Метка: замена переменной

Замена переменных

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена и непрерывна на промежутке [latex][a,b)[/latex] и интегрируема в каждой части этого отрезка, не содержащей точки [latex]b[/latex], которая может быть и [latex]+\infty[/latex].

Рассмотрим теперь функцию [latex]x=\phi(t)[/latex], которая является монотонно возрастающей и непрерывной вместе со своей производной [latex]\phi'(t)[/latex] на промежутке [latex][\alpha,\beta)[/latex]. Допустим, что [latex]\phi(\alpha)=a[/latex] и [latex]\phi(\beta)=b[/latex]. Равенство [latex]\phi(\beta)=b[/latex] следует понимать как [latex]\lim_{t \to \beta}\phi(t)=b[/latex]. Если соблюдены все вышеперечисленные условия, то имеет место равенство:

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)=\int\limits_{a}^{b}f(\phi(t))\phi'(t)dt$$

при условии, что один из этих интегралов сходится. Из существования одного из двух интегралов в равенстве вытекает существование второго. Второй интеграл будет либо собственным,либо несобственным с единственной особой точкой [latex]\beta[/latex].

Доказательство

Пусть теперь [latex]x_0[/latex] и [latex]t_0[/latex] будут произвольными, но соответствующими значениям [latex]x[/latex] и [latex]t[/latex] и их промежуткам [latex](a,b)[/latex] и [latex](\alpha, \beta)[/latex]. Тогда будем иметь:

$$\int\limits_{a}^{x_0}f(x)=\int\limits_{a}^{t_0}f(\phi(t))\phi'(t)dt$$

Если существует второй из интегралов, будем приближать произвольным образом [latex]x_0[/latex] к [latex]b[/latex], при этом [latex]t_0=\theta(x_0)[/latex] устремится к [latex]\beta[/latex], существование второго интеграла доказано. Данное рассуждение одинаково применимо и к монотонно убывающей функции.

Спойлер

$$I=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}}=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\frac{dt}{\cos^2(t)}}{(tg^2(t)+1)^{2/3}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)dt=\sin(t)|_{0}{\frac{\pi}{2}}=1$$
file

[свернуть]

Литература

Тест : Замена переменных

Тест на знание метода замены переменных в случае несобственных интегралов

Замена переменной в интеграле Римана



Интеграл в смысле Римана
Функция $ f(x) $ называется интегрируемой по Риману на отрезке $ [a;b] $, если существует такое число A, что для любого разбиения отрезка $ [a;b] $, вида $ \Delta x_{i}=x_{i+1} — x_{i}, i=\overline{0,(n-1)}$, где $ a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n}=b$, и любого выбора точек $ \ \xi _{i}\ $, таких, что $ \ x_{i}\leq \xi _{i} \leq x_{i+1}\:$ существует предел последовательности интегральных сумм, и он равен A:
$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\lim\limits_{n \to \infty}\underset{i=0}{\overset{n-1}\sum}f(\xi_{i})\Delta x_{i} =A$$

Формулировка

Пусть:

  1. $ \varphi(t), f (x) \in C [a,b];$ (является непрерывной на $ [a,b]$)
  2. $ \varphi’ (t) \in C (\gamma ;\beta);$
  3. $ \forall \ t \in [\gamma ;\beta ]\ a\leq \varphi(t)\leq b;$
  4. $ \gamma = \varphi \left ( a \right ), \beta =\varphi \left ( b \right ).$
    Тогда имеет место формула:

$$ \underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}}f(\phi(t))\phi'(t)dt .$$

Доказательство

По теореме о дифференцировании сложной функции имеем, что: $ (F(\varphi(t)))’=F'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)=f(\varphi (t))\cdot \varphi'(t),$ то есть $ F(\varphi (t))$ является первообразной для $ f(\varphi (t))\varphi ‘(t) .$ Тогда по теореме Ньютона-Лейбница:

$$ \underset{\gamma }{\overset{\beta }{\int}} f ( \varphi (t) ){\varphi }’ ( t ) dt = F ( \varphi (t)) | _{\gamma } ^{\beta }= $$ $$ F(\varphi (\beta ))-F(\varphi (\gamma ))=F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx $$

Примеры:

  1. $$ \int \mathrm{ctg} (x)dx=\int \frac {\cos (x)}{\sin (x)}dx=\begin{bmatrix}t=\sin (x)\\dt=\cos (x)dx\end{bmatrix} = $$$$ \int \frac {dt} {t} = \ln |t|+C= \ln |\sin (x)|+c $$ $$\ $$
  2. $$ \underset{0}{\overset{1}{\int}}x\cdot (2-x^{2})^{5}dx=\begin{bmatrix} t=2-x^{2}\\ dt=d(2-x^{2})=(2-x^{2})’dx=-2xdx\end{bmatrix}= $$$$ =\begin{pmatrix}x=1\Rightarrow t=2-1^{2}=1\\x=0\Rightarrow t=2-0^{2}=2\end{pmatrix}=\underset{2}{\overset{1}{\int}}-\frac{1}{2}\cdot t^{5}dt=-\frac{1}{2}\underset{2}{\overset{1}{\int}}t^{5}dt= $$$$ ={-\frac{1}{12}}\cdot \left ( t^{6}\mid ^{1}_{2} \right )=-\frac{1}{12}(1-2^{6})=\frac{21}{4} $$ $$\ $$
  3. Если функция $ f(x) $ чётная и непрерывная на $ [-a;a] ,$ то $$ \underset{-a}{\overset{a}{\int}}f(x)dx=2\cdot\underset{0}{\overset{a}{\int}}f(x)dx $$ А если функция $ f(x) $ нечётная и непрерывная на $ [-a;a] ,$ то $$ \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }}f(x)dx=0$$ Для доказательства уравнений в обоих случаях необходимо представить интеграл в виде суммы интегралов: $ \underset {-a}{ \overset {a}{ \int }} f(x)dx= \underset {-a}{ \overset {0}{ \int }}f(x)dx + \underset {0} { \overset {a}{ \int }}f(x)dx ,$ и в первом слагаемом произвести замену $ x=-t $ .(Самостоятельно)

Литература:

  1. Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 г. 13 изд. стр.184
  2. Л. Д. Кудрявцев «Курс Математического анализа 1.» стр. 596-600
  3. В. И. Коляда А. А. Кореновский «Курс лекций по математическому анализу» Часть первая, 2009 года, стр. 176-180
  4. Варятанян Г. М. Математический анализ. Часть 1(3). 2009 с. 54-56, 77

Тест

Замена переменной в интеграле Римана.


Таблица лучших: Замена переменной в интеграле Римана

максимум из 35 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных