Метка: криволинейный интеграл первого рода

Пусть дана гладкая кривая [latex]\Gamma[/latex], которая задана уравнением в координатной форме, то есть [latex]\Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \}[/latex] и пусть функция [latex]f(x, y, z)[/latex] непрерывна вдоль кривой [latex]\Gamma[/latex]. Тогда существует криволинейный интеграл первого рода [latex]\int_{\Gamma}f(x, y, z)ds[/latex] и выполняется равенство:
$${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\,dt.$$

Замечания:

• Если [latex]\Gamma =\left \{ y = \psi(x), \alpha \leq x\leq \beta \right \}[/latex] и [latex]y = \psi(x)[/latex] непрерывно дифференцируема на отрезке [latex][a,b][/latex] и существует криволинейный интеграл первого рода [latex]\int_{\Gamma}f(x, y)ds[/latex], то выполняется равенство:
  $${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x, \psi(x))\sqrt{1 +(\psi'(x))^2}\,dx.$$
• Если [latex]\Gamma =\left \{ x = \varphi (y), \alpha \leq y\leq \beta \right \}[/latex], то
  $$ { \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(\varphi (y), y)\sqrt{1 +(\varphi'(y))^2}\,dy.$$

  [spoilergroup]
  

  Пример

  Вычислить криволинейный интеграл первого рода $$I = { \underset { \Gamma }{ \int } }(x+y)\,ds,$$
  где кривая [latex]\Gamma[/latex] — граница треугольника с вершинами [latex]O(0;0)[/latex], [latex]A(1;0)[/latex], [latex]B(1;1)[/latex].

  
  Решение

  Пусть [latex]I_1[/latex], [latex]I_2[/latex], [latex]I_3[/latex] — криволинейные интегралы первого рода от функции [latex]x+y[/latex] по отрезкам [latex]OA[/latex], [latex]AB[/latex], [latex]BO[/latex]. Отрезок [latex]AB[/latex] задан уравнением [latex]x=1[/latex], [latex]0\leq y\leq 1[/latex]. Тогда
  $$I_2 = \overset {1}{ \underset {0}{ \int }}(y+1)\,dy = \frac{3}{2}.$$
  Отрезок [latex]BO[/latex] задан уравнением [latex]y = x[/latex], [latex]0\leq x\leq 1[/latex]. Тогда
  $$I_3 = \overset {1}{ \underset {0}{ \int }}2x\sqrt{2}\,dx = \sqrt{2}.$$
  Отрезок [latex]AO[/latex] задан уравнением [latex]y = 0[/latex], [latex]0\leq x\leq 1[/latex]. Тогда
  $$I_1= \overset {1}{ \underset {0}{ \int }}x\,dx = \frac{1}{2}.$$
  Отсюда следует, что [latex]I = I_1 + I_2 + I_3 = \sqrt{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 + \sqrt{2}[/latex].

  [свернуть]
  .
  [/spoilergroup]
• В случае, если кривая [latex]\Gamma[/latex] задана в полярной системе координат, то есть [latex]\Gamma = \left \{ \left. r = r(\varphi), \varphi_1\leq \varphi \leq \varphi _2 \right \} \right.[/latex] и [latex]r(\varphi)[/latex] непрерывно дифференцируема на отрезке [latex][\varphi_1, \varphi_2][/latex], то выполняется равенство:
  $${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\varphi_2}{ \underset {\varphi_1}{ \int }} f(r(\varphi) \cos\varphi, r(\varphi) \sin\varphi)\sqrt{{r}^2(\varphi) + {(r'(\varphi))^2}}\,d\varphi.$$

  [spoilergroup]
  

  Пример

  Вычислить криволинейный интеграл первого рода [latex]\int_{\Gamma }\sqrt{x^2 + y^2}{\mathrm{d} s}[/latex], где кривая [latex]\Gamma[/latex] задана уравнением [latex](x^2+y^2)^{\frac{3}{2}} = a^2(x^2 — y^2)[/latex].

  Решение

  Совершим переход к полярной системе координат, тогда [latex]x = r\cos\varphi[/latex], [latex]y = r\sin\varphi[/latex]. В этом случае уравнение кривой можно записать в следующем виде: [latex]r = a^2\cos2\varphi[/latex], [latex]\varphi \in\Phi = \left \{ \varphi , -\frac{\pi }{4} \leq \varphi \leq \frac{\pi }{4}, \frac{3\pi }{4}\leq \varphi \leq \frac{5\pi }{4}\right \}[/latex].

  Для того, чтобы вычислить криволинейный интеграл первого рода воспользуемся равенством:
  $${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y)\,ds = \overset {\varphi_2}{ \underset {\varphi_1}{ \int }} f(r(\varphi) \cos\varphi, r(\varphi) \sin\varphi)\sqrt{{r}^2(\varphi) + {r’}^2(\varphi)}\,d\varphi.$$
  Поскольку,
  \(\sqrt{x^2 + y^2} = r = a^2\cos2\varphi\), \(\sqrt{r^2 + r’^2} = a^2\sqrt{1+3\sin^22\varphi }\),
  то
  \({ \underset {\Gamma}{ \int }}\sqrt{x^2 + y^2}\,ds = { \underset {\varphi\in\Phi}{ \int }}a^4\cos2\varphi\sqrt{1 + 3\sin^22\varphi}\,d\varphi = \)
  \(=\frac{2a^4}{2\sqrt{3}}\overset {\frac{\pi}{4}}{ \underset {-\frac{\pi}{4}}{ \int }}\sqrt{1 + 3\sin^22\varphi }\,d(\sqrt{3}\sin2\varphi) = 2a^4 + \frac{a^4}{\sqrt{3}}\ln(\sqrt{3}+2)\).

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]

Литература

• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, том 2, стр. 494-498
• Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу. Том 3. — 2-е изд., 2003 г. стр. 255-256, 259
• Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. — 4-е изд., 2001 г. стр. 321

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 3 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 1

   Какие условия гарантируют выполнение равенства ${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2}\,dt$

   • Функция $f(x, y, z)$ непрерывна вдоль кривой $\Gamma$.
   • Существует криволинейный интеграл первого рода ${ \underset {\Gamma}{ \int }}f(x, y, z)\,ds$.
   • Кривая $\Gamma$ является гладкой.
   • Функция $f(x, y, z)$ монотонно возрастает на $\mathbb{R^3}$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 1

   Вычислить криволинейный интеграл первого рода ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}})\,dl$, где кривая $\Gamma$ — астроида $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$

   • $4a$
   • $4a^{\frac{7}{3}}$
   • $4$
   • $4a^{\frac{3}{7}}$
   Правильно
   

   Запишем параметрическое уравнение астроиды: $x = a\cos^3t$, $y = a\sin^3t$, $0\leq t\leq 2\pi$. Так как $x’ = -3a\cos^2t\sin{t}$, $y’ = 3a\cos{t}\sin^2{t}$, то $x’^2 + y’^2 = 9a^2\cos^2t\sin^2t$. Тогда
   ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}})\,dl = \overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}a^\frac{4}{3}(\cos^4t + \sin^4t)3a|\cos{t}\sin{t}|\,dt=$
   $=12a^\frac{7}{3}\overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}(\cos^5t\sin{t} + \sin^5t)\,dt =$
   $ =12a^\frac{7}{3}\left (-\frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} + \frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} \right ) = 4a^{7/3}$

   Неправильно
   

   Запишем параметрическое уравнение астроиды: $x = a\cos^3t$, $y = a\sin^3t$, $0\leq t\leq 2\pi$. Так как $x’ = -3a\cos^2t\sin{t}$, $y’ = 3a\cos{t}\sin^2{t}$, то $x’^2 + y’^2 = 9a^2\cos^2t\sin^2t$. Тогда
   ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}})\,dl = \overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}a^\frac{4}{3}(\cos^4t + \sin^4t)3a|\cos{t}\sin{t}|\,dt=$
   $=12a^\frac{7}{3}\overset {2\pi}{ \underset {0}{ \int }}(\cos^5t\sin{t} + \sin^5t)\,dt =$
   $ =12a^\frac{7}{3}\left (-\frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} + \frac{\cos^6t}{6}\bigg|_0^\mathrm{\frac{\pi}{2}} \right ) = 4a^{7/3}$
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Разместить значения интегралов в порядке убывания:

