| B_k\right|\left(\left|\alpha_1\right| + 2\left|\alpha_p\right|\right) = $$
$$ = \max_{1\leqslant k\leqslant p}\left|\sum_{i=n+1}^{n+k}b_i\right|\left(\left|a_{n+1}\right| + 2\left|a_{n+p}\right|\right)\;\;\;\;\;\;\left(15.16\right)$$
По условию, ряд $ \sum_{n=1}^{\infty}b_n$ сходится. Поэтому, в силу критерия Коши, для любого $ \varepsilon > 0$ найдется такой номер $ N,$ что при любом $ n \geqslant N$ и при любом $ k \in \mathbb{N}$ справедливо неравенство $ \left|\sum_{i=n+1}^{n+k}b_i\right| < \varepsilon .$ Далее, в силу
ограниченности последовательности $ \{a_n\},$ найдется такое $ M,$ что $ \left|a_n\right| \leq M \left(n = 1,2,\ldots\right).$ Из неравенства $ \left(15.16\right),$ для заданного $ \varepsilon > 0$ и $ n \geqslant N$ имеем
$$ \left|\sum_{i=n+1}^{n+p}a_ib_i\right| \leqslant 3M \cdot \varepsilon,$$
где произвольное $ p \in \mathbb{N}.$ Таким образом, для ряда $ \sum_{i = 1}^{\infty}a_ib_i$ выполнено условие критерия Коши, в силу которого этот ряд сходится.

Теорема (признак Дирихле)

Пусть последовательность $ \{a_n\}$ монотонно стремится к нулю, а последовательность $ \{b_n\}$ такова, что частичные суммы $ B_n = \sum_{i = 1}^{n}b_i$ ограничены, т.е существует такое $ M,$ что $ \left|B_n\right| \leq M \left(n = 1,2,\ldots\right).$ Тогда ряд $ \sum_{n = 1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.

В силу неравенства $ \left(15.16\right),$ полученного при доказательстве предыдущей теоремы,
$$ \left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right| \leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant p}\left| B_{n+k} — B_n\right|\left(\left|a_{n+1}\right| + 2\left|a_{n+p}\right|\right)\;\;\;\;\;\left(15.17\right)$$
Зададим $ \varepsilon > 0$ и, пользуясь условиями теоремы, найдем такой номер $ N,$ что $ \left|a_n\right| < \varepsilon$ при всех $ n \geqslant N.$ Тогда из $ \left(15.17\right)$ и из ограниченности $ B_i$ следует
$$ \left|\sum_{k=n+1}^{n+p}a_kb_k\right| \leqslant 2M \cdot 3\varepsilon = 6M\varepsilon\;\;\left(n \geqslant N, p \in \mathbb{N}\right)$$
Таким образом, для ряда $ \sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ выполнено условие критерия Коши, в силу которого этот ряд сходится.

Замечание. Теорема Лейбница является частным случаем признака Дирихле, в котором $ a_n = u_n, b_n = \left(-1\right)^{n-1}.$

Примеры:

Пример 1.
Доказать, что ряд $ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}\sin{n\alpha}$ сходится по Дирихле.

Решение:
Положим $ a_n = \frac{1}{n},$ тогда последовательность $ \{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ монотонно стремится к нулю т.к.

  1. $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 0$
  2. $ \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n}{n + 1} < 1$

Положим также $ b_n = \sin{n\alpha},$ тогда по формуле суммы синусов кратных углов получим
$$ \sum_{k=1}^{n}\sin{n\alpha} = \frac{\sin{\frac{n\alpha}{2}} \cdot \sin{\frac{\left(n+1\right)\alpha}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}, \;\; \alpha \neq 2\pi m, \;\; \left(m = 0,\pm 1,\ldots\right)$$
и отсюда
$$ \left|\sum_{k=1}^{n}\sin{n\alpha}\right| = \left|\frac{\sin{\frac{n\alpha}{2}} \cdot \sin{\frac{\left(n+1\right)\alpha}{2}}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}\right| \leqslant \frac{1}{\left|\sin{\frac{\alpha}{2}}\right|} \equiv M, \;\; \alpha \neq 2\pi m, \;\; \left(m = 0,\pm 1,\ldots\right),$$
что и значит что наши суммы ограничены константой $ M$. Подытожив, имеем последовательность $ \{a_n\}_{n = 1}^{\infty},$ монотонно сходящуюся к $ 0$ и последовательность $ \{b_n\}_{n = 1}^{\infty},$ частичные суммы которой ограниченны. Тогда по признаку Дирихле ряд $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\sin{n\alpha}$ сходится.

Пример 2.
Исследовать ряд $ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin n \cdot \sin{n^2}}{n^2}$ на сходимость.

Решение:
Пусть $ \{b_n\}_{n=1}^{\infty} = \{\sin n \cdot \sin{n^2}\}_{n=1}^{\infty},$ покажем, что частичные суммы ограниченны.
$$ \sum_{k = 1}^{n}b_k = \sum_{k = 1}^{n}\sin k \cdot \sin{k^2} = \sum_{k = 1}^{n}\frac{\cos{\left(k — k^2\right)} — \cos{\left(k + k^2\right)}}{2} = \left(\frac{\cos0}{2} — \frac{\cos2}{2}\right) + $$
$$ + \left(\frac{\cos{\left(-2\right)}}{2} — \frac{\cos6}{2}\right) + \left(\frac{\cos{\left(-6\right)}}{2} — \frac{\cos12} {2}\right) +
\left(\frac{\cos{\left(-12\right)}}{2} — \frac{\cos20}{2}\right) +\cdots $$
$$ + \left(\frac{\cos{\left(n — n^2\right)}}{2} — \frac{\cos{\left(n + n^2\right)}}{2}\right) = \frac{1}{2} — \frac{\cos{\left(n + n^2\right)}}{2}$$
$$ \left|\sum_{k = 1}^{n}b_k\right| = \left|\frac{1}{2} — \frac{\cos{\left(n + n^2\right)}}{2}\right| \leqslant \frac{1}{2} + \frac{\left|\cos{\left(n + n^2\right)}\right|}{2} \leqslant \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$
Получили, что частичные суммы последовательности $ \{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ в совокупности ограниченны единицей.
Теперь пусть $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} = \{n^2\}_{n=1}^{\infty}.$ Убедимся, что $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ монотонно стремится к нулю.

  1. $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} = 0$
  2. $ \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n^2}{\left(n + 1\right)^2} < 1$

Действительно, $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ монотонно стремится к нулю.
Значит ряд $ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin n \cdot \sin{n^2}}{n^2}$ сходится по Дирихле.

Пример 3.
Доказать, что ряд $ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin{\frac{\pi n}{12}}}{\ln n}\cos{\frac{\pi}{n}}$ сходится по Абелю.

Решение:
Выделим в исходном ряде 2 последовательности: $ \{\frac{\sin{\frac{\pi n}{12}}}{\ln n}\}_{n=1}^{\infty}$ и $ \{\cos{\frac{\pi}{n}}\}_{n=1}^{\infty}.$ Докажем, что ряд $ \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{\sin{\frac{\pi n}{12}}}{\ln n}$ сходится:
Пусть $ a_n = \frac{1}{\ln n},$ тогда последовательность $ \{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ монотонно стремится к нулю т.к.

  1. $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{ln n} = 0$
  2. $ \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{\ln n}{\ln{n + 1}} < 1$

И пусть $ b_n = \sin{\frac{\pi n}{12}},$ отсюда из формулы суммы синусов кратных углов следует, что
$$ \left|\sum_{k=1}^{n}\sin{\frac{\pi n}{12}}\right| = \left|\frac{\sin{\frac{\pi}{24} n} \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{24}\left(n+1\right)\right)}}{\sin{\frac{\pi}{24}}}\right| \leqslant \frac{1}{\left|\sin{\frac{\pi}{24}}\right|} \equiv M,$$
значит частичные суммы последовательности $ \{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ ограничены. По признаку Дирихле ряд сходится.
Последовательность $ \{\cos{\frac{\pi}{n}}\}_{n=1}^{\infty}$ ограниченна единицей и монотонна т.к. косинус на промежутке $ \left[\pi;0\right)$ монотонно убывает.

Оба условия признака Абеля выполнены, а значит ряд сходится.

Тест по теме: "Признаки Абеля и Дирихле"

Небольшой тест, чтобы закрепить теоретический материал.

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Теорема (признак Дирихле)

Пусть:

  • функция [latex]f[/latex] непрерывна и имеет ограниченную первообразную [latex]F[/latex] при [latex]x\in[a;+\infty)[/latex];
  • функция [latex]g[/latex] непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале [latex][a;+\infty)[/latex];
  • [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0.[/latex]

Тогда интеграл [latex]I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

Спойлер

Покажем, что функция [latex]fg[/latex] удовлетворяет условию Коши на промежутке [latex][a,+\infty)[/latex]. Проинтегрируем эту функцию по частям:

[latex]\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|_{\xi’}^{\xi»}-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx,[/latex]

где [latex]\xi’,\xi»>a[/latex].
По первому условию теоремы можно утверждать, что:

[latex]\begin{vmatrix}\left.\begin{matrix}(Fg)\end{matrix}\right|_{\xi’}^{\xi»}\end{vmatrix}\leq[/latex][latex]M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|[/latex]
[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx\end{vmatrix}\leq[/latex][latex]M\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}.[/latex]

Обратим внимание на то, что при [latex]g'(x)\leq0[/latex] выполняется [latex]|g'(x)|=-g'(x)[/latex], и при [latex]g'(x)\geq0[/latex] выполняется [latex]|g'(x)|=g'(x)[/latex]. Рассмотрим эти два случая:

  • [latex]I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi’)-g(\xi»);[/latex]
  • [latex]I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi»)-g(\xi’).[/latex]

Получается, что

[latex]|I_{1}|=\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}\leq(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|).[/latex]

Тогда:

[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|)[/latex](*)

Поскольку [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0[/latex], то

 [latex]\forall\varepsilon>0\exists\delta_{\varepsilon}>0:\forall[/latex][latex]x\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)\rightarrow|g(x)|<\frac{\varepsilon}{4M}[/latex]

Для [latex]\xi’,\xi»\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)[/latex] из неравенства (*) и предыдущего условия следует, что

[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(\frac{\varepsilon}{4M}+\frac{\varepsilon}{4M})=\varepsilon.[/latex]

Получили, что функция [latex]fg[/latex] удовлетворяет условию Коши, и по критерию Коши сходимости интегралов [latex]I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

[свернуть]

Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.

Теорема (признак Абеля)

Если на полуоси [latex][a,+\infty)[/latex]:

  • функция [latex]f[/latex] непрерывна и интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex] сходится;
  • функция [latex]g[/latex] непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,

то интеграл [latex]\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

Спойлер

Заметим, что интегралы [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] и [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[-g(x)]dx[/latex] имеют одинаковый характер сходимости. Также, в силу монотонности функции [latex]g[/latex], одна из функций [latex]g[/latex] или [latex]-g[/latex] убывает.
Предположим, что убывает функция [latex]g[/latex]. Поскольку эта функция ограничена и монотонна, то существует конечный предел [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=c[/latex]. Так как функция [latex]g[/latex] убывает, то при [latex]x[/latex] стремящемся к [latex]+\infty[/latex] разность [latex]g(x)-c[/latex] тоже стремится к нулю.
Перепишем произведение функций [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] в следующем виде:

[latex]f(x)g(x)=f(x)[g(x)-c]+cf(x).[/latex]

В силу сходимости интеграла [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex], интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}cf(x)dx[/latex] сходится. Из этого же условия следует, что интеграл [latex]F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt[/latex] ограничен. Действительно, из существования конечного предела [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex] следует ограниченность функции [latex]F[/latex] в окрестности [latex]U(+\infty)=\left\{x:x>b\right\}[/latex] бесконечно удалённой точки [latex]+\infty[/latex]. Из непрерывности функции [latex]F[/latex] на сегменте [latex][a,b][/latex] следует её ограниченность. Получили, что [latex]F[/latex] ограничена на полуинтервале [latex][a,+\infty)[/latex]. Поскольку первообразная функции [latex]f[/latex] это [latex]F[/latex], то [latex]f[/latex] имеет ограниченную первообразную на [latex][a,+\infty)[/latex].
Для интеграла [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx[/latex] выполнены все условия признака Дирихле, следовательно этот интеграл сходится. В силу сходимости [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx[/latex], интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится, что и требовалось доказать.

[свернуть]

Примеры

Рассмотрим интеграл [latex]\int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx[/latex]. Исследуем его на сходимость.

Спойлер

Представим наш интеграл в виде суммы двух интегралов [latex]\int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}[/latex] и исследуем последний на сходимость. Запишем подынтегральное выражение в следующем виде:

[latex]\sin(x^2)=(x\sin(x^2))(\frac{1}{x}).[/latex]

[latex]f(x)=x\sin(x^2)[/latex], [latex]g(x)=\frac{1}{x}[/latex]. Пусть

[latex]F(x)=\int_{1}^{x}t\sin(t^2)dt,[/latex]

и применим подстановку [latex]z=t^2[/latex]. Тогда

[latex]\forall{x}:F(x)=\frac{\cos(1)-\cos(x^2)}{2},|F(x)|\leq1.[/latex]

Функция [latex]g(x)\rightarrow0(x\rightarrow+\infty),g'(x)<0[/latex], а значит интеграл сходится по признаку Дирихле.

[свернуть]

Теперь рассмотрим интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}\cdot\;arctg{x}}{x^p}[/latex]. Проверим его на сходимость.

Спойлер

Пусть [latex]f(x)=\frac{\sin{x}}{x^p}[/latex], [latex]g(x)=arctg(x)[/latex]. Интеграл [latex]\int_{1}^{\infty}f(x)dx[/latex] сходится по признаку Дирихле, т.к. интегралы [latex]\begin{vmatrix}\int_{1}^{x}\sin(t)dt\end{vmatrix}\leq2[/latex], а [latex]\frac{1}{x^p}[/latex] монотонно стремится к [latex]0[/latex]. Функция [latex]g(x)\rightarrow\frac{\pi}{2}(x\rightarrow+\infty),g'(x)>0[/latex]. По признаку Абеля интеграл сходится.

[свернуть]

Литература
  1. А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин, «Курс математического анализа», физмат-лит, 2001, стр. 377-380
  2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа», том №1, Высшая школа, 1988-1989, стр. 672-676
  3. Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том №2, стр. 564-565
  4. Конспект З.М. Лысенко
Тесты

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.