Задачи, которые приводят к понятию производной

  1. Задача о скорости

    Пусть точка движется по прямой. $latex S=S(t)$ — путь пройденый точкой за время $latex t$ от начала движения. Путь пройденный точкой за время от $latex t$ до $latex t+\Delta t =$ $latex S(t+\Delta t) — S(t)$ .
    graph2
    Средняя скорость: $latex V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$
    Если движение точки — равномерное, то $latex V_{cp}$ — постоянная.
    Если же движение неравномерное, то $latex V_{cp}$ не меняется при изменении $latex \Delta t$ .
    Определение:
    Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент $latex t$: $latex V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$ .

  2. Задача о касательной

    Пусть функция $latex f$ определена в $latex \delta$-окрестности точки $latex x_0$ и непрерывна в этой окрестности.
    test6
    Возьмем две точки на графике: $latex M_0 (x_0;y_0)$ и $latex M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$ .
    Уравнение прямой, проходящей через точки $latex M$ и $latex M_0$ имеет вид $latex y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0)$, где $latex \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, $latex \Delta x=x-x_0$.
    $latex \frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha$
    Эту прямую называют секущей, а число $latex k=\tan \alpha$ — угловым коэффициентом секущей.
    $latex \Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0$
    Определение:
    Касательной кривой заданной уравнением $latex y=f(x)$ в точке $latex x_0$ называют предельное положение секущей при $latex \Delta x \to 0$.
    Если существует $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0$, то существует предельное положение секущей.
    Таким образом, если существует $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$, то прямая, проходящая через точку $latex M_0$ с угловым коэффициентом $latex k_0$ называется касательной к графику функции $latex y=f(x)$ в точке $latex x_0$ .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература