Определение
Частная производная (по независимым переменным) от частной производной порядка $m-1$ называется частной производной порядка $m(m=1,2,…)$.
Частная производная, полученная с помощью дифференцирования по разным переменным, называется смешанной частной производной.
Частные производные высших порядков сохраняют все те же свойства, что и обычные частные производные.
Пример
Пусть дана функция $f(x,y,z)$.
Частной производной первого порядка по $x$ будет $\frac { df }{ dx } $.
Частной производной второго порядка по $x$ будет $\frac { { d }^{ 2 }f }{ d{ x }^{ 2 } } $
Смешанной производной третьего порядка будет $\frac { { d }^{ 3 }f }{ d{ x }^{ 2 }dy }$
Геометрический смысл частной производной
Пусть нам дана функция [latex]z(x,y)[/latex], которая имеет частную производную в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$. Пусть на рисунке изображена поверхность графика функции $z$. Проведем плоскость $y={y}_{0}$. Плоскость пересечет поверхность по линии [latex]T{ P }_{ 0 }[/latex]. Проведем касательную ${ P }_{ 0 }A$ к линии ${ P }_{ 0 }T$. Прямая ${ P }_{ 0 }A$ образует угол $\alpha$ с осью $Ox$. Тангенс угла наклона к оси $Ox$ касательной к графику функции $f(x,{ y }_{ 0 })$ в точке ${ x }_{ 0 }$ и есть частная производная по $x$ функции $z$ в точке ${ M }_{ 0 }({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$.
$$
{\rm \tg}\alpha =\frac { dz({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) }{ dx } ={ f }_{ x }^{ \prime }({ M }_{ 0 })
$$
Использованная литература
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.254-255
- Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, 1964г. стр.402-404;
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2, 1988-1989г., стр. 273-274;
Частные производные высших порядков
Тест на понимание темы «Частные производные высших порядков»
Таблица лучших: Частные производные высших порядков
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