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } (2x + 4y-4z+7 )\,ds$, где $\Gamma$ - отрезок прямой между точками $M_1(8, 9,3)$ и $M_2(6, 10,5)$
   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds$, где $\Gamma$ - окружность $x^2 + y^2 = R$
   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds$ по дуге окружности $x(t) = \cos t$, $y(t) = \sin t$, $\frac{\pi}{2}\leq t\leq \pi$
   Правильно
   

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } (2x + 4y-4z+7 )\,ds = 129$

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = 0$, где $\Gamma$ — окружность $x^2 + y^2 = R$

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = -\frac{1}{2}$

   Неправильно
   

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } (2x + 4y-4z+7 )\,ds = 129$

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = 0$, где $\Gamma$ — окружность $x^2 + y^2 = R$

   ${ \underset { \Gamma }{ \int } } xy\,ds = -\frac{1}{2}$

Определение

Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат и задана гладкая кривая [latex] \Gamma[/latex] уравнением в координатной форме, то есть [latex]\Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \}[/latex]. Пусть теперь на множестве, которое входит в данное пространство задана непрерывная функция [latex]f(x, y, z)[/latex]. Тогда определенный интеграл вида:
$$\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$ называется криволинейным интегралом первого рода от функции [latex]f[/latex] по кривой [latex] \Gamma[/latex].

Свойства криволинейных интегралов первого рода

• Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой, то есть
  $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$
  [spoilergroup]
  
  Доказательство

  Разобьем кривую [latex] \Gamma[/latex] на части, то есть [latex]\Gamma = (\Gamma_1,…,\Gamma_n)[/latex], таким образом, что конечная точка кривой [latex] \Gamma_i[/latex] совпадает с начальной точкой кривой [latex] \Gamma_{i+1}[/latex], [latex]i = \overline{i,n}[/latex]. Тогда интеграл [latex]\int_{\Gamma}f(x, y, z)ds[/latex] по свойству аддитивности определенного интеграла, если [latex]\Gamma_i = r(t) [/latex] [latex](\alpha_i \leq t \leq \beta _i)[/latex], [latex]\alpha _1 = \alpha[/latex] , [latex] \beta _n = \beta [/latex], можно представить следующим образом:
  ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =$
  $=\sum\limits_{i=1}^{n}\overset {\beta_i}{ \underset {\alpha_i}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =\sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {\Gamma_i}{ \int }}f(x,y,z)\,ds.$

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]
• Криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой, то есть
  $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds = { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds $$
  [spoilergroup]
  
  Доказательство

  Пусть точка [latex]A[/latex] — начало кривой [latex]\Gamma[/latex], точка [latex]B[/latex] — конец кривой [latex]\Gamma[/latex], а [latex]S[/latex] — ее длина. Пусть точка [latex]M = r(s)[/latex] принадлежит кривой [latex]AB[/latex], а [latex]s[/latex] — длина дуги [latex]\buildrel\,\,\frown\over{AM}[/latex]. Пусть [latex]\delta [/latex] — длина дуги [latex]\buildrel\,\,\frown\over{BM}[/latex], тогда [latex]\delta = S — s[/latex]. Представлением кривой [latex]BA[/latex] является функция [latex]r = r(S — \delta )[/latex], [latex]0\leq \delta \leq S[/latex].
  Совершив в интеграле замену [latex]s = S — \delta [/latex], учитывая, что [latex]{\mathrm{d} s} = -{\mathrm{d} \delta }[/latex], получаем:
  \( { \underset {\buildrel\,\,\frown\over{AB}}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds = \)
  \(=-\overset {0}{ \underset {S}{ \int }} f(x(S — \delta), y(S — \delta), z(S — \delta))\,d\delta = \)
  \( =\overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(S — \delta), y(S — \delta), z(S — \delta))\,d\delta = { \underset {\buildrel\,\,\frown\over{BA}}{ \int }}f(x, y, z)\,d\delta.\)

