Определение

Пусть в трехмерном пространстве выбрана прямоугольная система координат и задана гладкая кривая [latex] \Gamma[/latex] уравнением в координатной форме, то есть [latex]\Gamma =\left \{ x = x(t), y = y(t), z = z(t), \alpha \leq t\leq \beta \right \}[/latex]. Пусть теперь на множестве, которое входит в данное пространство задана непрерывная функция [latex]f(x, y, z)[/latex]. Тогда определенный интеграл вида:
$$\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$ называется криволинейным интегралом первого рода от функции [latex]f[/latex] по кривой [latex] \Gamma[/latex].

Свойства криволинейных интегралов первого рода

• Криволинейный интеграл первого рода аддитивен относительно кривой, то есть
  $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$$
  [spoilergroup]
  
  Доказательство

  Разобьем кривую [latex] \Gamma[/latex] на части, то есть [latex]\Gamma = (\Gamma_1,…,\Gamma_n)[/latex], таким образом, что конечная точка кривой [latex] \Gamma_i[/latex] совпадает с начальной точкой кривой [latex] \Gamma_{i+1}[/latex], [latex]i = \overline{i,n}[/latex]. Тогда интеграл [latex]\int_{\Gamma}f(x, y, z)ds[/latex] по свойству аддитивности определенного интеграла, если [latex]\Gamma_i = r(t) [/latex] [latex](\alpha_i \leq t \leq \beta _i)[/latex], [latex]\alpha _1 = \alpha[/latex] , [latex] \beta _n = \beta [/latex], можно представить следующим образом:
  ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =$
  $=\sum\limits_{i=1}^{n}\overset {\beta_i}{ \underset {\alpha_i}{ \int }}f(x(t),y(t),z(t))|r'(t)|\,dt =\sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {\Gamma_i}{ \int }}f(x,y,z)\,ds.$

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]
• Криволинейный интеграл не зависит от ориентации кривой, то есть
  $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds = { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds $$
  [spoilergroup]
  
  Доказательство

  Пусть точка [latex]A[/latex] — начало кривой [latex]\Gamma[/latex], точка [latex]B[/latex] — конец кривой [latex]\Gamma[/latex], а [latex]S[/latex] — ее длина. Пусть точка [latex]M = r(s)[/latex] принадлежит кривой [latex]AB[/latex], а [latex]s[/latex] — длина дуги [latex]\buildrel\,\,\frown\over{AM}[/latex]. Пусть [latex]\delta [/latex] — длина дуги [latex]\buildrel\,\,\frown\over{BM}[/latex], тогда [latex]\delta = S — s[/latex]. Представлением кривой [latex]BA[/latex] является функция [latex]r = r(S — \delta )[/latex], [latex]0\leq \delta \leq S[/latex].
  Совершив в интеграле замену [latex]s = S — \delta [/latex], учитывая, что [latex]{\mathrm{d} s} = -{\mathrm{d} \delta }[/latex], получаем:
  \( { \underset {\buildrel\,\,\frown\over{AB}}{ \int }}f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds = \)
  \(=-\overset {0}{ \underset {S}{ \int }} f(x(S — \delta), y(S — \delta), z(S — \delta))\,d\delta = \)
  \( =\overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(S — \delta), y(S — \delta), z(S — \delta))\,d\delta = { \underset {\buildrel\,\,\frown\over{BA}}{ \int }}f(x, y, z)\,d\delta.\)

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]
• Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
  [spoilergroup]
  
  Доказательство

  Перейдем от данного уравнения [latex]r = r(t)[/latex], [latex]\alpha \leq t\leq \beta [/latex] к уравнению [latex]\rho = \rho (\tau )[/latex], [latex]\alpha \leq \tau \leq \beta[/latex] с помощью представления параметра [latex]t[/latex] через непрерывную строго возрастающею функцию другого параметра, то есть [latex]t = t(\tau )[/latex]. Получим:
  \(\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }} f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt =\)
  \(= \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(x(t(\tau)), y(t(\tau)), z(t(\tau)))\left | \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}(t(\tau)) \right|t'(\tau)\,d\tau =\)
  \(=\overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}f(\xi(\tau), \eta(\tau), \zeta(\tau))\,d\tau\),
  где \(\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} = |r'(t)|\).

