Непрерывность функции на множестве

Определение

Непрерывность функции нескольких переменных:

Пусть точка [latex]A[/latex] принадлежит области определения функции [latex] u=f(M)[/latex] нескольких переменных и любая [latex]\varepsilon[/latex]-окрестность точки [latex]A[/latex] содержит отличные от [latex]A[/latex] точки области определения этой функции.

Функция [latex] u=f(M)[/latex] называется непрерывной на множестве [latex]\left \{ M \right \}[/latex], если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции:

Если функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна в точке [latex]A[/latex] евклидова пространства [latex] E^m [/latex] и если [latex] f(A)\neq0 [/latex], тo существует такая  [latex] \delta [/latex] окрестность точки [latex]A[/latex], в пределах которой во всех точках области своего задания [latex] f(M)[/latex] не обращается в нуль и имеет знак совпадающий со знаком[latex] f(M)[/latex]. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах «[latex] \varepsilon — \delta [/latex]».

Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:

Пусть функция [latex] u=f(M)[/latex] непрерывна во всех точках связного множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] евклидова пространства [latex]E^{m}[/latex], причем [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] — значения этой функции в точках [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] этого множества. Пусть, далее, [latex]C[/latex] — любое число, заключенное между [latex] f(A)[/latex] и [latex] f(B)[/latex] . Тогда на любой непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющей точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] и целиком располагающейся в [latex] \left \{ M \right \} [/latex], найдется точка N такая, что [latex] f(N)=C [/latex].

Спойлер

Пусть

[latex]x_{1}=\varphi_{1}t[/latex], [latex]x_{2}=\varphi_{2}t[/latex], [latex]\ldots[/latex], [latex]x_{m}=\varphi_{m}t[/latex], [latex]\alpha \le t \le \beta[/latex],

— уравнения непрерывной кривой [latex]L[/latex], соединяющий точки [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] множества [latex]\left \{ M \right \}[/latex] и целиком располагающейся в [latex]\left \{ M \right \}[/latex].

На сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] определена сложная функция [latex] u=f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m})[/latex], где и [latex]x_{i}=\varphi_{i}t[/latex], [latex]i=1, 2, \ldots, m[/latex], [latex]\alpha \le t \le \beta[/latex]. Очевидно, значение этой функции на сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] совпадают со значениями функции [latex] u=f(M)[/latex] на кривой [latex]L[/latex]. Указанная сложная функция одной переменной [latex]t[/latex], в силу непрерывности сложной функции, непрерывна на сегменте [latex][\alpha, \beta][/latex] и согласно второй теореме Больцано-Коши, в некоторой точке [latex]\xi[/latex] сегмента [latex][\alpha, \beta][/latex] принимает значение [latex]C[/latex]. По этому в точке [latex]N[/latex] кривой [latex]L[/latex] с координатами [latex]\varphi_{1}(\xi)[/latex], [latex]\varphi_{2}(\xi), \ldots,[/latex] [latex]\varphi_{m}(\xi)[/latex] справедливо равенство [latex]f(N)=C[/latex]. Теорема доказана.

[latex]\blacksquare[/latex]

[свернуть]

Литература:

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Интегрирование функций вида $latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2$

Интегралы типа $latex \int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}}),$
где a, b, c, d — действительные числа, $latex r_{k}\in \mathbb{Q}(k=\overline{1,n})$, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки

$latex \frac {ax+b}{cx+d}=t^{p},$

где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел $latex r_{1},r_{2},…r_{n}.$
Действительно, из подстановки $latex \frac{ax+b}{cx+d}=t^{p}$ следует, что $latex x=\frac{b-dt^{p}}{ct^{p}-a}$ и $latex dx=-\frac {dpt^{p-1}(ct^{p}-a)-(b-dt^{p})cpt^{p-1}}{(ct^{p}-a)^{2}}dt$, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби $latex \frac{ax+b}{cx+d}$ выражается через рациональную функцию от t.

Примеры

1)Найти $latex I=\int\frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}}dx$. Сделав подстановку

$latex t=\sqrt{x+1};dx=2tdt$

будем иметь

$latex I=2\int\frac{t+2}{t^{3}-1}dt=\int(\frac{2}{t-1}-\frac{2t+2}{t^{2}+t+1})dt=2\int\frac{dt}{t-1}-\int\frac{2t+1}{t^{2}+t+1}dt-\int\frac{dt}{(t+1\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}=$
$latex =ln\frac{(t-1)^{2}}{t^{2}+t+1}-\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C.$

2) Найти интеграл $latex I=\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}-\sqrt{x+2}}.$ Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $latex \frac{2}{3}$ и $latex \frac{1}{2}$ есть 6. Сделав замену

$latex t=\sqrt[6]{x+2};dx=6t^{5}dt$

будем иметь

$latex I=\int\frac{6t^{5}dt}{t^{4}-t^{3}}=6\int\frac{t^{2}dt}{t-1}=6\int\frac{(t^{2}-1)+1}{t-1}dt=6\int(t+1+\frac{1}{t-1})dt=3t^{2}+6t+$
$latex +6ln\left|t-1\right|+C=3\sqrt[3]{x+2}+6\sqrt[6]{x+2}+6ln\left|\sqrt[6]{x+2}-1\right|+C.$

Литература

  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012
  • www.znannya.org_Интегрирование иррациональных функций
  • Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, часть 1(3), О.:2009, стр.60
  • Интегрирование дифференциального бинома

    Дифференциальным биномом называют выражение вида

    [latex] x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx, [/latex]

    где a и b — любые константы, а показатели степеней m, n и p — рациональные числа. Изучим вопрос об интегрируемости в элементарных функциях дифференциальных биномов.
    Рассмотрим три случая , когда интеграл от дифференциального бинома допускает рационализирующую подстановку.
    1. Первый случай соответствует целому p. Дифференциальный бином представляет собой дробно-линейную иррациональность вида [latex] R (x,\sqrt[r]{x}) dx [/latex], где r — наименьшее общее кратное знаменателей рациональных чисел m и n. Стало быть, интеграл от дифференциального бинома в этом случае рационализируется подстановкой [latex] t=\sqrt[r]{x} [/latex].
    2.Второму случаю соответствует целое число [latex] \frac{m+1}{n} [/latex]. Сделаем подстановку
    [latex] z = x^{n} [/latex] и положим для краткости [latex] \frac{m+1}{n}-1=q [/latex], получим

    [latex] \int x^{m} (a+bx^{n})^{p} dx=\frac{1}{n}\int (a+bz)^{p} z^{q}dz [/latex]

    Подынтегральная функция в правой части является дробно-линейной иррациональностью следующего вида вида [latex] R (z,\sqrt[s]{a+bz}) [/latex], где s — знаменатель рационального числа p.
    Таким образом, для второго случая дифференциальный бином рационализируется подстановкой

    [latex] t=\sqrt[s]{a+bz}=\sqrt[s]{a+bx^{n}}. [/latex]

    3. Третьему случаю соответствует целому число [latex] (\frac{m+1}{n}+p) [/latex]. Подынтегральная функция в правой части является дробно-линиейной иррациональностью вида [latex] R (z,\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}) [/latex], так что интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой вида

    [latex] t=\sqrt[s]{\frac{a+bz}{z}}=\sqrt[s]{\frac{a}{x^{n}}+b}. [/latex]

    В середине 19-го века П.Л.Чебышев доказал, что указанными выше тремя случаями исчерпываются все случаи, когда дифференциальный бином интегрируется в элементарных функциях. (Мемуар 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов»).

    Примеры

    1)Вычислить интеграл [latex] I=\int \frac{ \sqrt{x}dx}{ (1+\sqrt[3]{x})^{2}} = \int x^{\frac {1} {2}} (1+x^{\frac{1}{3}})^{-2} [/latex]. Здесь [latex] m=\frac{1}{2}, n=\frac{1}{3}, p=-2 [/latex].  Так как p — целое, значит используем подстановку из первого случая

    [latex] x=t^{6}, dx=6t^{5}dt, \sqrt {x} = t^{3}, \sqrt [3] {x} = t^{2} [/latex]

    подставим:

    [latex] I = 6 \int\frac{t^{8}}{ (t^{2} + 1)^{2} }dt = [/latex][latex]6 \int (t^{4} — 2t^{2} + 3 — \frac{4} {t^{2}+1} + \frac{1} { (t^{2} + 1)^{2} }) dt = [/latex][latex]\frac {6}{5}x^{\frac{5}{6}} — 4x^{\frac {1}{2}} + 18x^{\frac {1}{6}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}}} { (1 + x^{\frac{1}{3}})} — 21arctg (x^{\frac{1}{6}}) + C [/latex]

    2) Вычислить интеграл [latex] I = \int \frac{x}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}} dx[/latex]. Здесь [latex] m = 1, n = \frac{2}{3}, p = -\frac{1}{2}[/latex]. Так как [latex]\frac{m+1}{n} = 3[/latex] — целое (второй случай).

    [latex]t^{2} = 1 +x^{\frac{2}{8}},[/latex] [latex]x = (t^{2} — 1)^{\frac{8}{2}},[/latex]  [latex]dx = 3t (t^{2}-1)^{\frac{1}{2}} dt[/latex]

    подставим:

    [latex] I = 3\int (t^{2}-1)^{2} dt = [/latex][latex]\frac{3}{5}t^{6} — 2t^{3} + 3t + C[/latex],

    [latex]t=\sqrt{1+\sqrt[3]{x^{2}}}[/latex]

    3) Вычислить интеграл [latex] I=\int x^{5} (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}} dx [/latex]. Графиком подынтегральной функции будет:
    curs
    В данном случае [latex] m=5,n=2,p=-\frac{1}{2} [/latex], так что [latex] \frac{m+1}{n}=3 [/latex] (второй случай). Сделав подстановку

    [latex] t=\sqrt{1-x^{2}},[/latex] [latex]x=\sqrt{1-t^{2}},[/latex] [latex]dx=-\frac{tdt}{\sqrt{1-t^{2}}}, [/latex]

    будем иметь

    [latex] -\int (1-t^{2})^{2} dt=[/latex][latex]-\int dt+2\int t^{2}dt-\int t^{4}dt=[/latex][latex]-t+\frac{2}{3}t^{3}-\frac{t^{5}}{5}+C=[/latex][latex]-\sqrt{1-x^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{ (1-x^{2})^{3}} -\frac{\sqrt{ (1-x^{2})^{5} }}{5}+C. [/latex]

     

    4) Вычислить интеграл [latex] I=\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{a+bx^{2}}}=\int x^{-2} (a+bx^{2})^{-\frac{1}{2}} dx [/latex]. Здесь [latex] m=-2,n=2,p=-\frac{1}{2} [/latex], так что [latex] \frac{m+1}{n}+p=-1 [/latex] (третий случай) Сделав подстановку

    [latex] t=\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b},[/latex] [latex]x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{t^{2}-b}},[/latex] [latex]dx=-\frac{\sqrt{a}tdt}{\sqrt{ (t^{2}-b)^{3} }}, [/latex]

    будем иметь

    [latex] I=\int — (\frac{dt}{a}) = [/latex][latex]-\frac{t}{a}+C=[/latex][latex]-\frac{\sqrt{\frac{a}{x^{2}}+b}}{a}+C. [/latex]

    Литература

    • В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа, М.:Наука, 1982. стр. 227, 228.

    Интегрирование дифференциального бинома

    Интегрирование дифферециального бинома

    Таблица лучших: Интегрирование дифференциального бинома

    максимум из 15 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных