-
Задача о скорости
Пусть точка движется по прямой. $latex S=S(t)$ — путь пройденый точкой за время $latex t$ от начала движения. Путь пройденный точкой за время от $latex t$ до $latex t+\Delta t =$ $latex S(t+\Delta t) — S(t)$ .
Средняя скорость: $latex V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$
Если движение точки — равномерное, то $latex V_{cp}$ — постоянная.
Если же движение неравномерное, то $latex V_{cp}$ не меняется при изменении $latex \Delta t$ .
Определение:
Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент $latex t$: $latex V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$ . -
Задача о касательной
Пусть функция $latex f$ определена в $latex \delta$-окрестности точки $latex x_0$ и непрерывна в этой окрестности.
Возьмем две точки на графике: $latex M_0 (x_0;y_0)$ и $latex M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$ .
Уравнение прямой, проходящей через точки $latex M$ и $latex M_0$ имеет вид $latex y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0)$, где $latex \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, $latex \Delta x=x-x_0$.
$latex \frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha$
Эту прямую называют секущей, а число $latex k=\tan \alpha$ — угловым коэффициентом секущей.
$latex \Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0$
Определение:
Касательной кривой заданной уравнением $latex y=f(x)$ в точке $latex x_0$ называют предельное положение секущей при $latex \Delta x \to 0$.
Если существует $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0$, то существует предельное положение секущей.
Таким образом, если существует $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$, то прямая, проходящая через точку $latex M_0$ с угловым коэффициентом $latex k_0$ называется касательной к графику функции $latex y=f(x)$ в точке $latex x_0$ .
В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.
Задачи, которые приводят к понятию производной
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Информация
Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Рубрики
- Нет рубрики 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Какие задачи рассматривались в данной теме?
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 5
2.
Скорость точки в момент t называют …
Правильно
Неправильно
-
Задание 3 из 5
3.
Верно ли следующее утверждение?
В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения аргумента к приращению функции.
Правильно
Неправильно
Нет, наоборот.
-
Задание 4 из 5
4.
Сопоставьте следующие термины с задачами, в которых они использовались.
Элементы сортировки
- Мгновенная скорость
- Угловой коэффициент секущей
- Ускорение
-
Задача о скорости
-
Задача о касательной
-
Не использовался
Правильно
Неправильно
-
Задание 5 из 5
5.
Вопрос на знание задач
- В задаче о касательной число k=tan α называют (угловым) (коэффициентом) касательной.
Правильно
Неправильно
Источники:
- Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).
Рекомендуемая к прочтению литература
- Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962, глава 3, §1, с. 186-189