  [свернуть]
  
  [/spoilergroup]

  Замечание: если для параметризации кривой [latex]\Gamma[/latex] использовать натуральный параметр (длину дуги), то криволинейный интеграл первого рода приобретет следующий вид:
  $${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds, $$
  так как [latex]|r'(s)| = 1[/latex], [latex]0\leq s\leq S[/latex].

Физический смысл криволинейных интегралов первого рода

Пусть криволинейный интеграл первого рода представлен в следующем виде:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds. $$
Если правую часть равенства записать в виде предела интегральных сумм, то тогда получим:
$${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \underset { l(T) \rightarrow 0 }{ \lim } \sum\limits_{i=1}^{n}f(x_i, y_i, z_i)\Delta s_i,$$
где [latex]x_i = x(s_i)[/latex], [latex]y = y(s_i)[/latex], [latex]z_i = z(s_i)[/latex], [latex]T[/latex] — разбиение отрезка [latex][0, S][/latex], то есть [latex]0 = s_0 < s_1 < … <s_n = S[/latex], [latex]\Delta s_i = s_i — s_{i-1}[/latex]. Разбиению кривой [latex]\Gamma[/latex] на дуги [latex]\Gamma _{s_{i-1}s_i}[/latex], [latex]i = \overline{1,n}[/latex] (рисунок 1) соответствует разбиение [latex]T[/latex] отрезка [latex][0, S][/latex] (рисунок 2).

[spoilergroup]

[spoilergroup]

Если рассматривать случай, когда функция [latex]f(x, y, z)[/latex] неотрицательна, то ее можно интерпретировать как линейную плотность распределения массы, а криволинейный интеграл [latex]\int_{\Gamma }f (x, y, z){\mathrm{d}s} — [/latex] как массу кривой [latex]\Gamma[/latex].

[spoilergroup]

Литература

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., 2001 г. стр. 493-495
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, том 2, стр. 494-498
• Коляда В.И. и Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу, часть 2, стр. 222-226
• Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. — 4-е изд., 2001 г. стр. 321

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Данный тест поможет Вам проверить уровень знаний по данной теме.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Криволинейный интеграл первого рода от функции [latex]f(x, y, z)[/latex] по кривой [latex]\Gamma[/latex] имеет следующий вид:

   • $\Gamma(x) = \overset {+\infty}{ \underset {0}{ \int }}t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\,dt,\, x>0$
   • $ { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = \overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt$
   • ${ \underset {\Gamma}{ \int }}(F,dr) = \overset {\beta}{ \underset {\alpha}{ \int }}(F(x(t),y(t), z(t)),r'(t))\,dt$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Вставьте пропущенные слова:

   • При естественной параметризации кривой $\Gamma$ криволинейный интеграл первого рода приобретает следующие пределы интегрирования: от (0) до (S).

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Какой должна быть функция $f(x,y,z)$, чтобы выполнялось равенство: $\overset { \beta }{ \underset { \alpha }{ \int } } f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|\,dt = { \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Найти соответствие между равенством и свойством криволинейного интеграла первого рода, которое это равенство описывает.

   Элементы сортировки

   • аддитивность относительно кривой
   • независимость от ориентации кривой
   • естественная параметризация

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds = $ $ =\sum\limits_{i=1}^{n}{ \underset {{ \Gamma }_{i}}{ \int } } f(x, y, z)\,ds$

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)ds =$ $= { \underset { \Gamma- }{ \int } } f(x, y, z)ds$

   • ${ \underset { \Gamma }{ \int } } f(x, y, z)\,ds =$ $= \overset {S}{ \underset {0}{ \int }} f(x(s), y(s), z(s))\,ds$

   Правильно
   

   Неправильно