Метка: линейные пространства

Ранг матрицы

Пусть задана матрица $$\begin{equation*}
A = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right)
\end{equation*}, $$ где $n$ столбцов и $m$ строк. Заметим, что числа не имеют никакой связи между собой. Будем рассматривать столбцы как вектора $m-$мерного пространства. То есть в таком виде: $$ \alpha_1 = \left(a_{11}, a_{21},\dots,a_{m1}\right),$$ $$\alpha_2 = \left(a_{12}, a_{22},\dots,a_{m2}\right),$$ $$\vdots$$ $$\alpha_m = \left(a_{1n}, a_{2n},\dots,a_{mn}\right).$$ Они могут быть линейно зависимыми. Тогда имеет место такое определение:

Определение. Пусть задана матрица $A = \|a_{ij}\| \in M_{m \times n}(P).$
Рангом матрицы называется ранг системы её столбцов, то есть количество векторов (столбцов) в максимально линейно независимой системе столбцов матрицы $A.$ Обозначение: $\mathop{\rm rank} A.$

Примечание. Ранг нулевой матрицы равен нулю.
$$\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix} \right).$$ Как видим, столбцы равны между собой, а значит линейно независимые столбцы отсутствуют, их количество равно нулю и, по определению, ранг равен нулю.

Ранг системы столбцов также можно называть «столбцовым» рангом. Очевидно, для строк существует аналогичное название — «строчный» ранг. Однако в этом случае строки будут рассматриваться как вектора $n-$мерного пространства, а именно: $$ \beta_1 = \left(a_{11}, a_{12},\dots,a_{1n}\right),$$ $$\beta_2 = \left(a_{21}, a_{22},\dots,a_{2n}\right),$$ $$\vdots$$ $$\beta_n = \left(a_{m1}, a_{m2},\dots,a_{mn}\right).$$ Ранги равны между собой, что следует из теоремы о ранге матрицы. Необходимо упомянуть, что $\mathop{\rm rank} A \leqslant min\left\{n,m\right\}$, где $n$ — количество столбцов матрицы $A$, а $m$ — количество строк. Этот факт также следует из теоремы.

Пример. Найти ранг матрицы $$A = \left(\begin{array}{rrr} -1 & 3 & 2 & 5 & 12 & -6 \\ 5 & 4 & -1 & -25 & 16 & 3 \\ 2 & 0 & 3 & -10 & 0 & 9 \end{array} \right).$$Запишем столбцы как вектора и проверим есть ли зависимость: $$ \alpha_1 = \left(-1,5,2\right),~ \alpha_2 = \left(3, 4, 0\right),~ \alpha_3 = \left(2,-1,3\right), $$ $$\alpha_4 = \left(5,-25,-10\right),~ \alpha_5 = \left(12,16,0\right),~ \alpha_6 = \left(-6,3,9\right).$$ В нашем случае она очевидна: $$\alpha_4 =-5 \cdot \alpha_1,~ \alpha_5 = 4 \cdot \alpha_2,~ \alpha_6 =-3 \cdot \alpha_3.$$ Значит, линейно независимых столбцов в матрице три и, по определению, $\mathop{\rm rank} A = 3. $

Пример. Найти ранг матрицы $$A = \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ -3 & 6 & 7 & 8 \\ -2 & -4 & 8 & 0\end{array} \right).$$ Ранг столбцов равен $4.$ Но это превышает ранг матрицы, который должен быть не больше трех. Узнаем, с помощью элементарных преобразований, есть ли среди строк линейно зависимые: $$\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ -3 & 6 & 7 & 8 \\ -2 & -4 & 8 & 0\end{array} \right) \thicksim \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 11 & -5 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array} \right) \thicksim \left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -4 & 0 \\ 0 & 11 & -5 & 8 \end{array} \right).$$Линейно независимых строк две. Позже будет доказано, что «строчный» ранг равен рангу матрицы. А так как нам известен ранг строк, можно сказать, что $\mathop{\rm rank} A = 2.$

Смотрите также

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, стр. 71
  2. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры — 2009 стр. 346
  3. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.

Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц [latex]S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid [/latex]\(\ \)[latex]A^{t}=A \}[/latex]. Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем [latex]\mathbb R[/latex]?

Спойлер

Чтобы решить данную задачу нужно проверить выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]S[/latex].

  1. По теореме об аддитивной группе матриц [latex]\left(S,+ \right)[/latex] — абелева группа. Таким образом, первая группа аксиом выполняется.
  2. Проверим выполнение свойств для данного отображения [latex]\bullet:\mathbb R \times S \rightarrow S[/latex]
    • [latex]E \cdot A=A,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S[/latex]
      [latex]\begin{Vmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
    • [latex]\alpha \left(\beta A \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \beta \right)A,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha,\beta \in \mathbb R[/latex]
      [latex]\alpha\left(\beta \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha \beta a_{1}& \alpha \beta a_{2}\\ \alpha \beta a_{2}& \alpha \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]

    Таким образом, вторая группа аксиом выполняется.

