Тогда площадь находится по формуле: [latex]S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{(\varphi’ (t))^{2}+(\psi’ (t))^{2}}dt[/latex]
Полярное задание:
Дано [latex]r=f(\alpha )[/latex], где [latex]r[/latex] — расстояние от точки до начала координат, [latex]\alpha [/latex] — угол между радиус-вектором с концом в этой точке и осью [latex]OX[/latex].
[latex]L=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}dt[/latex], где [latex]t_1[/latex] и [latex]t_2[/latex] — координаты [latex]t[/latex] точек, ограничивающих часть кривой.
И дальше приспосабливаем последнюю формулу под обычный и полярный способы задания функций.
[свернуть]
Источники:
Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г., том 2, стр. 192. Издание 2001 года можно скачать здесь.
Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г., том 2, стр. 169. Издание 1964 года можно скачать в меню справа.
Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997 г., стр. 234-235(примеры задач). Можно также скачать в меню справа.
Путем на плоскости называется отображение [latex]t \mapsto (\varphi (t),\psi (t))[/latex] отрезка [latex]\left [ \alpha,\beta \right ][/latex] в [latex]\mathbb{R}^{2},[/latex] задаваемое парой непрерывных функций [latex]\varphi [/latex] и [latex]\psi.[/latex] Это означает, что каждому значению [latex]t\in \left [ \alpha,\beta \right ][/latex] ставится в соответствие точка плоскости с координатами [latex]\left ( x,y \right )[/latex], где [latex]x=\varphi (t),y=\psi(t).[/latex] След пути — множество точек [latex]\left \{ \left ( \varphi (t),\psi (t) \right )\in \mathbb{R}^{2}:\, t\in\left [ \alpha ,\beta \right ] \right \}.[/latex] Длина пути — точная верхняя грань длин ломанных, вписанных в след пути.
Если длина пути конечна, то путь называется спрямляемым.
Если функции [latex]\varphi[/latex] и [latex]\psi[/latex] непрерывно дифференцируемы на отрезке [latex]\left [ \alpha ,\beta \right ][/latex], то путь [latex]\gamma =(\varphi ,\psi )[/latex] называется дифференцируемым.
Теорема
Дан путь [latex]\gamma[/latex] : [latex]\left\{\begin{matrix} x=\varphi (t)\\y=\psi (t) \end{matrix}\right.[/latex]
Пусть [latex]\gamma = (\varphi ,\psi )[/latex] непрерывно дифференцируемый путь на отрезке [latex]\left [ \alpha ,\beta \right].[/latex]
Тогда [latex]L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{‘}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{‘}(t)\right ]^{2}}dt,[/latex] где [latex]L_{(\gamma )}[/latex] — длина пути.
Доказательство
Часть 1
[latex]\square [/latex] [latex]\Pi :\alpha =x_{0}<x_{1}< … <x_{n}=\beta [/latex] — произвольное разбиение отрезка [latex]\left [ \alpha ,\beta \right].[/latex] Возьмём ломаную, проведённую между точками с соседними номерами. Очевидно, её длина:
[latex]S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}[/latex] — как сумма расстояний между соседними точками.
По формуле конечных приращений:
Тогда длина ломаной будет равна: [latex]S=\Sigma _{1}^{n-1}\sqrt{(\varphi ‘(t))^{2}+(\psi ‘(t))^{2})}(t_{i+1}-t_i).[/latex]
Обозначим наибольшие значения производных [latex]\psi ‘(t)[/latex] и [latex]\varphi ‘(t)[/latex] :
[latex]L=sup(|\psi ‘(t)|)[/latex] и [latex]\overline{L}=sup(|\varphi ‘(t)|)[/latex].
Очевидно: [latex]S\leq \sqrt{L^{2}+\overline{L}^2}(T-t_{0}),[/latex] [latex]T[/latex] и [latex]t_0[/latex] — границы отрезка. Из неравенства делаем вывод, что путь спрямляем, так как длина ломаной ограничена сверху.
Аналогично, можно получить формулу:
[latex]S\geq \sqrt{l^{2}+\overline{l}^2}(T-t_{0})[/latex], где [latex]l=inf(|\psi ‘(t)|), \overline{l}=inf(|\varphi ‘(t)|)[/latex]
Получаем: [latex]\sqrt{L^2+\overline L^2}(T-t_0)\geq S\geq \sqrt{l^2+\overline l^2}(T-t_0), p=inf(S)[/latex]
А теперь возьмём точку [latex]a_1[/latex] на нашей дуге с координатами [latex](t_1,y_1)[/latex]. Придадим её абсциссе приращение [latex]\Delta t[/latex] и получим точку [latex]a_2(t_1+\Delta t, y_2)[/latex]. Получили две точки на дуге и часть дуги ограничена этими точками. Применим к этой части наше двойное неравенство.
При [latex]\Delta t \rightarrow 0[/latex] левая часть стремится к [latex]\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t.[/latex] Аналогично, для правой.
Получаем [latex]\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t\geq S\geq \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\Delta t[/latex]. Преобразуем это двойное неравенство:
[latex]\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}\geq \frac{S}{\Delta t}\geq \sqrt{(\varphi ‘(t))^2+(\psi ‘(t))^2}.[/latex]
[latex]L^{‘}_{(\gamma )}=\sqrt{(\varphi ‘(t))^2+((\psi ‘(t))^2}.[/latex]
Тогда [latex]L_{(\gamma )}=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left [ \varphi ^{‘}(t)\right ]^{2}+\left [ \psi ^{‘}(t)\right ]^{2}}dt,[/latex] где [latex]L_{(\gamma )}[/latex] — длина пути. [latex]\blacksquare [/latex]
Замечание: В первоисточниках, использованных при написании этого материала, доказательство теоремы не разбивается на 2 части. Тем не менее, для большего удобства здесь оно разбито на 2 основных части.
Следствия из теоремы
Из доказанной выше формулы получаются три формулы, описанные здесь и применяемые на практике.