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]
• Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
  [spoilergroup]
  
  Доказательство

  Перейдем от данного уравнения [latex]r = r(t)[/latex], [latex]\alpha \leq t\leq \beta [/latex] к уравнению [latex]\rho = \rho (\tau )[/latex], [latex]\alpha \leq \tau \leq \beta[/latex] с помощью представления параметра [latex]t[/latex] через непрерывную строго возрастающею функцию другого параметра, то есть [latex]t = t(\tau )[/latex]. Получим:
  \(\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt =\)
  \(= \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t(\tau)), y(t(\tau)), z(t(\tau)))\left | \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}(t(\tau)) \right|t'(\tau)\,d\tau =\)
  \(=\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(\xi(\tau), \eta(\tau), \zeta(\tau))\,d\tau\),
  где \(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} = |r'(t)|\).

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]

  Замечание: если для параметризации кривой [latex]\Gamma[/latex] использовать натуральный параметр (длину дуги), то криволинейный интеграл первого рода приобретет следующий вид:
  $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds, $$
  так как [latex]|r'(s)| = 1[/latex], [latex]0\leq s\leq S[/latex].

Физический смысл криволинейных интегралов первого рода

Пусть криволинейный интеграл первого рода представлен в следующем виде:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds. $$
Если правую часть равенства записать в виде предела интегральных сумм, то тогда получим:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \underset { l(T) \rightarrow 0 }{ \lim } \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i, y_i, z_i)\Delta s_i,$$
где [latex]x_i = x(s_i)[/latex], [latex]y = y(s_i)[/latex], [latex]z_i = z(s_i)[/latex], [latex]T[/latex] — разбиение отрезка [latex][0, S][/latex], то есть [latex]0 = s_0 < s_1 < … <s_n = S[/latex], [latex]\Delta s_i = s_i — s_{i-1}[/latex]. Разбиению кривой [latex]\Gamma[/latex] на дуги [latex]\Gamma _{s_{i-1}s_i}[/latex], [latex]i = \overline{1,n}[/latex] (рисунок 1) соответствует разбиение [latex]T[/latex] отрезка [latex][0, S][/latex] (рисунок 2).

[spoilergroup]

[spoilergroup]

Если рассматривать случай, когда функция [latex]f(x, y, z)[/latex] неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность распределения массы, а криволинейный интеграл [latex]\int_{\Gamma }f (x, y, z){\mathrm{d}s} — [/latex] как массу кривой [latex]\Gamma[/latex].

[spoilergroup]

Литература

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., 2001 г. стр. 493-495
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, том 2, стр. 494-498
• Коляда В.И. и Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу, часть 2, стр. 222-226
• Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. — 4-е изд., 2001 г. стр. 321

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Криволинейный интеграл первого рода от функции [latex]f(x, y, z)[/latex] по кривой [latex]\Gamma[/latex] имеет следующий вид:

   • $\Gamma(x) = \overset {+\infty}{ \underset {0}{ \int }}t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\,dt,\, x>0$
   • $ { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt$
   • ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(F,dr) = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}(F(x(t),y(t), z(t)),r'(t))\,dt$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Вставьте пропущенные слова:

   • При естественной параметризации кривой $\Gamma$ криволинейный интеграл первого рода приобретает следующие пределы интегрирования: от (0) до (S).

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Какой должна быть функция $f(x,y,z)$, чтобы выполнялось равенство: $\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Найти соответствие между равенством и свойством криволинейного интеграла первого рода, которое это равенство описывает.

   Элементы сортировки

   • аддитивность относительно кривой
   • независимость от ориентации кривой
   • естественная параметризация

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = $ $ =\sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds =$ $= { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds$

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds =$ $= \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds$

   Правильно
   

   Неправильно