  3. Проверим выполнение третьей группы аксиом:
    • [latex]\alpha \left(A + B \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha A + \alpha B,[/latex]\(\ \)[latex] \forall \alpha \in \mathbb R,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A, B \in S[/latex]
      [latex]\alpha \left(\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}+b_{1}& a_{2}+b_{2}\\ a_{2}+b_{2}& a_{1}+b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)& \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)\\ \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)& \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\alpha b_{1}& \alpha a_{2}+\alpha b_{2}\\ \alpha a_{2}+\alpha b_{2}& \alpha a_{1}+\alpha b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \alpha b_{1}& \alpha b_{2}\\ \alpha b_{2}& \alpha b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \alpha \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
    • [latex]\left(\alpha + \beta \right)A=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha A + \beta A, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha,\beta \in \mathbb R,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S[/latex]
      [latex]\left(\alpha + \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \left(\alpha + \beta \right) a_{1}& \left(\alpha + \beta \right) a_{2}\\ \left(\alpha + \beta \right) a_{2}& \left(\alpha + \beta \right) a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\beta a_{1}& \alpha a_{2}+\beta a_{2}\\ \alpha a_{2}+\beta a_{2}& \alpha a_{1}+\beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \beta \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]

    Таким образом, третья группа аксиом выполняется.

[latex]\Rightarrow[/latex] множество симметричных матриц является абстрактным линейным пространством над полем [latex]\mathbb R.[/latex]

[свернуть]

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество [latex]F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid [/latex]\(\ \)[latex] \deg f\left(x\right)=n\}[/latex]. Проверить, является ли данное множество над полем [latex]\mathbb R[/latex] абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]F[/latex].

Здесь очевидно, что данное множество относительно операции «+» не является группой, так как операция «+» не является БАО на множестве [latex]F[/latex] (не выполняется условие замкнутости, так как сумма многочленов степени n в результате может оказаться многочленом меньшей степени). [latex]\Rightarrow[/latex] множество [latex]F[/latex] над полем [latex]\mathbb R[/latex] не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом можно не проверять.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи

Дано множество [latex]T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid [/latex]\(\ \)[latex] \deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge [/latex]\(\ \)[latex] a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}[/latex], где [latex]a_{i}[/latex] — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем [latex]\mathbb R[/latex] абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]T[/latex].

В данном случае это множество также не является группой относительно операции «+», так как коэффициенты многочленов являются положительными, а значит, что обратного, а отсюда и нейтрального элементов у данного множества нет. [latex]\Rightarrow[/latex] множество [latex]T[/latex] над полем [latex]\mathbb R[/latex] не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом также можно не проверять.

[свернуть]

Литература:

  1. Лекции Г.С. Белозерова
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
  3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Абстрактные линейные пространства

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть [latex]X\neq \varnothing[/latex], [latex]\mathbb P[/latex] — поле. [latex]\left(X,\mathbb P \right)[/latex] называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На [latex]X[/latex] задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой [latex]\left(X,+ \right)[/latex] — абелева группа.
  2. Задано отображение: [latex]\bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X[/latex] такое, что:
    • [latex]1 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]x, \forall x\in X,[/latex]
    • [latex]\alpha \left(\beta x \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha\beta \right)x,[/latex]\(\ \)[latex] \forall x\in X,[/latex]\(\ \)[latex] \forall \alpha, \beta \in \mathbb P.[/latex]
    • [latex]\alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x_{1} + \alpha x_{2}, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha \in \mathbb P,[/latex]\(\ \)[latex] \forall x_{1}, x_{2} \in X,[/latex]
    • [latex]\left(\alpha + \beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \beta x,[/latex]\(\ \)[latex] \mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P, [/latex]\(\ \)[latex]\mathcal{8} x \in X.[/latex]

Элементы поля [latex]\mathbb P[/latex] называются скалярными, а множество [latex]X[/latex] называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. [latex]\alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha \cdot 0=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \left(0 + 0 \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)[/latex]
    [latex]\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)[/latex]
    [latex]0=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0[/latex]

    [свернуть]
  2. [latex]0 \cdot x=0, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 1.

    [свернуть]
  3. [latex]\left(-\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\left(-\alpha \right)x + \alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]-\left(\alpha x \right)[/latex]

    [свернуть]
  4. [latex]\left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 3.

    [свернуть]
  5. [latex]\left(\alpha — \beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \left(-\beta x\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \left(-\beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \beta x[/latex]

    [свернуть]
  6. [latex]\alpha \left(x — y \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 5.

    [свернуть]
  7. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Leftrightarrow \alpha =[/latex]\(\ \)[latex]0 \vee x=[/latex]\(\ \)[latex]0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow[/latex] Пусть [latex]\alpha \neq 0[/latex]
    [latex]x=[/latex]\(\ \)[latex]1 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\frac{1}{\alpha}\cdot 0=[/latex]\(\ \)[latex]0[/latex]

    [свернуть]
  8. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=[/latex]\(\ \)[latex]y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha y \Rightarrow \alpha x — \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x — y \right)=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow x — y=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow x=y[/latex]

    [свернуть]
  9. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =[/latex]\(\ \)[latex] \beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 8.

    [свернуть]

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, [latex]V_{1}, V_{2}, V_{3}[/latex]
  2. [latex]\left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)[/latex]
  3. [latex]\left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right][/latex]
  4. [latex]\left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}[/latex]
  5. [latex]\left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R[/latex]
  6. [latex]\left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P[/latex]

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных